1、 1一部分分式展开法一部分分式展开法11101110( )( )( )mmmmnnnna sasa saA sF sB sb sbsbsbai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。1212()()()( )( )( )()()()mmnnaszszszA sF sB sb spspsp分解分解零点零点极点极点通常通常F(s) 具有如下的有理分式形式：具有如下的有理分式形式： , ( )mnF s当当 是真分式是真分式123,( )0( )mz zzzA sF s是是 的根，称为的根，称为 的零点的零点123,( )0( )np pppB sF s是是 的根，称为的根，称为 的极点的极
2、点拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程找出找出F(s)的极点的极点将将F(s)展开成部分分式展开成部分分式查拉氏变换表求查拉氏变换表求f(t)一部分分式展开法一部分分式展开法一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)1.单阶单阶实数极点实数极点12( )( )()()()nA sF sspspsp1212( )nnkkkF sspspsp()( )iiispksp F s 123,np ppp为不同的实数根为不同的实数根123,nk k kk求出求出 即可将即可将 F(s)展开成部分分式展开成部分分式(1)找极点找极点2233( )(1)(2)(3)ssF ssss(2)展成部分分式展成部分分式31
3、2( )123kkkF ssss156 ( )123F ssss所所以以1e( ) tu ts L根根据据23:( )e5e6e0tttf tt得得(3)逆变换逆变换求系数求系数232233( )6116ssF ssss例：例：求求 的拉氏逆变换的拉氏逆变换一部分分式展开法一部分分式展开法一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)2. 极点为共轭复数极点为共轭复数121122121122( )CCAAAAF sspspsrsrsrsr, ,iiiiiiiipr rC A AA A其中其中 为单实根，为单实根， 为共轭复根，各个系数为共轭复根，各个系数 的求法和单实根一样，的求法和单实根一样， 是
4、共轭复数。是共轭复数。例：例：求求 的逆变换的逆变换3222848( )(1)(48)sssF ss sss解：解：3212222848( )(1)(48)148CCsssAsBF ss sssssss实单根的系数求法同前面一样，这样有实单根的系数求法同前面一样，这样有212( )148AsBF sssss可以用可以用公分母的方法，公分母的方法，或是设定两个特殊的或是设定两个特殊的S值来求系数值来求系数A和和B，比如设比如设 得到得到21s ，11122224111313ABAB 3,8AB一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)用用配方法配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即求共轭复根部分
5、的拉普拉斯反变换，即22222383(2)23(2)24848(2)4(2)4(2)4AsBssssssssss223(2)3cos(2 ) ( )(2)4tsetts222sin(2 ) ( )(2)4tetts2( )( )2( )3cos2sin2 ( )ttf tu te u tettt 所以有：所以有：用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单 一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)3. 有重根存在有重根存在11100112111212()()()()()mmmmkkkkniiiib sbsbs bAACCAa spspspspspspspsp
6、 AspF siks pi0()( )1d()( )dikispAspF ss2221 d()( )2!dikispAspF ssk-1111d()( )1 !dikkikspAspF sks一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)对于非重根，系数的求法对于非重根，系数的求法和前面一样，对于重根则和前面一样，对于重根则需用求导的方法求系数需用求导的方法求系数解解：展成部分分式：展成部分分式F sCsAsAsAs( )()()1031221222CsF ssss11311444() ( )()30224(2)( )4(1)ssAsF ss 31222d4(2)( )4d(1)ssAsF sss
7、23223221 d18(2)( )42 d2 (1)ssAsF sss 34( )(1)(2)F sss 例：例：求求 拉氏反变换拉氏反变换一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)所以有所以有324444( )1(2)(2)2F sssss)(414tuest)(2)2(4223tuetst2244( )(2)tteu ts 244( )2teu ts 所以所以2222( )=(4-244) ( )ttttf tet eteeu t一部分分式展开法一部分分式展开法(mn)F(s)两种特殊情况两种特殊情况se含含的的非非有有理理式式非真分式非真分式 化为真分式多项式化为真分式多项式用时移性质用
8、时移性质一部分分式展开法一部分分式展开法(mn) 13用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤列列 s 域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的 s 域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解 s 域方程域方程)()(tfsF得到时域解答得到时域解答一微分方程的拉氏变换一微分方程的拉氏变换 d( )( )(0 )df tsF sftL222d( )( )(0 )(0 )d ( )(0 )(0 )fts sF sffts F ssffL 我们采用我们采用 0-
9、系统求解系统微分方程，只要知道起始状态，系统求解系统微分方程，只要知道起始状态， 不需要不需要求求0-到到0的跳变问题。的跳变问题。 用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质 即即一微分方程的拉氏变换一微分方程的拉氏变换 一微分方程的拉氏变换一微分方程的拉氏变换 （1）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得 例例: :求系统的零状态响应和零输入响应求系统的零状态响应和零输入响应解：解：2( )3 ( )2 ( )4( )tyty ty tet (0 )3,(0 )4yy 24
10、( )(0 )(0 )3( )(0 )2 ( )2s Y ssyysY syY ss 20112231930( )(1)(2)1(2)2ACAssY ssssss 214411( )1(2)2Y ssss 2243193032 ( )34922ssssY ssss代入起始条件代入起始条件22( )(14411) ( )ttty teteet得完全响应为得完全响应为一微分方程的拉氏变换一微分方程的拉氏变换 （2）求零输入响应，）求零输入响应，2( )(0 )(0 )3( )(0 )2 ( )0s Y ssyysY syY s 943)(232ssYss代入起始条件代入起始条件0)(2)( 3)(
11、 tytyty2313107( )3212zisYsssss 得零输入响应为得零输入响应为2( )(107) ( )ttziyteet一微分方程的拉氏变换一微分方程的拉氏变换 （3）求零状态响应，）求零状态响应，得得( )ssYsszs23242224444( )(2)(32)1(2)2zsYsssssss 得零状态响应为得零状态响应为22( )(444) ( )ttty teteeu t可以验证可以验证22( )( )( )(14411) ( )tttzizsy tytyteteetuRi( )( )U sI s R时域关系时域关系复频域关系复频域关系RLC、 、元件的元件的S域模型域模型1
12、.电阻元件电阻元件二基于二基于s 域模型的电路分析域模型的电路分析 ( )( )(0 )1(0 )( )( )cduiCdtI sCsU sCuuUsI sCss2.电容元件电容元件1( )( )CCUsIssC 电容的初始储能为零时电容的初始储能为零时二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 1Cs复频域阻抗复频域阻抗d ( )( )d( )( )(0 )1(0 )( )( )Li tu tLtU sLsI sLiiIsU sLss3.电感元件电感元件电感初始储能为零时电感初始储能为零时)()(ssLIsULL二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 sL复频域阻抗复频域
13、阻抗11( )0( )0mmkkkki tu t线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：KCLKVL11( )0( )0mmkkkkIsUs二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 例例:已知如图所示各电路原已达稳态，已知如图所示各电路原已达稳态，t=0时开关时开关 K 换接，换接，试画出电路的试画出电路的 s域模型。域模型。二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 解：解：(a) 开关开关 K 换接前电路已在直流稳态，所换接前电路已在直流稳态，所以容易求得以容易求得 12(0 ),(0 )0CSCuUuVs画出电路画出电路 S 域模
14、型为域模型为 二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 ( b )直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有s画出电路画出电路 S 域模型为域模型为 105 (0 )15 (12) (0 )0LLii (0 )1(0 )105 115VLCiAu 二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 (c) 直流稳态时，电感短路，电容开路，直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有所以有s画出电路画出电路 s 域模型为域模型为 12(0 )100 (10 105)4 A(0 )2A LLii/二基于二基于 s 域模型的电路分析域模型的电路分析 (d) 在在
15、t 0时的时的)(tuC解：解：因为因为(0 )0.5V, (0 )0.5ACLui所以可得到所以可得到 s 域电路模型域电路模型二基于二基于s 域模型的电路分析域模型的电路分析 由节点法得由节点法得2223111111()(1)2222 3222( )1131()()122CsssUssssss 12123311( ) cossin2222 330.577cos(30 ) V, 02Cttutettett所以有所以有二基于二基于s 域模型的电路分析域模型的电路分析 例例:求图示电路的完全响应求图示电路的完全响应 ，已知，已知解：解：根据电路的起始状态得到根据电路的起始状态得到S域电路模型域电路模型2(0 )4A, (0 )5VCiu( )10 ( ) V f tu t 12 ( ), ( )i ti t二基于二基于s域模型的电路分析域模型的电路分析
