1、实数与向量的乘积的意义实数与向量的乘积的意义: :* *实数实数与非零向量与非零向量 的乘积是一个向量的乘积是一个向量, ,记作记作: :* *对向量对向量 的模和方向规定如下的模和方向规定如下: :(2)(2)当当 时时, , 与与 的方向相同的方向相同; ;当当 时时, , 与与 的方向相反的方向相反; ;(3)(3)当当 时时, ;, ;(4)(4)任何实数任何实数与零向量的乘积为与零向量的乘积为 零向量零向量.* *两个非零向量平行的充要条件两个非零向量平行的充要条件: :温故知新温故知新单位向量的定义及其计算公式单位向量的定义及其计算公式: :* *把模为把模为1 1的向量叫做单位向
2、量的向量叫做单位向量. .* *对于任意的非零向量对于任意的非零向量 , ,与它同方向的单位向与它同方向的单位向 量叫做向量量叫做向量 的单位向量的单位向量. .记作记作: :* *单位向量的计算公式单位向量的计算公式: :温故知新温故知新11222121( ,),(,),(,).A xyB xyABxxyy 若则11()axy，向量的坐标运算向量的坐标运算：22()bxy，温故知新温故知新4.4.向量运算的坐标运算法则向量运算的坐标运算法则. . 若设若设: :是一个实数是一个实数, ,利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换, ,容容 易证明易证明: :
3、 5.5.向量模的计算公式向量模的计算公式: :由上述法则实现了由向量的作图法运算由上述法则实现了由向量的作图法运算( (形形) )转化为向量的坐标法运算转化为向量的坐标法运算( (数数) ), ,化繁为简化繁为简. . 感悟感悟: :例例1已知四边形已知四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且且 ，则顶点，则顶点D的坐标为的坐标为（ ）2BCAD A. （2， ） B.（2， ）C. （3，2） D.（ 1，3）7212 A解析：解析：设设D（x, y），），(4,3),( ,2),2BCADx yBCAD 由得得x=2,y= ,故选故选A72练习练
4、习1 a= 4,6 ,a=2b,b、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2) B(3,2) B、(2,3) C(2,3) C、(-3,-2) D(-3,-2) D、(-2,-3)(-2,-3)BBB23平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 x1y2x2y10 定理：若两个向量（于坐标轴不平行）平行，则他们相应的坐标成比例。定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则他们平行。例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点 之间的位置关系。./, 624. 1ybayba，求，且，已知例. 30624 /yyba解： 631512421311，解：A A
5、C CA AB B./ACACABAB，又04362.三点共线、，有公共点、直线直线C CB BA AA AACACABAB练习：练习：1.已知a=(4, 2)，b=(6, y)，且a/b，求y. y=32.已知a=(3, 4), b=(cos, sin), 且a/b, 求tan. tan=4 /33. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向量kab与a+3b平行? 并确定它们是同向还是反向. 解：kab=(k2, 1), a+3b=(7, 3), a/b, 13k 这两个向量是反向。4. 若三点P(1, 1)，A(2, 4)，B(x, 9)共线， 则 （ ） Ax
6、=1 Bx=3 Cx = Dx=5192B5.设a=( , sin)，b=(cos, )，且a/ b，则锐角为 ( ) A30o B60o C45o D75o 2331C例例3.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解：（：（1）所以，点所以，点
7、P的坐标为的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P例例3.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 （2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxy1 点P靠近 点有：12121111211112121121121212121212121212121 1若若p p则则PP =PP ,PP =PP ,2 21 1 OP = 0P +PP = 0P +P P OP = 0P +PP = 0P +P P3 31 1 = 0P + (0P -0P ) = 0P +
8、 (0P -0P )3 32121=0P +OP=0P +OP33332x +x2y +y2x +x2y +y =(,) =(,)33332x +x2y +y2x +x2y +y点点P P的的坐坐标标是是(,)(,)3333解：（解：（2）例4:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解: (1)所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P
9、(2)(2)xyOP1P2P例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2PxyOP1P2P. 221153 . 22212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP1. (2,1),( ,1)
10、,2 ,2,/ ,.abxababxmumu=-=+=- 已知向量且求 的值2x= -2. (3,4),(cos ,sin),/ , tan.ababaaa=已知向量且求的值4tan3a=3(12,5)12125513131312 512512513 1313131313aABCD、与平行的单位向量是（ ）（ ）（， ） （ ）（，）（ ）（， ）或（，） （ ）（，）C课堂练习课堂练习4. 已知已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数当实数k为何值时为何值时,向向量量kab与与a+3b平行平行? 并确定它们是同向还是并确定它们是同向还是反向反向. 解：解：kab=(k2, 1),
11、a+3b=(7, 3), kab与与a+3b平行平行13k 这两个向量是反向。这两个向量是反向。32)( 1) 70k （课堂练习课堂练习6 6、已知点、已知点A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，试判断，试判断A A、B B、C C三点是否共线？三点是否共线？5 5、已知向量、已知向量 =(4 =(4，2)2)， =(6 =(6，y)y)，且，且 ，求，求y y的值的值. .aba b 解：解：由已知可得由已知可得 即即(6,y)=(4(6,y)=(4，2)=(42)=(4，2)2)ba,64,y3.y2分析：分析：易证易证 所以所以A,B,CA,B
12、,C三点共线三点共线. .2ABAC,3 课堂练习课堂练习探究探究: 1212如如图图所所示示，当当PP =PP = PPPP 时时，点点P P的的坐坐标标是是什什么么？ 1212111121111212112112121212121212121212若若p p =p p = pp ,pp ,则则 OP = 0P +PP = 0P +P P OP = 0P +PP = 0P +P P1+1+ = 0P +(0P -0P ) = 0P +(0P -0P )1+1+1 1 =0P +OP =0P +OP1+1+1+1+x +x +xy +xy +y y =(,) =(,)1+1+1+1+x +x +xy +xy +y y点点P P的的坐坐标标是是(,)(,)1+1+1+1+解解: :xyOP1P2P向量平行向量平行(共线共线)等价条件的两种形式等价条件的两种形式: (1)a/b(b(1)a/b(b0)0)a =a =b;b;小结小结: :1122112212211221(2)a/b(a =(x ,y ),b =(x ,y ),b(2)a/b(a =(x ,y ),b =(x ,y ),b0)0)x y -x y = 0 x y -x y = 0
