1、5.1 微分方程建模概述微分方程建模概述5.2 简单微分方程模型案例简单微分方程模型案例5.3 综合性微分方程模型综合性微分方程模型 传染病模型传染病模型 古尸断代古尸断代 正规战与游击战正规战与游击战第五章第五章 微分方程模型微分方程模型动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根
2、据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1 5.1 微分方程建模概述微分方程建模概述 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，
3、与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。问题：一条长为一条长为L米质量为米质量为M的链条悬挂在一个钉子的链条悬挂在一个钉子上，初始时，一边长上，初始时，一边长3/5L，另一边长，另一边长2/5L，由静止，由静止启动。分别根据以下情况求出链条下滑的时间：启动。分别根据以下情况求出链条下滑的时间：1、不计摩擦力
4、和空气阻力；、不计摩擦力和空气阻力；2、阻力为、阻力为1/10L的链条重；的链条重；3、阻力与速度、阻力与速度v成正比成正比;4、摩擦力与对钉子的压力成正比，在、摩擦力与对钉子的压力成正比，在v=1时。时。 F阻阻=0.02m5.2 5.2 一些简单的微分方程案例一些简单的微分方程案例下一页例例1：铁链下滑问题：铁链下滑问题x(t)铁链下滑示意图t=0t时刻x(t)L/52x+L/5上一页例例2：刑事侦察中死亡时间的鉴定：刑事侦察中死亡时间的鉴定 在凌晨1时警察发现一具尸体,测得尸体温度是29C,当时环境温度是21C。一小时后尸体温度下降到27C,若人的正常体温是37C,估计死者的死亡时间。问
5、题描述问题描述 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。方法原理方法原理 设尸体的温度为T(t)(t从谋杀后计)，运用牛顿冷却定律得 模型建立与求解模型建立与求解)(TTdtdTout 得到它的通解为 toutoutTTTTe )(0这里T0是当t=0时尸体的温度,也就是所求的死亡时间时尸体的温度。速度速度模型建立与求解模型建立与求解27e )2137(2129e )2137(21)1(tt将题目提供的参数代入，得解得: 166e)1(t168e t和 34e则 求得: )(409. 2)12(,2877. 0hL
6、nttoutoutTTTTe )(0T0=37oC；Tout=21oC；T(t)=29oC；T(t+1)=27oC模型建立与求解模型建立与求解求得: )(409. 2)12(,2877. 0hLnt 这时求得的t是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:35。例例3：放射性废物的处理问题：放射性废物的处理问题 美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里英尺的海里.
7、 .他们这种做法他们这种做法安全安全吗？吗？ 分析：分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能这里仅考虑圆桶泄露的可能. . 联想联想：安全：安全 、危险、危险问题的关键问题的关键* * 圆桶至多能承受多大的圆桶至多能承受多大的冲撞速度冲撞速度？( (40英尺英尺/ /秒秒) )* * 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题：问题：求这一种桶沉入求这一种桶沉入300300英尺的海底时的末英尺的海底时的末速度速度. .（原问题是什么（原问题是什么? ?）可利用的数据条件可利用的数据条件： 圆桶的总重量圆桶的总重量
8、W=527.327（磅）（磅） 圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：满足的微分方程： )1(22DBWdtydm vdtdyCvDgWm,其中)2(. 0)0(),( VBWWgvWcgdtdv或或方程的解为方程的解为计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t t0 0 分析分析：考虑圆桶的极限速度：考虑圆桶的极限速度08. 0327.470436.527)(
9、lim CBWtvt0),1()( teCBWtvtWCg713.86713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）4040（英尺（英尺/ /秒）秒） 实际极限速度实际极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！ 解决思路：解决思路：避开求避开求t0的难点的难点 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度是圆桶下沉深度 dtdydydvdtdv. 将将代入（代入（1 1）得）得,.CvBWdtdydydvm .0)0(,0)0(,yvWgdydvCvBWv或或两边积分得函数方程：两边积分得函数方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函数若能求出
10、函数v=v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(试一试试一试)* 用用数值方法数值方法求出求出v(300)的近似值为的近似值为 v(300)45.41（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） * * 分析分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v 增增大大, ,y 也增大也增大, ,可求出函数可求出函数y=y(v) ),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v=40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2（英尺（英尺/ /秒），秒），算出算出 y= 238.4 ( (英尺英尺) )300（英尺）（英尺）问题的实际解答：
11、问题的实际解答： 美国原子能委员会处理美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，放射性废物的做法是极其危险的，必须改变必须改变。 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。例例4：崖高的估
12、算：崖高的估算方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如， 设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。221gth 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻空气阻力力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系落的速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿
13、第二定律可为常数，因而，由牛顿第二定律可得：得： kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再积分一次，得：再积分一次，得： cekgtkghkt2若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒 ，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。
14、米。 2kt2kt2kg)ek1t (kgkgekgtkgh多测几次，取平均多测几次，取平均值值代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式： 将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组： 933401212211.ttthkg)ekt (kgh
15、kt这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如， 若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 描述传染病的传播过程描述传染
16、病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型问问题题5.3 5.3 综合性微分方程模型综合性微分方程模型案例1：传染病模型 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(
17、病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?模型模型1sidtdi1)()(tits区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型模型模型2teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi
18、i00t1/2tmi111ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1itLogistic 模型模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型2di/dti011/2传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttitNstittiN)()()()(建模建模/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，
19、称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi模型模型3ttNi)(1,01,11)(i)11 (iidtdii0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti )(感染期内感染期内有效接触感染的健有效接触感染的健康者人数不超过原来病人数康者人数不超过原来病人数小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/ 阈值阈值P3P4P2S0模型模型4ssss0
20、0lnlnSIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 模型模型4群体免疫群体免疫110rSIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0, s0 1
21、小小, s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0 - 1/ = 模型模型4 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳它带到实验室，作碳14年代测定，分析表年代测定，分析表明，明，C14与与C12 的比例仅仅是活组织内的的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？，能否判断此人生活在多少年前？案例2：古尸年代鉴定问题年代测定方法是年代测定方法是1949年美国芝加哥大学年美国芝加哥大学利比（利比（W.F.Libby）建立的，是考古工
22、作者研究）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。断代的重要手段之一。c14背景背景宇宙线宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的应而生成具有放射性的 。从古至今，碳。从古至今，碳 不断产不断产生，同时其本身又在不断的放出生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。射线而裂变为氮。大气中大气中 处于动态平衡状态，处于动态平衡状态， 经过一系列交换过经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体活体中，的数量与稳定
23、的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂放射性元素裂变规律变规律衰减。衰减。c14c12从星际空间射到地球的射线从星际空间射到地球的射线c14c14c14c14裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。 Kc14=1/8000基本原理基本原理)()()(1214txtxtycc设 t 为死后年数，80001414ccxdtdx.,数量的比例与即活体中时则ccyyt1214008000tCey8000ydtdy80000teyy建模与求解建模与求解时当yy00624. 0 8000 ln 0.062422400tyear 求
24、 得此即所求死亡年数。80000teyyc14年代测定的修订：年代测定的修订： 19661966年，耶鲁实验室的年，耶鲁实验室的Minze StuiverMinze Stuiver和加利福尼亚和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的大学圣地亚哥分校的HansE.SuessHansE.Suess在一份报告中指出：在在一份报告中指出：在25002500到到1000010000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约的峰值发生在大约60006000年以前。他们
25、提出了一个很成功的年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的误差公式，用来校正根据碳测定出的23002300年到年到60006000年前年前这期间的年代：这期间的年代：真正的年代真正的年代9004 . 114年c古尸年代30460年l年代测定方法的基本原理；年代测定方法的基本原理；l 放射性元素衰变规律。放射性元素衰变规律。c14注意：注意： 1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳碳-C14的量约为大气中的的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推倍
26、，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？断出此女尸下葬的年代吗？已知碳已知碳-C14的半衰期为的半衰期为5730年。年。讨论讨论战争分类战争分类：正规战争，游击战争，混合战争：正规战争，游击战争，混合战争因素因素：只考虑双方兵力多少和战斗力强弱：只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力战斗力与射击次数及命中率有关与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例背景背景:早在第一次世界大战期间早在第一次世界大战期间
27、,F.W.Lanchester就提出了几个就提出了几个预测战争结局的模型预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进一步后来人们对这些模型作了改进和进一步解释解释,用以分析历史上一些著名的战争用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服美国而且曾对说服美国1975年结束越南战争起了重要的作用。年结束越南战争起了重要的作用。案例3：正规战与游击战0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方的战斗减员率分别用甲乙双方的战斗减员率分别用f(x,y)和和g(x,y)表示表示 每方非
28、战斗减员率与本方兵力成正比，每方非战斗减员率与本方兵力成正比，分别分别用用x和和y表示。表示。 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t), v(t)f, g 取决于战争类型取决于战争类型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型1.一般模型一般模型)()(tvybxytuxayx 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战xxprbbxg, 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每个士兵的
29、杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py, ry 射击率，射击率， py 命中率命中率2.正规战争模型正规战争模型)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时甲方胜 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方胜乙方胜这说明这说明: :初始兵力之比以平方关系影响战争的结果初始兵力之比以平方关系影响战争的结果. .因此此模型叫做因此此模型叫做平方律模型平方
30、律模型. .?),( 1,50)0(,100)0(问结局如何即装备性能等相同如若bayx例例1.7500)()(/2222 txtyakxy则则此时此时乙方败乙方败时时当当,7500)(,0)(2 txty解解:由由(4)式得式得.50;87,13人全伤亡人全伤亡乙方乙方人人还剩还剩人人即最后甲方伤亡即最后甲方伤亡.87)( tx双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf
31、(x, y)= cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区的隐蔽区域内活动域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向这个隐蔽而是向这个隐蔽区域射击区域射击3.游击战争模型游击战争模型)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmy
32、ryyxrxxssrssrcdxy00线性律线性律 模型模型甲方胜 0m平局 0mcddxdy)(ty)(tx0乙方胜, 0n平局, 0n甲方胜, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n02002xsrsprxyryyxxx4.混合战争模型混合战争模型.10 ,10010012101 . 01 . 02 ,1,1 . 0,2, 1 . 0,100006200220 xyxymSkmSrrPxryxxyx即则乙方有效射击面积甲方活动面积设这说明这说明: : 乙方必须乙方
33、必须1010倍于甲方的兵力才能获胜倍于甲方的兵力才能获胜. . 美国人曾用这个模型分析美国人曾用这个模型分析20世纪六七十年代的美越战争世纪六七十年代的美越战争,甲甲方为越南方为越南,乙方为美国乙方为美国.并根据在这之前发生在马来西亚、印尼、并根据在这之前发生在马来西亚、印尼、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出:正规部队方正规部队方必须至少投入必须至少投入8倍于游击队方的兵力倍于游击队方的兵力.而美国最多只能派出而美国最多只能派出6倍倍于越南北方共军的兵力于越南北方共军的兵力.因此战争的结局是美国不得不接受和因此战争的结局是美国不得不接受和谈并
34、撤军谈并撤军,越南人们获得最后胜利越南人们获得最后胜利.例例2.五、五、记A(t)，J(t)为美军及日军第t天的兵力数，忽略非战斗减员，令v(t)=0。则模型（2）变成如下形式：( )( )( )( )( )(0)0, (0)21500dA taJ tu tdtdJ taA tdtAJ （5）5. 硫磺岛战役（模型应用）硫磺岛战役（模型应用）美军战地纪录增援率为：5400001600023( )13000560ttu tt 其它并由每天伤亡人数和u(t)算出A(t)，t=136(见下图虚线)：对方程组(5)，用近似求和替代积分可得：111( )(0)( )( )( )(0)( )ttkktkA
35、 tAaJ ku kJ tJbA k（51）(52)( )( )( )( )( )(0)0, (0)21500dA taJ tu tdtdJ taA tdtAJ （5）估计估计b在式（52）中令t=36，由于J(36)=0，且 361( )2037000kA k3611( )(0)(0)(36)215000.01062037000( )( )tkkJ tJJJbA kA k带回（52）中算出J(t)，t=136，即每天的日军人数。然后将这些数据带入（51）可得 361361( )(36)202650.0544372500( )kku kAaJ k111( )(0)( )( )( )(0)( )ttkktkA tAaJ ku kJ tJbA k（51） (52)于是11( )0.544( )( )ttkkA tJ ku k 由上式能算出美军每天的理论值，如图实线表示天数美军数量理论计算值实际统计值
