1、人教A版 必修第二册8.6.3 平面与平面垂直 教学设计一、 教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章立体几何初步第六节空间直线、平面的垂直，主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课。平面与平面的垂直关系是“立体几何初步”章节中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现。这一节的学习对理顺“立体几何初步”章节的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用。平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，生活中平面与平面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大
2、量实例，通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直判”判定的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”等典型猜想进行说理。本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。二、教学目标与核心素养课程目标学科素养1.通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想；2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化；3.通过运用所学定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的转化与化归1.数学抽象、直观想象：平面与平面垂直的定
3、义；2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；三、学情分析经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及直线与直线、直线与平面“垂直关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法平面化，具备学习本节课所需的知识。然而，学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，没有上升到理论。学生还没有形成完整的空间知识结构体系，内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以在学生学习
4、的过程中教师要适时的引导，关注学生的思维及学习过程。四、教学重难点1.教学重点：平面与平面垂直的判定定理及应用；2.教学难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程。五、教学策略分析在教法上，本节课采用启发引导，讲练结合的教学方法，采用“设问探索归纳定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。在学法上，使学生形成“直观感知操作确认数学抽象归纳猜想严谨证明灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果。在教学手段上，为了加强学生对定理的理解，帮助学生克服在定理形成过程中可能遇到的障碍，教师利用实物进行动态研究，使学生能够更好地解决问题。六、教学过程教学环节师生互
5、动设计意图（一）新课引入（1）探究、建构二面角及其平面角的概念在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子比如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；打开门（或窗）的过程中，门（或窗）与墙所在的平面相交并形成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？半平面的定义：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫做半平面。二面角的定义：由一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直
6、线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。教师出示问题，学教师直观展示生活中二面角的实例图片，介绍二面角的相关概念、符号记法和图形表示法生回答通过复习建立知识间的联系，提高学生概括能力。 从生活中的实例出发，先让学生感性认识二面角再类比平面角的概念，从学生的最近思维发展区，引入二面角的概念问题2：虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小这样的平面角该如何建构
7、呢？追问1：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，即可构成一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？追问2：以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的若在棱上任意选取一点，用这个办法作出的平面角的大小会有所不同吗？为什么？师生活动：学生应该都能指出这样是不行的，因为角的大小会由于所作射线的位置不同而不一样在此基础上，教师指出度量一个量的基本要求就是“唯一性”明确了问题的症结所在，教师再请学生思考，以棱上的一点为顶点，如何在两个半平面内各作一条射线，使之形成的角度是唯一确定的？师生活动：
8、教师提出问题，学生思考回答在此基础上，师生共同提炼出二面角的平面角的概念设计意图：让学生经历提出猜想分析可行性找到症结修正完善的解决问题的流程既可激发学生的学习兴趣，又锻炼了思维的严谨性设计意图：引导学生从等角定理来解释和理解二面角的平面角的大小与棱上点的选取无关，进一步加深对概念的认识问题3二面角的平面角的取值范围为，其中平面角为的二面角叫做直二面角若两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，则称两个平面互相垂直你能给出一些生活中直观上平面与平面垂直的例子吗？二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角如右图：
9、AOB是二面角的平面角二面角的大小范围是二面角的平面角必须满足：角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的边都要垂直于二面角的棱师生活动：学生举例回答，教师介绍平面与平面垂直的记法、图形表示等基础知识设计意图：引入平面与平面垂直的概念，并结合生活实例让学生对平面与平面垂直有一个感性、直观的认识（二）探析判定定理问题4 对于平面与平面垂直，利用定义来证明需要每次都找角、计算才能发现垂直，显然太过麻烦。类比研究空间直线、平面平行关系的过程，我们接下来应该研究什么内容？问题4：对于两相交平面，除了根据定义，通过度量其二面角的平面角的大小来判定它们是否垂直外，是否存在其他的判定方法呢？如图1，建筑工人在
10、砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面你能分析其中蕴含的道理并总结出相应的结论吗？师生活动：教师提出问题，除了生活实例外，还可以提供长方体模型帮助学生获得结论：如果一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直探究：找到一个平面与平面垂直的实例，指出实例中两个平面互相垂直，说明使得该组平面垂直的原因，并尝试总结判定判定两平面垂直的一般方法。平面与平面垂直的判定定理：1.文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.图形语言：3.符号语言：结构特征：线面垂直面面垂直垂直关系的转化：线线垂直线面垂直面面垂直简记：线面垂直，则面面垂
11、直定理证明：如图，设设垂足为，为直线上异于的点，则，在平面内，过作，则即为二面角的平面角。即，即二面角是直二面角学生分组讨论，并举例说理总结判定定理所需的条件，然后进行汇报，与老师一起完成定理的证明。教师巡视各小组的讨论情况，引导学生从选择实例、找到垂面、说明原理、总结结论几个环节开展讨论；然后组织小组汇报，汇总学生成果形成判定定理并强化对定理图形、符号、结构的理解。通过设置问题，引导学生在学习中类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，发现判定两个平面互相垂直的方法，再结合生活实例，交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，归纳出两个平面互相垂直的判定定理并进行证明在课堂中，学生感受整
12、个探究的全过程，在掌握定理的同时，培养了学生的团结协作意识和自主探究能力。图形语言、符号语言、文字语言之间的转换可让学生进一步理解判定定理，理清使用定理所需的条件，也是发展学生逻辑思维的需要（三）应用拓展，知会证明例1.如图，在正方体中，求证：平面。例2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点求证：平面PAC平面PBC教师引导学生选择证明方法，讲解证明过程，规范解题步骤；学生认真思考，尝试其他证明方法。 通过两道具体习题的求解，让学生学以致用，尝试运用定义或定理，探究解决问题的策略与途径，从而进一步体会垂直关系的相互转化通过归纳解题方法，规范书写，巩固
13、所学知识，提升学生的逻辑推理能力以及分析、解决问题的能力。（四）巩固练习1.九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”。如图所示，鳖臑中，（1）写出该几何体各个面的直角；（2）证明：（五）归纳小结1平面与平面垂直的判定方法：定义法、两个平面互相垂直的判定定理2数学思想方法：（1）比较与类比类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理（2）转化与化归“面面垂直”转化为“线面垂直”空间问题”转化为“平面问题”学生自己回忆总结课堂主要内容，教师给予评价，并适当补充，最后逐条汇总。让学生主动构建知识网络，梳理知识，形成体系知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快为学生所用，提升学生的数学素养。数学思想方法的总结，让学生能更系统，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，逐渐提升学生的数学思维。（六）布置作业必做题：教材159页练习第4题，163页习题8.6第7,8题。选做题：观察生活中的面面垂直关系，结合本节课的探究经验，你还能有其它进一步的认识吗？请试着将空间中的线面平行、垂直关系形成体系，绘制一个详细的知识网络图。设计了必做题和选做题，因材施教，这样既面向总体又照顾学生差异，满足不同学生发展的需要，最终实现全体学生的学习水平在差异状态下的差异发展。七、板书设计8.6.3 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直判定定理 2.判定定理的证明多媒体展示 例1 例2
