1、复习复习测量的分类：直接测量的分类：直接()；等精度测量；等精度测量误差表示方法：绝对误差表示方法：绝对/相对误差；相对误差；示值示值/引用误差（仪表）引用误差（仪表）按测量结果准确度要求选择合适等级的仪表按测量结果准确度要求选择合适等级的仪表系统误差与随机误差的判别系统误差与随机误差的判别P12 1-4 用一辅助信号源同时送入被检仪表和标准仪表，得到示值分别为f0=100和fa=99.8，问被检仪表的示值误差？若用该被检仪表的示值f0=100去检验某器件的信号输出fx=99.7，问该器件的示值误差？P13 1-6把以下实验数据修约至千分位：4.51050 5.6235 6.378501 2，
2、第二章第二章 随机误差随机误差 主要内容主要内容随机误差的发现、特性随机误差的发现、特性随机误差的估计（正确度、精密度）随机误差的估计（正确度、精密度）标准偏差标准偏差算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差极限误差极限误差合理的测量次数合理的测量次数重点：重点：标准偏差、极限误差标准偏差、极限误差第一节第一节 随机误差与正态分布随机误差与正态分布一、随机误差的发现条件一、随机误差的发现条件定义：定义：P9/P14 发现条件：发现条件：等精度测量等精度测量多次重复测量多次重复测量仪表有一定的分辨力和精度仪表有一定的分辨力和精度二、正态分布二、正态分布2222022)(21 21)(eefxx0
3、 xx三、随机误差的特性三、随机误差的特性1.对称性对称性2.单值性单值性3.有界性有界性4.抵偿性抵偿性第二节第二节 算术平均值与真值算术平均值与真值以算术平均值作为测量结果的估计以算术平均值作为测量结果的估计（假设测量数据中只含有随机误差）（假设测量数据中只含有随机误差）)(lim01nnxnxniin01 0limxxniiniin，其中原因：原因：由抵偿性，有由抵偿性，有nxxniin10)(lim0)(lim0 xxn0 xxn时，当第三节第三节 标准偏差及其估计标准偏差及其估计一、标准偏差与测量数据的关系一、标准偏差与测量数据的关系等精度测量中：等精度测量中：nnxxniinii1
4、2120)(n实际不可得：实际不可得：无穷次测量无穷次测量真值未知真值未知 越小，概率密度曲线越陡，随机误差分越小，概率密度曲线越陡，随机误差分布越集中布越集中二、标准偏差（二、标准偏差（ ）的特征）的特征反映等精度测量得到的一组数据相对于反映等精度测量得到的一组数据相对于真值的分散程度（精密度）真值的分散程度（精密度）说明：说明：不是具体一个测量值的误差大小不是具体一个测量值的误差大小但可认为同一等精度测量的值都属于同但可认为同一等精度测量的值都属于同样标准偏差的概率分布（称为样标准偏差的概率分布（称为“单次测单次测量的标准偏差量的标准偏差”）nnxxniinii12120)(三、标准偏差的
5、意义三、标准偏差的意义目前世界各国大多趋于采用目前世界各国大多趋于采用 作为评定随机误作为评定随机误差的尺度。这是因为：差的尺度。这是因为： 的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），本身又是本身又是f() 的一个参数，故采用的一个参数，故采用正好符合概率论原正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；理，又与最小二乘法最切合； 对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；的精度； 公式推导和计算比较简单。公式推导和计算比较简单。 极限误差与标准偏差的关系简单极限误差与标准偏差的关系简单四、单次测量的标
6、准偏差估计四、单次测量的标准偏差估计概念：残余误差（残差）概念：残余误差（残差）方法：方法：1. 1. 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）法）法2. 2. 佩特斯（佩特斯（PetersPeters）法）法3. 3. 极差法极差法4. 4. 最大误差法最大误差法5. 5. 最大残差法最大残差法xxvii残差代数和为残差代数和为0 0贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）法）法11)(1212nvnxxniinii时，当n估计式：估计式：nnxxniinii12120)(估计较准确，常用；n大时计算复杂11212nvnniinii0 xxii0 xxxxi算术平均值的误差记 0 xxx
7、xivxniinixniiniinvv1111 求和nvnniiniix11nniix1残差代数和为0212xniinvxiivniixnixniiniivv11212122nniix1)2(111222njijiniixn近似很大，01nijin2122nniixnvniiniinii121212nvniiniinii1212122122niivnnnii121122nvnii112nvnii佩特斯（佩特斯（PetersPeters）法）法估计式：估计式：不需计算残差平方根，运算简单，在n大时适用) 1(45) 1(211nnvnnvniinii极差法极差法估计式：估计式：不需计算算术平均值
8、，运算更简单，在n10时可使用可查表nnnddxxdw minmax极差极差最大误差法最大误差法估计式：估计式：简单，n可以为1代价高、有破坏性的试验中可用max1nk可查表为绝对误差，nkmax最大残差法最大残差法估计式：估计式：计算简单差表混可查表，不要与最大误nkmaxvkn四、单次测量的标准偏差估计四、单次测量的标准偏差估计概念：残余误差（残差）概念：残余误差（残差）方法：方法：1. 1. 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）法）法2. 2. 佩特斯（佩特斯（PetersPeters）法）法3. 3. 极差法极差法4. 4. 最大误差法最大误差法5. 5. 最大残差法最大残差法x
9、xvii各种方法各种方法均假设随均假设随机误差呈机误差呈正态分布正态分布BesselBessel法法估计最准估计最准确确方法方法特点特点Bessel计算精度较高，计算复杂；速度有时计算精度较高，计算复杂；速度有时难满足快速自动化测量的需要难满足快速自动化测量的需要Peters最早用于天文，计算较最早用于天文，计算较Bessle法简单，法简单，速度较快，但计算精度较低，计算误速度较快，但计算精度较低，计算误差为差为Bessel法的法的1.07倍，倍，n大时适用大时适用极差极差计算简单快速，计算简单快速，n10时可用时可用最大误差最大误差 计算简单快速，计算简单快速，n可为可为1最大残差最大残差
10、计算简单计算简单第三节第三节 算术平均值的标准偏差与合理算术平均值的标准偏差与合理的测量次数的测量次数 一、一、算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差x方差定义 2122)()()(nxxxExExDniiniiniiniixnxDnnxDxD12212121)(1)()(等精度测量：niixn12221221nxinx越接近真值越小，越多，xnx讨论：但并非并非n越大越好 成正比与nx1n过大，时间增长，易引入更多误差。n取10次左右为好，不超过20。n并非并非越大越好： 例题：已知单次测量的标准偏差例题：已知单次测量的标准偏差mg10nmgx，求合适的需要4nnx1025. 6)410(
11、2n7n答：至少至少测7次。解：二、合理的测量次数二、合理的测量次数4第四节第四节 极限误差极限误差 极限误差同样可表示极限误差同样可表示测量数据的分散程度测量数据的分散程度xMxxx)(据表达只含随机误差的测量数一、一、单次测量的极限误差单次测量的极限误差 M正态分布的概率密度函数：中出现随机误差的概率区间, . 122221)(ef中的概率：随机误差在,deP222212. 单次测量的极限误差若无特殊说明，且随机误差服从正态分布，t默认为3 tM3M3. 几个概念t： 置信系数置信系数置信区间置信区间P： 置信概率置信概率（在置信区间中，置信（在置信区间中，置信概率为概率为P）： 显著度显
12、著度=n-1：极限误差表征一定置信概率下的随机不确定度4. 给定置信概率P求极限误差应用：P195附表一deP22221原理：t变量代换：关系PtdtePtt 22022步骤：附表一例1：要求P=90%时： t1.65t = ?例2：已知0.05，求P=99.3%时的极限误差)(222022tdtePtt)(2tP)(ttM135. 005. 07 . 2tM二、算术平均值的极限误差测量结果的极限误差表达：xMxxMtxxMt33，常取xMx例：设某测量器具只含随机误差，单次测例：设某测量器具只含随机误差，单次测量的标准偏差量的标准偏差 = 5m mm，而被测量要求的，而被测量要求的测量极限误差测量极限误差 = 9m mm。问：。问：（1）选此器具是否合适？）选此器具是否合适？（2）若不合适，在不换仪器的条件下，）若不合适，在不换仪器的条件下，采取何种措施以达到测量精度的要求？采取何种措施以达到测量精度的要求？
