1、例题例题第一节第一节 差分公式的推导差分公式的推导第二节第二节 应力函数的差分解应力函数的差分解第三节第三节 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例第四节第四节 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能第五节第五节 位移变分方程位移变分方程第六节第六节 位移变分法位移变分法习题的提示和答案习题的提示和答案教学参考资料教学参考资料第七节第七节 位移变分法例题位移变分法例题 弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法 因此，因此，弹性力学问题属于微分方程的弹性力学问题属于微分方程的边值问题。边值问题。通
2、过求解，得出函数表示的精通过求解，得出函数表示的精确解答。确解答。 对于工程实际问题，由于荷载和边界对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨人们探讨弹性力学的各种近似解法，弹性力学的各种近似解法，主要主要有有变分法、差分法和有限单元法。变分法、差分法和有限单元法。近似解法)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf差分法;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法将将微分方程微分方程用差分方程（代数方程）代替，用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分于是
3、，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。方程的问题。将将导数导数用有限差商来代替，用有限差商来代替，将将微分微分用有限差分来代替，用有限差分来代替，导数差分公式 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别x 、y 轴。网格交点称为结点，h 称为步长。应用应用泰勒级数公式泰勒级数公式 将将 在在 点展开点展开，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)1、抛物线差分公式、抛物线差分公式 略去式(a)中 以上项，分别用于结点1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x1030,xxhxxh 。022200)(2)(3xfh
4、xfhff抛物线差分公式结点3：结点1：01320130221()(),2( )1()(2)fffxhbffffxh。抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，)(3xo 抛物线差分公式2、线性差分公式、线性差分公式 在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为 。)(2xo,)(001xfhff0101()() , ( )fffcxh线性差分公式式(c)称为向前差分公式。向前差分公式。对结点1，得：,)(003xfhff)(),(1)(300dffhxf,02 T,)(bsqnT,bsTT 例例1 11S2S 稳定温度场的基本方程(
5、a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在 上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。1S2S0)(02 T; 0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d),2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)ab40353025322224222017。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.yxf23思考题 对于单连体，按应力函数单连体，按应力函数 求解时，求解时， 应满足:)( )( .)(,)( )2()( )( ; 0 ) 1 (4bSSflmfmlaAys
6、xyyxsyxx按 求解)( . , ,22222cyxxyxyyx按 求解)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(867503104220202022020220dhyxhxhyxyyx。差分法求解1.1.应力公式应力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。对于o点， 差分法求解：差分法求解：0)(04 )(2)( 820876543210. 0)(1211109i相容方程(e)化为： 对每一内结点， 为未知，均应列出式(e)的方程 。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示，表示，x相容方程yxy边界条件 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向
7、（图中为顺时针向），当移动 时， 为正，而 为负，外法线的方向余弦为dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdyl边界条件,)(dd)(dd222xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得)(.)()(,)()(gdsfxxdsfyyBAABBAAByx边界条件式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积应力边界条件的微分、积分形式。分形式。再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边界任一点B，得 通过分部积分从A到B积分，得yyxxddd.B,d)d(duvuvvuAAyyyxx
8、xABABAB)()(.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB边界条件(h)由全微分 求边界点求边界点的的 Ax, 0)( ,)( ,AAyxA)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyysfxsfyBAyBAxBAyBBAxBBBB边界条件AyAAx)(Ay)(边界条件,BBx)(.)(By和边界条件BBx)(By)(（1）在边界上选定基点A， 令 ， 然后计算边界上各结点的 、 、 ；0)()(AAyxAxyxy求解步骤（2）由边界结点的 、 值，求出边界 外一行虚结点的 值；4.4.应力函数差分解的步骤应力函数差分解的步骤（3）对边界内所有结点列式(e)的方程， 联立求各结
9、点的 值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的 值；q问题 此题无函数式解答。应用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁, ,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。1.本题具有对称性对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。, 0)()(AAyxA取网格如图。 AB间y向面力主矢量号， AB间x向面力主矢量， AB间面力对B点力矩，BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysfxxBd)(注意符号为正.0)(04 i5. 求出应力求出应力，如AM线上各点应力，并绘 出分布图。4. 求出边界外一行虚结点的 值值。3. 对
10、每一内点列差分方程 ，求求 出出 。2. 由边界点 的导数值，求出边界外一行 虚结点的虚结点的 值值。;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比较xx 差分法优点差分法优点：差分法评价)(3xo )( xo 缺点缺点：差分法评价0)(02 Ta（Z向厚度向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法计算 图中A点的应 力分量。弹性力学变分法弹性力学变分法，又称为能量法能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函泛函是以函数为自变量（宗量）的一种 函数。变分法，变分法，是研究泛函及其极值的求解方法是研究泛函及其极值的求解方法。应力变分法应力变分法
11、取应力函数为自变量，并以 余能极小值条件导出变分方程。 本章只介绍位移变分法。位移变分法位移变分法取位移函数为自变量，并以势 能极小值条件导出变分方程。 弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：外力势能外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为零，则：)( . d)(dd)(asvfufyxvfufWsyxAyx0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力势能1.1.弹性体上的外力功和外力势能弹性体上的外力功和外力势能外力功：外力功：形变势能（2）应力和应变均从0增长到 ， 故单位体积上，应力所做的功是单
12、位体积上，应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系、,d01U.211U （1）作用于微小单元上的应力，是邻近 部分物体对它的作用力，可看成是 作用于微小单元上的“外力”。2.2.应力的功和形变势能（内力势能）应力的功和形变势能（内力势能） 线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系)0(zyzxz),0(zyzxz).(211xyxyyyxxU(c) 形变势能1U形变势能.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)形变势能).(212()1 ( 222221eEUxyyxyx21EE11U1U形变势能).()(212)()(122221fyuxvyvxuyvxuEU 对于平面
13、应变问题， 将 ， 。再将几何方程代入， 可用位移位移表示为（6）将物理方程代入，平面应力问题的形平面应力问题的形 变势能密度变势能密度 ，可用形变形变表示为. 0U. , ,111xyxyyyxxUUUUUU1U(g)形变势能的性质.pVUE(h)211U思考题思考题u vpE 用位移表示的平衡微分方程（在A中） 用位移表示的应力边界条件（在 上） 位移边界条件（在上） 。uss实际位移u v(a) 其中、属于静力平衡条件，属于约束条件。对于实际位移，可将看成是必要条件，而、是充分条件。1.1.实际平衡状态的位移实际平衡状态的位移 、 ，必须满足，必须满足,v, 0 vu虚位移(b)us（在
14、 上）。usu,*vvvuuu(c)虚位移.dddyyuxxuu(d) 变分与微分的比较变分与微分的比较变分与微分UVpE. vvUuuUU变分与微分(e)由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序变分和微分可以交换次序，如 ).()(uxxu变分与微分( f )当发生虚位移虚位移（位移变分） 时，)( . d)(dd)(gsvfufyxvfufWyxsAyx)( .hWV)( . , ,iuyvxvyuxxyyxvu,虚位移上功和能 由于虚位移引起虚应变虚应变，外力势能的变分外力势能的变分：外力的虚功外力的虚功（外力功的
15、变分）：3.3.在虚位移上弹性体的功和能在虚位移上弹性体的功和能 .dd)(AxyxyyyxxyxU21虚位移上功和能 ( j )（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功 ）。)( UW)( . kWU位移变分方程4.4.弹性力学中位移变分方程的导出弹性力学中位移变分方程的导出（2）位移变分方程位移变分方程 将式(g)的 代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变在实际平衡状态发生位移的变 分分 时，所引起的形变势能的变时，所引起
16、的形变势能的变 分分 ，等于外力功的变分，等于外力功的变分 。)( . d)(dd)(lsvfufyxvfufUyxsAyxW),(vu)( U)( W位移变分方程U)( . d)(dd)(dd)(msvfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分，如式(g)所示。)( , 0nWU)( , 0o
17、WUWU位移变分方程（4）最小势能原理最小势能原理式(k)可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为位移变分方程 .d)(dd)( d)(dd)(;dd)( dd dd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得,pWUVUE. 0pE. 0p2E.pminE (p)(q)(r)位移变分方程pE位移变分方
18、程 这就是最小势能原理。它表示在给这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。组位移对应于总势能为极小值。pEuuuminE p0pE0p2Eu（实际位移）pE(a)(b).dd)( dd)(yxuyvxvyuxyxUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。, d)d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式在 上，
19、虚位移 ， 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( ) ,可得又一形式的位移变分方程又一形式的位移变分方程：yxuxuxyxuxAxxAxdd )()(dd )(,dd)(dyxuxsulsAxxus0u)(.ddtsulsulsxsx又一形式U例如，对第一项计算，(s)lAyxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()()(. 0d)()(usvflmufmlsyxyyxyxx因为 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须有uv. 0 , 0, 0 , 0yxyyxyxxyxyyxyxxflmfmlfxyfyx（在A中）(v)（在 上）(w)s又一形式 由此可见，从位移变分方程可以导
20、由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。方程和应力边界条件。 实际平衡状态的位移必须满足 a. 上的约束(位移)边界条件； b. 上的应力边界条件； c.域A中的平衡微分方程。5.5.结论结论sus结论 位移变分方程可以等价地代替静力条 件b,c。 结论 由此得出一种变分解法变分解法，即预先使位，即预先使位 移函数满足移函数满足 上的位移边界条件，再上的位移边界条件，再 满足位移变分方程，必然也可以找出满足位移变分方程，必然也可以找出 对应于实际平衡状态的位
21、解答。对应于实际平衡状态的位解答。us0p2E 1.微分和变分各是由什么原因引起的？ 2.试导出式(u)。 3.试比较4.中变分方程 (1)-(5)的不同的 物理解释。 4.试证明二阶变分 。 思考题 位移变分法是取位移为基本未知函数位移变分法是取位移为基本未知函数的。的。 位移函数应预先满足位移函数应预先满足 上的位移边界上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。条件，然后再满足位移变分方程。usmmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法设定位移试函数的方法，令 1.1.瑞利瑞利-
22、 -里茨法里茨法 其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法usususmAmB.,mmmmmmBvvAuu瑞利-里茨法(d)us)( . d)(dd)(esvfufyxvfufUyxsAyx)( . )(fBBUAAUUmmmmm瑞利-里茨法mAmB 位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程将式(d)，( f )代入(e)得.0ddddddAsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmym
23、ymxmx因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的、独立的，为了满足上式，必须:mAmB)( )2 , 1(.ddd,dddgmsvfyxvfBUsufyxufAUAsymymAsxxmmmm瑞利-里茨法mAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨变分方程里茨变分方程。它是关于 ，的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。sus伽辽金法 将位移的变分 ， （式(d )）代入，同样由于 ， 为完全任意的和独立的变分，得到)( . 0dd)()(hyxvfxyufyxAyxyyxyxxu伽辽金法smAmB（2）于是，由5-5中式(u)可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移
24、只需满足下列变分方程v)( )2 , 1(. 0dd)(, 0dd)(imyxvfxyyxufyxmyxyAymxyxAx将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽伽辽金变分方程金变分方程: :伽辽金法)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m伽辽金法mAmBmAmB思考题1q2q.,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例题例题 (a)(b)其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程变分方程代替（其中 ）：0yxff1111d ,d .yxssUf u
25、sAUf vsB(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0），0 yxff例题例题 且其中的 ， 应代入相应的边界方程。将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出 和 ，得位位移解答：移解答：1v1u11 BA例题例题 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。).1()( ,0)(,0),( ,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例题例题 (e)例例2 2本题全部为位移边界条件：全部为位移边界条件：本题以y轴为对称轴，u应为x的奇函数,v应为x的偶函数。例题例题 (f)设定位
26、移势函数设定位移势函数为)().1 ()1 ()1 (),1 ()1 (2222221110111gbybyaxBbyaxvBvvbyabxyaxAuAu 位移(g)已满足对称性条件已满足对称性条件(f)(f)和全部边和全部边界条件界条件(e)(e)。 因 全部为位移边界条件且均已满足，从55 式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。, 0,usss例题例题 将位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法 给出的结果相同。 因 ，故伽辽金变分方程伽辽金变分方程为 . 0dd)2121(2, 0dd)2121(21122200222220022yxvyxuxvyvyxuyxvyuxu
27、abab0yxff,11BA例题例题 (h)例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题例题1 1设图中的矩形域为 ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。mm 46 ab40353025322224222017解：对a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTTFaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）1F65. 0)()(AAyxA. 0432B.)( , 0)(3FyxB0)(Ay.1516172Fa,.0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAx
28、aFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211ll14lh1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF0)()(AAyxA 计算各边界结点处的 、 、 值。 在A点及J点，各取 布置于两侧，以 反映荷载的对称性，按公式（其中 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺时针方向为正）。2F,d)(d)(,d)( ,d)(BAyBAxBBAyBBAxBsfxxsfyysfxsfyBBxyByxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh 计算边界外一行结点的 值。, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,Fx
29、GED.)()(3,4,310,9,8Fh. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,2168162043214321FhFh对结点1，对结点2，对结点3，对结点4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056. 0,1873. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh .0528.2)( ,8912.0)(,1648.0)(;6136.0)( ,4424.0)(,4984.1)(1412lFlFlFlFlFlFyyEyxxJx例
30、题例题 xxyy对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为AyxyxEU3(12222,12EE).( b1E.)212dxdyxy解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：例题例题 (a)11)1()1(22222EE,211)1(22E.12112AyxEU)(21)1 (12222.21)211(22dxdyxyyx例题例题 E(c)2xy21U例题例题 U例题例题 lCDEFAB00U例题例题 例题例题 (a) AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生 张开。这是不稳定的平衡状态；) 1(2 . 0ba例题例题 qyxbuvbaaoq解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称
31、于y轴。 因此，位移分量u应为 、 的奇函数，而v为 x 、y 的偶函数，x y如图所示。可以设定位移势函数如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv, ax, 0),(vu例题例题 ,)1 (22111abxyaxAuAu).1 (22111axBvBv)961 ()1 ( 24422222211axaxbayAEU)1 (4421223114221axbaxBAaxB).21 (442222221axaxbaxA例题例题 abdxdyUU001421212342115412BabAabE.15781582111AbaBA0yxffbyqf
32、y0 xf, 01AU.11sydsvfBU例题例题 再积分求U， 边界是 ，且 ，从 到 积分。再将U代入上式，得到两个求 的方程：bydxds aa11,BAs, 01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE2 . 0ba , 0353911BA.565111EqaBAEqaA3125. 11.4625. 11EqaB,)1 (3125. 1222axyaxEqau).1 (4625. 122axEqav例题例题 例题例题7 7 图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取 ， 。
33、10ba 例题例题 aa b xyq解：在瑞利-里茨法中， 设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性。取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv,)(22111xyaxAuAu.)(22111yaxBvBv0yxffby 例题例题 11,BA,01AU .11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例题例题 （a）（b）0ba . 221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB aadxdyUU0012153341573
34、2212216BaAEa.15211aBA形变势能U为将U及 代入式(a)，(b)，得)(byqfy, 073211BaA.10334211EaqBaA(c)(d),106721031EaqA .106796021EaqB ),1 (106721022axEaqxyu).1 (106796022axEqyv例题例题 于是得到位移分量，再求应力分量，取 ，得：0).1 (106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1 (106796022axqy0y例题例题 在对称轴上，x=0， ,在 边界， ,),31 (106721022axayqxuEx),1 (106796022
35、axqyvEy.960)1 (10510671)(222ayaxaxqxvyuExy 本题中，由于u，v中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。0教学参考资料教学参考资料教学参考资料教学参考资料 2.2.差分法差分法是微分方程的一种近似数值解是微分方程的一种近似数值解 法法。在差分法中，将连续函数用一些 结点上的函数值来代替，并从而将微 分方程及其边界条件变换为差分(代数) 方程，使问题易于求解。在这种方法 中，采用了将函数离散的手段。教学参考资料教学参考资料教学参考资料教学参考资料
36、 4.有限单元法有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中在有限单元法中, ,首先将区域离散化，把连续体变换为离散首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。应用到离散化结构，从而建立求解的方法。 有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。教学参考资料教学参考资料教学参考资料教学参考资料.2)( ,2)(2002203131hfffxfhffxf,)(010hffxf.)(300hffxf教学参考资料教学参考资料 （二）本章内容提要（二）本章内容提
37、要.)()(,)( ,)(BABABAyBBAxBdsfxxdsfyydsfxdsfyyBxBB教学参考资料教学参考资料 2.2.应力函数应力函数 的差分解法的差分解法相容方程,004 )( 2)( 820876543210. 0)(1211109应力公式).(41)(),(1)( ),2(1)(820202003042h2hh6751xyyx教学参考资料教学参考资料 3.3.变分法是研究泛函及其极值的求解方变分法是研究泛函及其极值的求解方法。法。弹性力学中的位移变分法弹性力学中的位移变分法，是取位 移函数为宗量，由总势能处于极小值的 条件来导出变分方程，然后进行求解的。 以下列出平面应力问题
38、的有关变分公式 及方程。教学参考资料教学参考资料,pVUE,d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfufW.WVAxyxyyyxxyxUd)d(21教学参考资料教学参考资料.dd21212dd2121222222222yxyuxvyvxuyvxuEyxEAAxyyxyxvu, ,vvvuuu教学参考资料教学参考资料当虚位移发生时，当虚位移发生时，外力的虚功外力势能的变分形变势能的变分.d)(dd)(svfufyxvfufWyxsAyx.dd)(AxyxyyyxxyxU.WV教学参考资料教学参考资料 6.6.变分方程变分方程在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守
39、恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即上式也可以改用下列各形式表示和解释。位移变分方程位移变分方程.WU.d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx教学参考资料教学参考资料.d)(dd)(dd)(svfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx0pE, 0p2E.pminEVUEp教学参考资料教学参考资料Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()(. 0d)()(svflmufmlsyxyyxyxx位移变分方程的又一形式位移变分方程的又一形式教学参考资料教学参考资料, ),(),(, ),(),(00mmyxvByxvvyxuAyxuummmmusAsAsxmmymymmxmsvfyxvfBUsufyxufAU.ddd,ddd)2 , 1(m教学参考资料教学参考资料s. 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222yxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA教学参考资料教学参考资料)2 , 1(mus教学参考资料教学参考资料教学参考资料教学参考资料
