1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章 立体几何初步8 8. .6 6 空间直线、平面的空间直线、平面的垂直垂直8.6.2 直线与平面垂直（第2课时）第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步问题：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线与平面垂直？直线与平面垂直的判定定理解决了判定直线与平面垂直的问题，反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论呢？ 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面互相垂直. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.第八章第八
2、章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步(1)(1)如右图如右图, ,在长方体在长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, ,棱棱AAAA、BBBB、 CC CC、DDDD所在直线所在直线都垂直于平面都垂直于平面ABCD,ABCD,它们它们之间具有什么位置关系之间具有什么位置关系? ? (2)(2)如右图，已知直线如右图，已知直线a a、b b和平和平面面. .如果如果a a, b, b，那么直线，那么直线a a、 b b一定平行吗一定平行吗? ?平行一定平行第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 可以发现，这些直线相互平行
3、，不失一般性，我们以(2)为例加以证明.假设假设b b与与a不平行不平行，且，且b b= =O. .显然点显然点O不在直线不在直线a上，所以点上，所以点O与与直线直线a可确定一个平面可确定一个平面一方面一方面：在该平面内过点：在该平面内过点O作直线作直线b/b/a, ,则则直线直线b b与与bb是相交于点是相交于点O的两条不同直线的两条不同直线, ,所以所以直线直线b b与与bb可确定平面可确定平面. .另一方面另一方面：设：设=c,=c,则则Oc.c.因为因为a, , bb，所以，所以ac, bc.c, bc.又因为又因为b/b/a, ,所以所以bcbc. .这样在平面这样在平面内，经过直线
4、内，经过直线c c上同一点上同一点O就有两条就有两条直线直线b b、bb与与c c垂直垂直，显然不可能，显然不可能. .因此因此b/b/a. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步垂直于同一个平面的两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理： ba,ba/第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例例1 如图，已知平面如图，已知平面平面平面l，EA，垂足为，垂足为A，EB，垂足为垂足为B，直线直线a，aAB.求证：求证：al.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 直线与平面垂直的性质定
5、理告诉我们直线与平面垂直的性质定理告诉我们, ,可以由两条直线与一可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行个平面垂直判定这两条直线互相平行. .直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理揭示了定理揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”之间的内在联系之间的内在联系. .思考思考1 1：在：在a的条件下，如果平面的条件下，如果平面外的直线外的直线b b与直线与直线a垂直，垂直，你能得到什么结论你能得到什么结论? ? bbaa /b第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步思考思考2 2：如果平面：如果平面与平面与平面平行，你又能得到什么结论平行，你又能得到
6、什么结论? ? /a a第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例例2 2 已知：已知：如右图，直线如右图，直线l平行于平面平行于平面 . . 求证：求证：直线直线l上各点到平面上各点到平面 的距离相等的距离相等. .,./,/./,.,A,111111111111111111的的距距离离相相等等直直线线上上各各点点到到平平面面上上任任取取的的两两点点，可可知知是是直直线线由由是是矩矩形形四四边边形形，确确定定的的平平面面为为，设设直直线线垂垂足足分分别别为为垂垂线线的的分分别别作作平平面面上上任任意意两两点点证证明明：过过直直线线 lBABBAABBAAB
7、AllBABBAABBAABBAABBBAABAl第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条平面的距离，叫做这条直线到直线到这个这个平面的距离平面的距离. .由由上例我们还上例我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平两个平行平面间的距离行平面间的距离. . 例如例如：
8、在棱柱、在棱柱、棱台的体积公式中，棱台的体积公式中，它们的高就是它们的它们的高就是它们的上、下底面间的距离上、下底面间的距离. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习1 ：如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB平面平面PAD，ADAP，E是是PD的中点，的中点，M，N分别在分别在AB，PC上，且上，且MNAB，MNPC.证明：证明：AEMN.证明证明因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，
9、所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，所以MN平面PCD，所以AEMN.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习2：如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，A1B1A1C1，D，E分别是棱分别是棱BC，CC1上的点上的点(点点D不同于点不同于点C)，且，且AD平面平面BCC1B1，F为为B1C1的中点的中点.求证：直线求证：直线A1F平面平面ADE.证明证明因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B
10、1C1，所以CC1A1F.又CC1平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.又AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习3：如图，正方体如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，中，EF与与异异面直线面直线AC，A1D都垂直相交都垂直相交. 求证：求证：EFBD1.证明：连接AB1，B1D1，B1C，BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，DD1，BD平面BDD1B1，
11、AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C，又ACB1CC，AC，B1C平面AB1C，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，AC，B1C平面AB1C，EF平面AB1C，EFBD1.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步1线线垂直和线面垂直的相互转化：第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步2证明线面垂直的方法：线面垂直的定义线面垂直的定义线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面么它也垂直于另一个平面第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步作业：
