1、3.2 行列式的性质行列式的性质3.3 行列式与矩阵的逆行列式与矩阵的逆3.4 行列式的计算行列式的计算3.5 行列式与矩阵的秩行列式与矩阵的秩 3.1 n 阶行列式的概念阶行列式的概念第3章 行列式 3.4 行列式的计算 3.4.1 降阶法降阶法 内容内容小结小结 3.4.2 三角化方法三角化方法 3.4.3 归纳法归纳法 3.4.4 递推法递推法 3.4.5 分拆法分拆法 3.4.6 升阶法升阶法 行列式的计算3/29行列式计算常用方法常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等. 行列式计算的理论根据理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法
2、则 行列式的计算4/29例3.9 计算四阶行列式 613325332731117|41319A.3.4.1 降阶法降阶法 应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多, 然后按该行或该列展开, 化为低阶行列式来计算.415cc行列式的计算5/294156132533231124131|ccA解421,2,31439013590113504131irri4 41439( 1)( 1)13591135 2314392 1121135rr12321411011192 1120817rrrr2 11119( 1)( 2)817 70 .行列式的计算6/29解 将 | A| 按第 n 行展开, 得|xy
3、xyxyyx.例3.10 计算 n 阶行列式 11|( 1)|nnyxyyxyxy11( 1)nnyy()nnxy .1( 1)nnnxyxyxxyx 1( 1)nnnxx行列式的计算7/29例3.11 计算 n 阶行列式 |abbbbabbbbabbbbaA.解将第 2, 3, , n 列都加到第一列得3.4.2 三角化方法三角化方法 利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.行列式的计算8/29(1)|(1)(1)(1)anbbbbanbabbanbbabanbbbaA11(1) 11bbbabbanbbabbba12,3,irrin行列式的计算9/2912,3,1(1) irrinbbba
4、banbabab1(1) ()nanb ab.行列式的计算10/29例3.12 计算 121212|nnnabaaaabaaaabA. 解 先把第一行乘以 (1) 加到以下各行, 再把后面各列加到第一列. 1220000nnaaabaabb112()nnaaab b.120|0nabaabbbbA行列式的计算11/293.4.3 归纳法归纳法 通过计算低阶行列式, 发现某种规律, 进而猜想 k 阶行列式符合这种规律, 然后证明 k1 阶行列式也呈现此规律, 这就是数学归纳法的思想.行列式的计算12/29 证 对行列式的阶数 n 用数学归纳法.21211Vxx21xx12(),ijj ixx 例
5、3.13 证明 Vandermonde 行列式行列式1222212111112111()nnnijj i nnnnnxxxVxxxxxxxx .因为 所以 n 2 时, 等式成立. 行列式的计算13/29112131122133112222213311,1,2111100()()()0()()()iinrx rnnnnninnn nnxxxxxxVx xxx xxx xxxxxxxxxxx 假设等式对 n 1阶 Vandermonde 行列式 Vn 1 成立, 232131122223111()()(),nnnnnnxxxxxxxxxxxxn 1阶阶Vandermonde行列式行列式则行列式的
6、计算14/29213112()()()()nnijj i nVxx xxxxxx 1(),ijj i nxx 因此由归纳法假设得 所以等式对所有 n 2 都成立. 行列式的计算15/293.4.4 递推法递推法 利用按行 (列) 展开法则, 将 n 阶行列式化成形式相同的 n 1 阶行列式, 从而建立递推关系, 反复应用这个递推关系便可求出 n 阶行列式.行列式的计算16/29例3.14 计算 111nababababDababab.解 将 Dn 按第一行展开, 得11()1nna baba b abDa ba b=110,1naba bababa bDn 1Dn 2行列式的计算17/2912
7、(),nnnDab DabD从而112()nnnnDaDb DaD因2212,Da b Daab b 222321()(),nnnb DaDbDaD故1nnnDaDb.再把第二个行列式按第一列展开, 得3,4,n 行列式的计算18/291nnnDaDb212nnna Dabb32213nnnna Da babb12211nnnnaDababb12()nnna aDbb1221nnnnnaabababb.于是 行列式的计算19/293.4.5 分拆法分拆法 分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.nxyyyzxyyDzzxyzzzx.例3.15 计算 n 阶行列式
8、解 先将 Dn 的最后一行拆开, 得行列式的计算20/29nxyyyzxyyDzzxyzzzz 000 xyyyzxyyzzxyxz 1()nz xy将 y 与 z 互换, 行列式 Dn 不变, 11()(),nnnDy xzxy D从而 1()nxz D.行列式的计算21/29当 z y 时, 解得()()nnnz xyy xzDzy.当 z y 时, 由例3.11 的结果知1(1) ()nnDxny xy.行列式的计算22/29解 细心观察可以发现, 当 n 3 时, 有例3.16 计算行列式211 2122 122212|111111111|nnnnnaa aa aa aaa aa aa
9、 aa.=行列式的计算23/291212111111nnaaaaaa=1212100111100,000100000nnaaaaaa从而当 n 3 时, A 0.行列式的计算24/2921|1|a.211 222 12|1111|aa aa aa =当 n 1 时, 显然 当 n 2 时, 有 212()aa.行列式的计算25/293.4.6 升阶法升阶法 为便于应用行列式的性质, 有时在原来的行列式中添加一行一列, 即把行列式的阶数增加1, 这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便, 而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等.升阶法也叫加边法.行列式的计算26/29解 将行列式升阶, 得1313
10、1321111102222222,03333336|0|nnnnnnnnnnnnnnn=1313132222222233333|36nnnnnnnnnnnnnn=.例3.17 计算 行列式的计算27/29将新行列式的第二列依次与第 3, 4, , n 列交换, 再将新行列式第二列依次与第 3, 4, , n1 列交换, 再将新行列式第二列依次与第 3, 4, , n2 列交换, , 得 将新行列式第一行乘 i 加到第 i 行, 得 13213213211111222223333|3|nnnnnnnnnnn=1221221221111112222!133331nnnnnnnnnnn.行列式的计算28/29221(1)(2)22122211111112222( 1)!133331nnnnnnnnnnnnn (1)(2)21( 1)!nnnkk .转置的转置的Vandermonde行列式行列式将新行列式第一行的元乘 i 加到第 i 行, 得 13213213211111222223333|3|nnnnnnnnnnn=1221221221111112222!133331nnnnnnnnnnn行列式的计算29/29内容小结内容小结行列式计算常用方法有: :降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、 升阶法等.
