1、1一、样本空间与随机事件二、事件的关系及运算三、频率和统计规律性2 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌若在一赌徒胜徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌博博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率论的第一个基本概念概率论的第一个基本概念数学期望数学期望.1. 概率论的诞生概率论的诞生3在生活当中在生活
2、当中, 经常接触到经常接触到事件的概率事件的概率降水降水概率为概率为30%；某强队对弱队某强队对弱队赢球赢球的概率为的概率为80%；比如比如:4为什么要学习概率论与数理统计为什么要学习概率论与数理统计?因为概率论与数理统计应用广泛因为概率论与数理统计应用广泛:例如例如: (1): (1)体育彩票体育彩票 数据数据需检验需检验 (a)每个数字被选中的机会是等可能的每个数字被选中的机会是等可能的; (b)每个数字被选中是相互独立的每个数字被选中是相互独立的. （2 2）自动生产线的控制）自动生产线的控制: :（可口可乐）抽样、（可口可乐）抽样、 检验、调试检验、调试 5(4) 经济、保险经济、保险
3、; 管理决策管理决策; 生物医药生物医药; 工业工业(工艺方案等工艺方案等); 农业农业(试验设计等试验设计等); 等等等等 例如天气预报、地震预报、产品的抽例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等干扰性、分辨率等等（3 3）金融、债券与风险管理（金融工程师、）金融、债券与风险管理（金融工程师、 精算师）企业管理等等精算师）企业管理等等; ;6 在我们所生活的世界上，在我们所生活的世界上， 充满了不确定性充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；
4、从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性（随机性）无刻不面临着不确定性（随机性）.7 从亚里士多德时代开始，哲学家们从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西越了人们理解能力范围的东西. . 他们没他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性去测量
5、不定性. .8 将将不定性（随机性）数量化不定性（随机性）数量化，来尝，来尝试回答这些问题，是直到试回答这些问题，是直到2020世纪初叶才世纪初叶才开始的开始的. . 还不能说这个努力已经十分成还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命人类活动的一切领域带来了一场革命. .9 了解事件发生的可能性即概率的大了解事件发生的可能性即概率的大小小,对人们的生活有什么意义呢对人们的生活有什么意义呢?例如例如: 了解发生意外人身事故的可能性大了解发生意外人身事故的可能性大小小,确定保险金额确定保险金额. 了解来商场购
6、物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小可能性大小,合理配置服务人员合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性了解每年最大洪水超警戒线可能性大小大小,合理确定堤坝高度合理确定堤坝高度.10确定性现象确定性现象 : 一定发生的现象一定发生的现象 : 在一定的条件下在一定的条件下,可能出现可能出现这样的结果这样的结果,也可能出现那样的结果也可能出现那样的结果,而而且在事先无法预知确切结果的现象且在事先无法预知确切结果的现象随机现象随机现象自然界的现象自然界的现象:例如例如, 自由落体运动自由落体运动 太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起例如例如, 车站等车人数车站等车人数
7、 新生的婴儿可能是男或女新生的婴儿可能是男或女11结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.12实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉
8、口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.13随机现象的分类随机现象的分类个别随机现象个别随机现象：原则上不能在相同条件下重：原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例6）大量性随机现象大量性随机现象：在相同条件下可以重复出：在相同条件下可以重复出 现（例现（例1-5）随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结条件不能完全决定结果果142. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现这种结
9、果的出现具有一定的具有一定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.15 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能
10、事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.16说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2.
11、随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;171.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中, 依次任选三件依次任选三件,记录出现正品与次品的件数记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.183. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻
12、的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只, 测试其寿命测试其寿命. 19样本空间样本空间: 试验的所有可能结果组成的试验的所有可能结果组成的 集合集合记为记为 样本点样本点: 样本空间的元素样本空间的元素 即随机试验的单个结果即随机试验的单个结果记为记为 由随机试验的定义可知所有的样本由随机试验的定义可知所有的样本点是已知的点是已知的一、样本空间与随机事件一、样本空间与随机事件20例如例如, 掷一枚硬币观察正、反面出现的掷一枚硬币观察正、反面出现的情况情况:一次试验就是掷一次硬币一次试验就
13、是掷一次硬币试验的可能结果有两个试验的可能结果有两个:正正 (正面朝上正面朝上)、反、反 (反面朝上反面朝上)即有两个样本点即有两个样本点: 正、反正、反这个随机试验的样本空间为这个随机试验的样本空间为: 正、反正、反21例如例如, 测量灯泡寿命测量灯泡寿命: 样本点是一非负数样本点是一非负数,由于不能确知由于不能确知寿命的上界寿命的上界,所以可以认为任一非负实所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果数都是一个可能结果,则样本空间则样本空间:S = t : t 022例如，从包含两件次品例如，从包含两件次品(a1,a2)和三件正和三件正品品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件的五件产品
14、中任意取出两件:例如拿出的两件是例如拿出的两件是a1、b1这就是一个样本点这就是一个样本点,记为记为a1,b1样本空间为样本空间为:具体拿出两件就是一次试验具体拿出两件就是一次试验 =a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b323 把样本空间的任意一个子集称为把样本空间的任意一个子集称为一个一个随机事件随机事件,简称简称事件事件 可见可见,随机事件是由试验的若干个随机事件是由试验的若干个结果组成的集合结果组成的集合记作记作A、B、C等等24在上例中在上例中,令令表示事件表示事件: “没有抽到次品没有抽到次品” 表示事
15、件表示事件: “恰好抽到一件次品恰好抽到一件次品” A=b1, b2,b1, b3,b2, b3B=a1,b1,a1, b2,a1, b3,a2, b1, a2, b2,a2, b325 在试验中在试验中,当事件中的一个样本点当事件中的一个样本点出现时出现时,称这一称这一事件发生事件发生 上例中上例中,事件事件A发生当且仅当发生当且仅当A中所中所含的含的3个样本点之一出现个样本点之一出现; 事件事件B发生当发生当且仅当且仅当B中所含的中所含的6个样本点之一出现个样本点之一出现 26必然事件必然事件: 在每次试验中必然出现的事在每次试验中必然出现的事件件,记为记为 不可能事件不可能事件 : 一定
16、不出现的事件一定不出现的事件,记为记为 两个特殊的事件：两个特殊的事件：例如例如,在掷骰子试验中在掷骰子试验中:是必然事件是必然事件是不可能事件是不可能事件“掷出点数小于掷出点数小于7” “掷出点数掷出点数8”27 对应集合的关系和运算来定义事对应集合的关系和运算来定义事件的关系及运算件的关系及运算,并根据并根据“事件发生事件发生”的的含义含义,来理解它们在概率论中的含义来理解它们在概率论中的含义28 B 包含包含 事件事件A发生必有事件发生必有事件B发发 生生, 称称B包含包含AA显然显然 A相等相等A B且且B A A=B : A B : 29:事件事件A和和B至少有一个发生至少有一个发生
17、 A B显然显然, A =A A = AB 30: 事件事件A与与B同时发生同时发生简写简写AB A B显然显然, A = A =AAB 31:事件事件A与与B是互斥的是互斥的, 或互不相容的或互不相容的AB 互斥的事件不可能在一次试验中互斥的事件不可能在一次试验中同时发生同时发生AB= 32: 事件事件A发生而发生而B不发生不发生AB显然显然, A A= A =A A= A B 33：A不发生不发生 A显然显然,AAA AA AAAA BABA 34 事件的和与积可推广到有事件的和与积可推广到有(无无)限个限个事件的情形：事件的情形：A1, A2, , An, 中至少有一个中至少有一个发生发
18、生A1, A2, , An, 同时发生同时发生:1 kkA:1 kkA35注注: 互斥与互逆互斥与互逆: AB若若AB = ,则则A与与B互逆互逆互逆一定互斥互逆一定互斥若若AB ,则则A与与B不是互逆的不是互逆的AB= A与与B互斥互斥361、交换律、交换律: AB=BA AB=BA2、结合律结合律: (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)3、分配律分配律: (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 374、对偶律、对偶律:可推广可推广:BABA BAAB kkkkAA kkkkAA 38A1:“至少有一人命中目标至少有一人命中目标”:A2:“恰有一人命中目标恰有一
19、人命中目标”:A3:“恰有两人命中目标恰有两人命中目标”:A4:“最多有一人命中目标最多有一人命中目标”:A5:“三人均命中目标三人均命中目标”:A6:“三人均未命中目标三人均未命中目标”:例例1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹子弹,以以A、B、C分别表示甲、乙、丙命分别表示甲、乙、丙命中目标中目标,试用试用A、B、C的运算关系表示下的运算关系表示下列事件列事件: ABCCBACBACBABCACBACABBACACBCBA ABC39 研究随机现象研究随机现象, ,不仅关心试验中会不仅关心试验中会出现哪些事件出现哪些事件, ,更重要的是想知道事件更重要的是想
20、知道事件出现的可能性大小出现的可能性大小, ,也就是事件的概率也就是事件的概率40 为事件为事件A在这次试在这次试验中发生的频率验中发生的频率定义定义: 频率频率 事件事件A在相同条件下进行的在相同条件下进行的n次试次试验中发生了验中发生了m次次,称称记为记为 fn(A)nm1.事件的频率事件的频率41频率的性质：频率的性质：(1) 0fn(A) 1(2) fn( )=1, fn( )=0(3) 若事件若事件A1, A2, , Ak两两互斥两两互斥,则则 kiinkiinAfAf11)()(42再进一步找出事件发生的规律再进一步找出事件发生的规律: 从例表中可见从例表中可见,在相同条件下在相同
21、条件下,当试验次当试验次数较少时数较少时,事件的事件的频率较不稳定频率较不稳定,当试验次数当试验次数逐渐增大时逐渐增大时, 事件的频率总在一个定值附近事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，摆动，而且，试验次数越多，一般来说一般来说摆动摆动越小越小. 这个性质叫做频率的稳定性这个性质叫做频率的稳定性. 频率的这种稳定性频率的这种稳定性,即统计规律性即统计规律性,说明了一个事件发生的可能性有一定说明了一个事件发生的可能性有一定的大小可言的大小可言43 频率在一定程度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小. 尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试次
22、）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率就会非常接近一个值相当大，频率就会非常接近一个值-概概率率. 因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的, 频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率44 考虑在相同条件下进行的考虑在相同条件下进行的S 轮试验轮试验.第二轮试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第S轮试验试验次数试验次数ns事件事件A出现出现ms 次次试验次数试验次数n1事件事件A出现出现m1次次第一轮试验事件事件A在各轮试验中频率形成一个数列在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频
23、率稳定性的含义我们来说明频率稳定性的含义.,11nm,22nmssnm,45 指的是：当各轮试验次数指的是：当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微值相差甚微 . 11nmssnm22nm频率频率 稳定在概率稳定在概率 p 附近附近 频率稳定性频率稳定性46 这种稳定性为用统计方法求概率的数这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路值开拓了道路.出时，人们常取实验次数很大时事件的频出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，率作为概率的估计值，这种确定概率的
24、方法称为这种确定概率的方法称为频率方法频率方法.在实际中，当概率不易求在实际中，当概率不易求统统计计概概率率称此概率为称此概率为47例如，若我们希望知道某射手中靶的例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录射击情况进行观察记录.若他射击若他射击n发，中靶发，中靶m发，当发，当n很大时，可很大时，可用用频率频率m/n作为他中作为他中靶概率的估计靶概率的估计.48 设在同一组条件下设在同一组条件下,重复进行了重复进行了N次随机试验次随机试验.当当N很大时很大时,某一随机事件某一随机事件A发生的频率发生的频率FN(A)=2
25、.事件的概率事件的概率 稳定地在某一常数稳定地在某一常数p的附近摆动的附近摆动,则称该常数则称该常数p (频率的摆动频率的摆动中心中心)为随机事件为随机事件A的概率的概率,记作记作P(A)=p定义定义:Nn49统计概率的性质：统计概率的性质：(1)非负性非负性: 对任一事件对任一事件A,有有 0P(A) 1(2)规范性规范性: 对必然事件对必然事件 ,有有 P( )=1(3)有限可加性有限可加性: 若事件若事件A1, A2, , An两两互斥两两互斥,则则 nkknkkAPAP11)()(50思考:射击3次,事件Ai表示第i (i=1,2,3) 次命中目标,则事件( )表示 至少命中一次 (A) A1A2A3(B) A1(A2A1)(A3A2)A1(C)(D)321AAA 321321321AAAAAAAAA显然成立显然成立=(A)表示没有命中一次表示没有命中一次表示仅有一次表示仅有一次ABC
