1、教A版（2019）必修第二册模块测试二一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在复平面内，复数 z=11+i，则 z 对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限已知 a=3,1，b=2,-1，则 a 与 b 的夹角为 A 4 B 3 C 34 D 56 某企业有职工 150 人，其中高级职称有 15 人，中级职称有 45 人，一般职员有 90 人，现抽取 30 人，进行分层抽样，则各职称人数分别为 A 5，10，15 B 3，9，18 C 3，10，17 D 5，9，16 如图所示，AOB 表示水平放置的 AOB 的直观图，B 在 x 轴上，AO 与 x 轴垂直，且 AO=
2、2，则 AOB 的边 OB 上的高为 A 2 B 4 C 22 D 42 端午节放假，甲回老家过节的概率为 13，乙、丙回老家过节的概率分别为 14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少 1 人回老家过节的概率为 A 5960 B 35 C 12 D 160 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山始建于东汉建安二十年( 215 年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年( 1880 年）重建时的形制与格局因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作
3、岳阳楼记使得岳阳楼著称于世自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线 AC，如图，测得 DAC=30，DBC=45，AB=14 米，则岳阳楼的高度 CD 约为（21.414，31.732） A 18 米B 19 米C 20 米D 21 米在 ABC 中，AB=3，AC=2，BAC=60，点 P 是 ABC 内一点（含边界），若 AP=23AB+AC，则 AP 的最大值为 A 273 B 83 C 2193 D 2133 如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，G 分别为棱 C1D1，BB1 的中点，点 F 是正方形 AA1D1D
4、的中心，则空间四边形 BGEF 在正方体的六个面内的射影所构成的图形的面积中的最大值为 A 14 B 12 C 38 D 1 二、多选题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c .若 a=5，A=4，则下列选项中正确的有 A若 cosB=35，则 b=32 B若 cosB=35，则 c=7 C若 c=42，则 b=7 或1D若 c=562，则 cosC=12 下列说法正确的是 A某班 4 位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有 64 种；B甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是 12，14，则题被解出的
5、概率是 18；C某校 200 名教师的职称分布情况如下：高级占比 20%，中级占比 50%，初级占比 30%，现从中抽取 50 名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取 10 人；D两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 12有下列说法，其中正确的说法为 A若 ab，bc，则 ac B若 2OA+OB+3OC=0，SAOC，SABC 分别表示 AOC，ABC 的面积，则 SAOC:SABC=1:6 C两个非零向量 a，b，若 a-b=a+b，则 a 与 b 共线且反向D若 ab，则存在唯一实数 使得 a=b 如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，将 AM
6、B 沿直线 AM 翻折成 AB1M，连接 B1D，N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 A存在某个位置，使得 CNAB1 B翻折过程中，CN 的长是定值C若 AB=BM，则 AMB1D D若 AB=BM=1，当三棱锥 B1-AMD 的体积最大时，三棱锥 B1-AMD 的外接球的表面积是 4 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为 20 的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）： 152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174
7、，175，若样本数据的第 90 百分位数是 173，则 x 的值为 若向量 a，b 满足 a=4，b=22，a+ba=8，则 a，b 的夹角为 ，a+b= 若 1z2，则复数 u=z1+i 在复平面内对应的点 A 组成的集合所表示的图形的面积为 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 是平面 ACC1A1 上一动点，且满足 D1PCP=0，则满足条件的所有点 P 所围成的平面区域的面积是 四、解答题（共6大题，共70分）（10分）已知复数 z1=a+i，z2=1-i，aR(1) 若 z1-z2 是纯虚数，求 a 的值(2) 若 z1z2 在复平面上对应的点在第二象
8、限，求 a 的取值范围（12分）已知非零向量 a，b 满足 ab=3，b=2，且 aa-3b=0(1) 求 a；(2) 求向量 a 与 b 的夹角 ；(3) 求 a+b 的值（12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件
9、M 发生的概率（12分） BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI=体重单位:kg身高2单位:m2在我国，成人的 BMI 数值参考标准为：BMI18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；24BMI28 为偏胖；BMI28 为肥胖某公司有 3000 名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了 100 名男员工、 50 名女员工的身高体重数据，计算得到他们的 BMI，进而得到频率分布直方图如下：(1) 该公司男员工和女员工各有多少人？(2) 根据 BMI 及频率分布直方
10、图，估计该公司男员工为肥胖的有多少人？(3) 根据频率分布直方图，估计该公司男员工 BMI 的平均数为 1，女员工 BMI 的平均数为 2，比较 1 与 2 的大小（直接写出结论，不要求证明）（12分）如图，我海监船在 D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A 处，此时测得其北偏东 30 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只，且 D 岛位于海监船正东 18 海里处(1) 求此时该外国船只与 D 岛的距离；(2) 观测中发现，此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处（E 在 B 的正南方向），不让其进入 D 岛 12 海里内的海域
11、，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到 0.1，速度精确到 0.1 海里/小时）（12分）如图，已知四面体 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，EFAC，AC=2EF，平面AEFC平面ABCD，AE=AB(1) 求证：平面BED平面AEFC；(2) 若 AEAC，求二面角 A-CF-D 的余弦值答案一、选择题（共8题，共40分）1. 【答案】D【解析】 z=11+i=1-i1+i1-i=1-i1-i2=1-i2=12-12i，所以 z 对应的点为 12,-12，位于第四象限【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算2. 【答案】A【解析】设 a 与 b 的夹角为 ，因为
12、a=3,1，b=2,-1，所以 cos=abab=6-19+14+1=22，因为 0,，所以 =4故选：A【知识点】平面向量数量积的坐标运算3. 【答案】B【解析】因为 30150=15，即应按照 1:5 的比例来抽取，所以高级职称应抽取 1515=3（人）；中级职称应抽取 4515=9（人）；一般职员应抽取 9015=18（人）【知识点】分层抽样4. 【答案】D【解析】设 AOB 的边 OB 上的高为 h，因为 S原图形=22S直观图，所以 12OBh=22122OB，又 OB=OB，所以 h=42【知识点】直观图5. 【答案】B【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件 A，B，C，则
13、PA=13，PB=14，PC=15，所以 PA=23，PB=34，PC=45由题知 A，B，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率 PABC=PAPBPC=233445=25，所以至少有一人回老家过节的概率 P=1-25=35【知识点】事件的相互独立性6. 【答案】B【解析】 RtADC 中，DAC=30，则 AC=3CD， RtBDC 中，DBC=45，则 BC=CD，由 AC-BC=AB 得 3CD-CD=14CD=143-1=73+119.124， CD 约为 19 米【知识点】解三角形的实际应用问题7. 【答案】D【解析】以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所
14、示的直角坐标系因为 AB=3，AC=2，BAC=60，所以 A0,0，B3,0，C1,3，设点 P 坐标为 x,y，0x3，0y3因为 AP=23AB+AC，所以 x,y=233,0+1,3=2+,3，所以 x=2+,y=3, 所以 y=3x-2, 所以点 P 在直线 y=3x-2 上运动，由图象可知，当 P 为直线 y=3x-2 和直线 BC 的交点时，AP 取得最大值因为 B3,0，C1,3，所以直线 BC 的方程为 y=-32x-3, 联立 ，解得 x=73,y=33, 所以 AP=499+13=2133【知识点】平面向量的概念与表示8. 【答案】B【知识点】棱柱的结构特征二、多选题（本
15、题共4小题，每小题5分 ，共20分）9. 【答案】BC【解析】在 ABC 中，因为 cosB=35，则 sinB=45，根据正弦定理，有 asinA=bsinB，得到 b=42，再根据余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，得到 c=7所以选项A错误，选项B正确若 c=42，则根据余弦定理可得 b=7或1所以选项C正确若 c=562，则根据正弦定理，可得C=3或23,即cosC=12或-12.所以选项D错误【知识点】余弦定理、正弦定理10. 【答案】C；D【解析】对于 A，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有 3 种报名方法，同理其他的三名学生也都有 3 种报名方法，则不同的报名
16、方法有 3333=81 种，故A错；对于B，因为他们各自解出的概率分别是 12，14，则此题不能解出的概率为 1-121-14=38，则此题能解出的概率为 1-38=58，故B错；对于C，高级教师应抽取 5020%=10 人，故C正确；对于D，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数 n=A44=24，两位女士不相邻包含的基本事件个数 m=A22A32=12，所以两位女生不相邻的概率 P=mn=1224=12，故D正确故选：CD【知识点】古典概型11. 【答案】B；C【解析】A选项错误，例如 b=0，推不出 ac；B选项，设 AC 的中点为 M，BC 的中点为 D，因为 2OA+OB+3O
17、C=0，所以 22OM+2OD=0，即 2OM=-OD，所以 O 是 MD 的三等分点，可知 O 到 AC 的距离等于 D 到 AC 距离的 13，而 B 到 AC 的距离等于 D 到 AC 距离的 2 倍，故可知 O 到 AC 的距离等于 B 到 AC 距离的 16，根据三角形面积公式可知B选项正确；C选项两边平方可得 -2ab=2ab，所以 cosa,b=-1，即夹角为 ，结论正确；D选项错误，例如 b=0【知识点】平面向量的数量积与垂直、平面向量的数乘及其几何意义12. 【答案】B；D【解析】由题意，对于A，取 AB1 的中点 E，连接 MN，EN，ME（图略），则 EN 为 B1AD
18、的中位线，所以 ENAD，则 ENMC，又 EN=12AD=MC，所以四边形 MCNE 是平行四边形，所以 CNME，由于 AB1B1M，所以 EM 不与 AB1 垂直，即 CN 不与 AB1 垂直，故A不正确；对于B，取 AB 的中点 P，连接 MP，AC（图略），则 MP 是 ABC 的中位线，MP 的长是定值由A中分析可知 CN=ME，又 MP=ME，则 CN=MP，故 CN 的长是定值，故B正确；对于C，由题意，AMMD，若 AMB1D，则 AM平面MDB1，所以 AMMB1，与 AB1MB1 矛盾，故C不正确；对于D，取 AM 的中点 F，连接 B1F，DF（图略），易知当 B1F平
19、面AMD 时，三棱锥 B1-AMD 的体积最大，此时 B1FDF，则 B1F=22， DF=22+222=102，B1D=1022+222=3，所以 AB12+B1D2=AD2，所以 AB1B1D，又 AMMD，所以三棱锥 B1-AMD 的外接球的半径为 1，所以三棱锥 B1-AMD 的外接球的表面积是 4，故D正确综上，故选BD【知识点】直线与直线的位置关系三、填空题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）13. 【答案】 172 【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】 34 ； 22 【解析】依题意 a+ba=8，a2+ab=a2+abcosa,b=8，解得 cosa,b=-22，所
20、以 a,b=34 a+b=a+b2=a2+2ab+b2=a2+2abcosa,b+b2=22. 【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】 6 【解析】由 u=z1+i 得 z=u1+i，因为 z=z=u2，1z2，所以 2u22，所以动点 A 组成的集合是一个圆环，设此圆环面积为 S，那么 S=222-22=6【知识点】复数的几何意义16. 【答案】 32 【解析】因为 D1PCP=0，所以 D1PCP，故 P 在以 CD1 为直径的球面上，且 P 在平面 ACC1A1 上，则 P 在面 ACC1A1 截球所得的圆上，设该圆半径 r，且正方体棱长为 2，则 CD=22，球半径 R=12
21、CD=2，连接 B1D1，则 B1D1A1C1，B1D1AA1，所以 B1D1平面ACC1A1，所以 D1 到平面 ACC1A1 的距离 d1=12B1D1=2，因为 O 为 CD1 中点，所以 O 到平面 ACC1A1 的距离 d=12d1=22，所以圆半径 r=R2-d2=32，圆面积 S=r2=32故答案为：32【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）四、解答题（共6题，共70分）17. 【答案】(1) 由题意，得 z1-z2=a-1+2i 为纯虚数，则 a-1=0，所以 a=1(2) z1z2=a+i1-i=a+i1+i1-i1+i=a+ai+i+i22=a-12+a+12i
22、，对应点的坐标为 a-12,a+12，因为该点在第二象限，所以 a-120, 解得 -1a2【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征21. 【答案】(1) 依题意，在 ABD 中，DAB=60，由余弦定理得 DB2=AD2+AB2-2ADABcos60=182+202-21820cos60=364, 所以 DB=291，即此时该外国船只与 D 岛的距离为 291 海里(2) 法一：过点 B 作 BHAD 于点 H，在 RtABH 中，AH=10，所以 HD=AD-AH=8，以 D 为圆心，12 为半径的圆交 BH 于点 E，连接 AE，DE，在 RtDEH 中，HE=ED2-HD2=45，
23、所以 BE=103-45，又 AE=AH2+HE2=65，所以 sinEAH=HEAE=4565=23，则 EAH=arcsin2341.81外国船只到达点 E 的时间 t=BE4=53-2522.09（小时）所以海监船的速度 vAEt=6553-2526.4（海里/小时）又 90-41.81=48.2，故海监船的航向为北偏东 48.2，速度的最小值为 6.4 海里/小时法二：建立以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，过点 A 往正北作垂直的 y 轴则 A0,0，D18,0，B10,103，设经过 t 小时外国船到达点 E10,103-4t，又 ED=12，得 E10,45，此时 t=103
24、-4542.09（小时）则 tanEAD=EHAH=4510=255，EAD=arctan25541.81，所以监测船的航向东偏北 41.81所以海监船的速度 vAEt=65103-4546.4（海里/小时）【知识点】解三角形的实际应用问题22. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BDAC，因为 BD平面ABCD，平面AEFC平面ABCD，平面AEFC平面ABCD=AC，所以 BD平面AEFC，因为 BD平面BDE，所以 平面BED平面AEFC(2) 过 O 作 OGFC，垂足为 G，连接 DG，由 BD平面AEFC，得 ODFC，又 ODOG=O，OD平面DOG，OG平面DOG，则 FC平面DOG，因为 DG平面DOG，则 FCDG，故 DGO 为二面角 A-CF-D 的平面角，因为 AEAC，EFAC，AC=2EF，则平面四边形 AEFC 为直角梯形，在直角梯形 AEFC 中，求得 OG=25，在 RtDOG 中，DG=OG2+OD2=195， cosDGO=OGDG=25195=21919，所以二面角 A-CF-D 的余弦值为 21919【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角。
