1、人教版数学九年级上册教材全套分析人教社初中数学培训专家团北京市朝阳区教育研究中心 万书河 数学九年级上册章名课时第二十一章 一元二次方程13课时第二十二章 二次函数 8课时第二十三章 旋转7课时第二十四章 圆12课时第二十五章 概率初步11课时第二十一章 一元二次方程2121、1 1 一元二次方程 1 1课时2121、2 2 降次解一元二次方程 7 7课时2121、3 3 实际问题与一元二次方程 3 3课时数学活动小结 2 2课时 (一)内容安排 从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看, ,从实际问题中抽象出数量关系, ,列出一元二次方程, ,求出它的根进而解决实际问题, ,是本章学习的一条
2、主线。 二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“元”上的推广, ,一元二次方程是在次数上的推广。类比二( (三) )元一次方程组的解法, ,研究将“二次”降为“一次”的方法, ,是本章学习的另一条主线。 教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法, ,而且限定在解数字系数的一元二次方程。(一)内容安排(一)内容安排 降次是解一元二次方程的基本策略, ,即通过配方、因式分解等, ,将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。依照平方根的意义, ,可得方程x x2 2= =p p和( (x x+ +n n) )2 2= =p p的解法; ;通过配方, ,可将一元二次方程转化为
3、( (x x+ +n n) )2 2= =p p的形式再解; ;一元二次方程的求根公式, ,是对方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0配方后得出的、如能将axax2 2+ +bxbx+ +c c分解为两个一次因式之积, ,则可令每个因式为0 0来解、(一)内容安排 三种解法的地位: : 配方法是推导一元二次方程求根公式的工具、掌握了公式法, ,就能够直截了当用公式求一元二次方程的根、因式分解法是解某些方程的简便方法。 配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法、 在推导求根公式的过程, ,体现了从特别到一般的思想; ;求解方程的过程是将推广所得的方程转化为差不多会解的方程, ,体现了
4、化归思想。这个过程对培养推理能力、运算能力等都特别有作用。(一)内容安排课程标准( (20112011年版) )重新强调了一元二次方程根的判别式和韦达定理的重要性, ,要求能“用判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”, ,“了解一元二次方程的根与系数的关系”, ,这是需要注意的一个变化。除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外, ,第三节安排三个“探究”, ,让学生建立一元二次方程模型解决实际问题, ,再一次经历如下过程: :(一)内容安排(二)编写时考虑的几个问题1、注重联系实际, ,体现建模思想, ,发展应用意识利用人体雕像这一典型的黄金分割问题, ,建立一元二次
5、方程模型, ,引出本章内容; ;通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题, ,抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示; ; 安排“实际问题与一元二次方程”, ,使学生完整地经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程。 目的: :使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要; ;体验运用数学知识解决实际问题的基本过程, ,积累数学活动经验, ,从而培养模型思想, ,逐步形成应用意识。2 2、重视联系性、逻辑性, ,突出基本策略 采纳从特别到一般、从具体到抽象的方法, ,从方程x x2 2= =p p出发, ,经不断推广而得到一般的axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0;
6、;利用“配方法”, ,把“新方程”化归为已解决的形式而得解: : 依照平方根的意义, ,通过直截了当开平方而得到方程x x2 2=25=25的解, ,再推广到求方程x x2 2= =p p的解, ,引导学生对p p0 0, ,p p0 0和p p0 0三种情况进行详细讨论; ; 然后, ,分析变式( (x x+3)+3)2 2=5=5的解决过程, ,归纳出“把一个一元二次方程降次, ,转化为两个一元一次方程”的思路, ,再给出( (x x+3)+3)2 2=5=5的等价形式x x2 2+6+6x x+4=0+4=0, ,并用框图表示将x x2 2+6+6x x+4=0+4=0转化为( (x x
7、+3)+3)2 2=5=5的过程, ,最后归纳出“配方法”, ,并讨论通过配方将方程转化为( (x x+ +n n) )2 2= =m m的形式后的解, ,让学生再次经历分类讨论过程。 再通过“探究: :任何一个一元二次方程都能够写成一般形式axax2 2+ +bxbx+ +c c=0(=0(a a0)0), ,能否也用配方法得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验, ,自主推导出求根公式。 上述过程, ,让学生反复经历了“具体抽象”、“配方分类讨论”的过程, ,不仅获得了求根公式, ,而且有利于突破两个难点: :针对一般形式的一元二次方程的配方, ,分类讨论。 通过具体方程
8、1010 x x4 4、9 9x x2 2=0=0, ,得出针对某些方程的简便解法因式分解法。 最后进行根与系数关系的研究。3 3、注重“四能”培养 因为学生差不多具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础, ,只要他们能把这些知识调动起来、应用到研究中去, ,他们就能独立地发现解法, ,因此教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维, ,为他们提供独立探究的机会。(三)对教学的几个建议1、为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程, ,能够按如下线索安排 实际背景引入从已有经验中总结解方程的一般思想方法( (化归为一元一次方程)类比二元一次方程组的“消元”, ,得到解一元二次方程的思
9、路“降次”从简单、特别的一元二次方程( (如x x2 2=25=25, ,x x2 2= =p p; ;( (x x+3)+3)2 2=5=5, ,x x2 2+6+6x x+4=0+4=0, ,( (x x+ +n n) )2 2= =p p等) )探究“降次”的方法( (直截了当开平方、配方法)用配方法推导求根公式( (公式法)针对特别一元二方程的特别解法( (因式分解法) )。 要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程, ,幸免不同解法之间的割裂。方程x x2 2= =p p的解具有奠基作用, ,特别是对p p的分类讨论, ,蕴含了对判别式的分类讨论, ,因此一定要认真处理好; ;推广
10、的方程( (x x+3)+3)2 2=5=5与x x2 2+6+6x x+4=0+4=0是获得配方法的载体; ;配方法是公式法的基础; ;公式法是直截了当利用公式求根, ,省略了配方过程; ;因式分解法是解特别形式的一元二次方程的简便方法。 获得一元二次方程解法的教学中, ,应加强类比、从特别到一般等思想方法的引导。2 2、注重模型思想、应用意识的培养 让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程, ,把模型思想、应用意识的培养落在实处。 用数学解决实际问题的难点在于数量关系的分析和数学模型的选择。教学中应注意引导学生认真分析题意, ,借助适当的直观工具, ,如画图、列表等, ,找出问题中的
11、已知量、未知量, ,找到关键词并由此确定等量关系, ,进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯, ,包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义, ,找出合乎实际的结果等。3 3、注意控制教学要求 学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与系数的确定关系, ,更全面地认识一元二次方程。 针对判别式、韦达定理等的形式化训练, ,对锻炼学生的思维有一定好处, ,但复杂的代数变形对提高学生的数学能力( (特别是数学建模能力) )没有多大帮助。因此, ,要注意掌握好这些教学要求, ,控制好形式化训练的难度, ,特别是不要搞用韦达定理解决其他问题的训练。第二十二章 二次函数22、1
12、 二次函数 6课时22、2 二次函数与一元二次方程 1课时22、3 实际问题与二次函数 3课时数学活动小结 2课时(一)内容安排本章主要变化 构建二次函数图象和性质的研究思路 通过图象理解二次函数的变化情况 调整第三节正文中的实际问题 用物理问题引入。 将原来的面积问题改为探究1 1。 将原来的探究1 1改为探究2 2。删去原来的探究2 2。 更换数学活动 将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。1 1、体现类比、数形结合和归纳的思想 类比思想在讨论过程中有多处体现。例如,在讨论二次函数 之前的一段话中指出,能够类比一次函数研究二次函数。又如,关于二次函数yax是分a0和a0的情况,如此,a0
13、的情况进行讨论。(二)编写时考虑的几个问题 数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始 终。关于最简单的二次函数 yx的研究就是从 画这个函数的图象开始,然后通过图象了解它 的性质。其后的二次函数的研究,也都展现了 从解析式到图象,从图象到性质的过程。包括 第22、3节中,关于二次函数的最小(大)值的 结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点 获得的。 从特别例子归纳一般结论也是常用的。2、重视知识之间的联系 学生在“一次函数”一章差不多了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。本章专设一节,通过探讨二次函数与一元二次方程的联系,再次展示函数与方程的联系。如此安排一方面
14、能够深化学生对一元二次方程的认识,另一方面又能够运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。3、体现模型思想 关于某些实际问题,假如其中变量之间的关系能够用二次函数模来刻画,就能够利用二次函数的图象和性质来研究,从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。 例如,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下能够使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题能够归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程。 此外,在函数y=a(xh) k的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题,在第三节中安排的探究3(水位问题),也是运用二次函数解决实
15、际问题的例子。1 1、注意复习相关内容 二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习,中间相隔了一段时间。函数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此,要注意复习已学函数内容,帮助学生学好二次函数。 复习平移、对称,配方等内容,有助于学生学习本章内容。(三)对教学的几个建议2、关注数形结合的研究方法二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方 法,即先画出二次函数的图象,再结合图象讨论二次函数的性质。掌握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。图象能够直观展示函数的变化情况。函数图象从左向右上升(或下降)对应着函数随自变
16、量增大而增大(或减小)。3、加强对实际问题的分析 运用二次函数解决实际问题时,用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如,在22、3节的探究1中,用总长一定的篱笆围成矩形场地,场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积,用矩形一边长表示它的邻边长,从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中,加强对实际问题的分析,有助于学生顺利解决实际问题。4 4、重视信息技术的使用第二十三章 旋转23、1 图形的旋转 2课时23、2 中心对称 3课时23、3 课题学习 图案设计 1课时数学活动小结 1课时(一)内容安排依照义务教育数学
17、课程标准,在“图形的变化”部分要介绍平移、轴对称和旋转、本章介绍旋转。本章第一节学习图形旋转的基本概念和性质、在此基础上,第二节学习特别的旋转中心对称、第三节是课题学习,内容是综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计、2323、1 1 图形的旋转 首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念、然后设置了一个“探究”栏目,让学生探究在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角相互相等的性质、 接下来,安排了一个按要求画出简单平面图形旋转后的图形的例题、最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容、在本节中,旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣:由概念得出性质;由性质得出有关作图的方
18、法、应关注这些内容之间的联系,使前一部分内容为后一部分内容作好准备,使后一部分内容复习巩固前一部分内容、2323、2 2 中心对称 本节分三部分内容:中心对称的概念、性质和有关画图;中心对称图形的概念;关于原点对称的点的坐标的关系、对中心对称,课本首先通过具体例子给出中心对称的概念,然后探究中心对称的性质,最后说明画和已知图形中心对称的图形的方法、对中心对称图形,主要让学生通过线段、平行四边形加以认识,并了解中心对称和中心对称图形的联系和区别、关于原点对称的点的坐标的关系是特别基本的坐标关系,教学中能够让学生自行探究得出,由此得到利用这一关系画和已知图形关于原点对称的图形的方法、( (二) )
19、编写时考虑的几个问题 1 1、 注意揭示旋转概念的实际背景和广泛的应用 学数学的根本目的是用数学知识解决各种实际问题,这就决定了教材必须紧密联系实际,揭示教学内容和实际的联系。本章的内容,主要包括旋转、中心对称、中心对称图形、图案设计,教科书在编写中重视揭示这些内容和实际的种种联系,让学生认识知识的实际背景和应用价值。本章各部分列举了许多旋转的实例,如水车、风力发电机、螺旋浆等等。 本次教材修订中还增写了“阅读与考虑 旋转对称”,介绍了旋转对称性质的广泛应用。中心对称和中心对称图形在现实生活中也特别常见,教科书介绍了雪花、工艺美术品、部分交通标志等图案,教学中还能够通过更多的具体实例加深学生对
20、中心对称的认识。(三) 对教学的几个建议 1、 注意相近概念间的联系与区别 与轴对称和轴对称图形间的关系类似,在这一章中的中心对称概念和中心对称图形概念既不相同又联系紧密。 中心对称和中心对称图形的区别:中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系,成中心对称的两个图形中,其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反之,另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,中心图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形本身上。 中心对称和中心对称图形的联系:假如把关于某点中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中
21、心对称图形;一个中心对称图形,也能够看成是关于某点对称的两个图形。 教学中应帮助学生弄清这两个概念的区别和联系,获得正确的认识,能够正确地使用这两个概念。 2、 适当借助计算机画图软件进行教学 目前,计算机画图软件的功能差不多特别强大,应该结合教学内容,适当借助计算机画图软件来辅助教学。对本章,着重在两方面考虑软件的应用:发现有关的几何结论、图案设计。 借助计算机画图软件(如几何画板软件),能够容易地作出图形绕某一点O旋转一个角度后的图形,因而能够容易地作出一个图形关于某点(如原点O)的中心对称图形。还能够借助软件的度量功能,发现对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋
22、转角。利用软件的度量功能,容易发现:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反。画图软件的功能常常特别强大,关于图形性质的探究和发现会特别有帮助。 利用计算机画图软件进行图案设计常常特别有效,能够发挥软件的强大功能,有时即使从一个特别简单的图案出发,经过旋转等进行图案的设计,往往能得到特别美丽、多样化的图案。有条件的话,能够让学生发挥自己的想象力,进行这方面的尝试,这对培养学生的审美意识,发挥数学教育的美育功能会起一定的作用。3、 注意知识的前后联系 同平移、轴对称一样,已知图形经过旋转得到一个新图形。平移、轴对称不改变图形的形状和大小,旋转也具有如此的性质,实际上,平移、轴对称和旋转都是全等变
23、换。以后要学的相似则不具有这个性质。在本章的教学中,应该注意知识的前后联系,把旋转和往常所学的平移、轴对称作适当类比,帮助学生学习本章的知识。 在作已知图形平移后的简单几何图形,或作与已知简单几何图形成轴对称的图形时,只要先确定已知图形中的一些特别点(如多边形的顶点)的对应点,就能够画出整个图形经过平移或轴对称后的图形,这种方法关于作已知简单几何图形旋转后的图形也适用,教学中能够引导学生进行类比。第二十四章 圆2424、1 1 圆的有关性质 5 5课时2424、2 2 点和圆、直线和圆的位置关系 5 5课时2424、3 3 正多边形和圆 2 2课时2424、4 4 弧长和扇形的面积 2 2课时
24、数学活动小结 2 2课时(一)内容安排 2424、1 1 圆的有关性质 圆的概念( (发生法、集合) )有关概念( (圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、 等弧) )垂径定理( (证明选学),),轴对称性弧、弦、圆心角的关系, ,旋转对称性圆周角定理、推论, ,圆内接四边形的性质 重点: :垂径定理、弧弦圆心角的关系 圆周角定理 难点: :对垂径定理的理解, ,圆周角定理证明 变化 依照“介绍概念研究性质”的方式安排“垂径定理”“弧、弦、圆心角的关系”“圆周角定理”的内容,不追求联系实际的引入方式,体现几何问题的研究思路。 发现轴对称性 证明轴对称性 证明垂径定理 解决赵州桥的问题(应用) 242
25、4、2 2 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系 三种位置关系 数量表示 过三点的圆 反证法 三角形的外接圆直线和圆的位置关系 三种位置关系 数量表示 切线的判定和性质 切线长 三角形的内切圆重点: :位置关系, ,切线的判定和性质难点: :反证法, ,切线的判定和性质 变化 “圆和圆的位置关系”变为选学 24 24、3 3 正多边形和圆 正多边形和圆类似的性质 轴对称 中心对称 等分圆周正多边形 正多边形的相关概念 中心、半径、 中心角、边心距 正多边形的计算 画正多边形 量角器 尺规 阅读与考虑: :圆周率 重点: :正多边形的有关计算 难点: :关于 n n 的理解 2424、4
26、 4 弧长和扇形的面积 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积扇形的面积 实验与探究 设计跑道 变化 直截了当通过提问题进入弧长和扇形面积的学习增加数学活动: :车轮做成圆形的数学道理二、编写时考虑的几个问题1 1、突出图形性质的探究过程, ,突出直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合 轴对称性 垂径定理及其推论 旋转对称性 弧、弦、圆心角之间的关系 观察、度量 圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系 直观操作 点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系 观察、操作、探究证明 2 2、注意联系实际, ,体现知识的背景和应用。帮助学生从生活中发现问题, ,利用所学知识解决生活中的问题。 联系实际引入概念 联系实
27、际引入定理 所学知识的实际应用 例、习题中的实际例子 3 3、渗透一般与特别、未知与已知转化等数学思想方法 转化的思想 正多边形的有关计算直角三角形 正多边形的画图等分圆周 分类的方法 对圆周角定理的讨论 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 辩证唯物主义观点 圆的性质的内在联系 一般与特别 4、重视知识间的联系与综合,实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合 圆和直线形的有关问题对比 “不在同一直线上的三个点确定一个圆”时,能够和“两点确定一条直线”对比, 加强新旧知识的联系,发挥知识的迁移作用 小学学的圆定义 集合语言重新描述 圆及正多边形的计算 直角三角形的知识、圆的周长与面积的知
28、识 充分利用圆的对称性 轴对称性垂径定理,切线长定理 旋转对称性弧、弦、圆心角的关系三、对教学的几个建议1 1、进一步培养推理论证能力 规范的证明方法( (“推出”的形式) ) 探究的证明方法( (切线长、垂径定理) ) 由定理得到推论 反证法( (过三点的圆、切线的性质) ) 注意复习有关直线形的知识, ,加强解决问题思路的分析 圆周角定理证明思路的分析 2 2、加强研究方法的引导,通过类比学习相关内容 圆的性质是通过与圆有关的线段(如直径、弦、切线等)和角(如圆心角、圆周角等)体现的 垂径定理建立了直径、弧、弦之间的关系 弧、弦、圆心角的定理建立了弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理建立了
29、圆周角与圆心角之间的关系, ,从而把圆周角与弧、弦联系起来 注意体现知识之间的联系,类比学习相关内容 类比圆心角的概念学习圆周角的概念,不仅有助于概念的理解,也有助于发现同弧所对的圆周角与圆心角的关系。 类比学习点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系 几何特征:交点的个数 代数特征:圆的半径和两个图形之间的距离之间的数量关系(假如把圆抽象成一个点,点和圆的距离就是点和圆心的距离;直线和圆的距离就是圆心到直线的距离;圆和圆的距离就是两个圆心之间的距离)。 3 3、注意掌握教学要求 知识内容 课标的变化 关于推理证明的要求 注意整套教科书的要求 反证法 关于圆的对称性 利用对称性发现性质,不要求证明4
30、 4、重视现代信息技术工具的应用 利用软件的测量功能, ,在运动变化中发现图形的性质 垂径定理 切线长定理 弧、弦、圆心角的关系 圆周角定理 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 第二十五章 概率初步(一)内容安排本章主要变化 删除频率估计概率中的归纳,进一步明确频率估计概率作为除列举法外的另一种求概率的方法,而不是作为概率的频率定义。 删除“25、4 课题学习 键盘上字母的排列规则”,主要是考虑到课题的易操作性以及键盘排列规则在历史上存在另外的说法。 精简数学活动,删除活动1,减小活动3中的数字。本章重点和难点 重点:了解概率的意义,用列举法求概率和用频率估计概率。 难点:了解概率的意义,了解
31、频率和概率之间的关系。二、编写时考虑的几个问题1、重视随机观念的培养 随机观念的培养是第三学段统计与概率学习的一项重要内容、在统计中,能够通过抽样体会样本及估计结果的随机性、在概率中,一方面能够列举大量实际例子,通过让学生判断是不是随机现象感受随机性;另一方面,在验证频率与概率之间关系的试验中,除了揭示大量重复试验中频率具有稳定性,还要让学生体会频率的随机性、 在相同的条件下,重复同一试验(或观察)时,会得到不同的结果,就一次或少数几次试验来看,其发生与否是不确定的、但当大量重复试验(或观察)时,事件发生的估计性就整体来说呈现出一定的规律,即统计规律、例如,将上述的抛硬币试验大量重复时,就能够
32、发现“正面朝上”或“反面朝上”的频率大致相等、2、加强概率意义的理解 对概率的古典定义学生比较容易接受,但容易把对概率的理解仅限于比值,造成对其意义缺乏认识、教材通过对试验的分析,引导学生从频率的角度进一步理解概率的意义,认识到概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在、从而使学生形成对概率意义的正确认识、3、紧密联系实际 概率问题是日常生活中经常碰到的问题,人们都在自觉或不自觉地应用概率的思想、在教科书编写时,也充分注意到这一点、 除了前面提到的在引入随机事件的概念时,用的抽签、掷骰子、摸球等经典的随机试验,教科书还引入了转盘、扫雷游戏、中奖、掷硬币等实际应用的例子、通过这些具有实际背景问题的学习,有助于学生从实际生活中发现概率问题,体会概率的广泛应用性,并学会运用所学知识解释或解决简单实际问题、感谢您的聆听！感谢您的聆听！
