1、相似图形（一）相似图形（一）黄山松天坛天坛它们的形状相同，大小它们的形状相同，大小不同，这些图形都是相不同，这些图形都是相似图形。你知道相似图似图形。你知道相似图形有什么特征吗？形有什么特征吗？这些图形有什么共同的特点？这些图形有什么共同的特点？形状、大小都相同的图形称为全等形。2、全等形：注：全等形是相似形的特殊情况。 相似图形1. 线段的比1.线段的比线段的比 测量课本封面相邻两边测量课本封面相邻两边a a，b b的长，的长，分别得出分别得出a=18.5cma=18.5cm，b=13cmb=13cma与与b的比是多少？的比是多少？2637135 .18cmcmba线段的比的概念及表示方法线
2、段的比的概念及表示方法（1）两条线段的比：）两条线段的比：如果选用同一个长度单位，量得两如果选用同一个长度单位，量得两条线段条线段AB，CD的长度分别是的长度分别是m,n,那么就说这那么就说这两条线段的两条线段的比比AB:CD=m:n,或写成或写成:ABmCDn（2）如果把）如果把 表示成比值表示成比值k,那么那么 ,mnABkCD注意：注意：引入比值引入比值k k的方法是解决比例问题的方法是解决比例问题的一种重要方法的一种重要方法, ,以后经常会用到。以后经常会用到。或或AB=kCD。练习练习1 1若若a=100mm，b=200 mm，求，求a b；若若a=100mm，b=20 cm，求，求
3、 a b 1001: 1 .;2002ammbmm解1001001.202002ammmmbcmmm 1001012 .20202ammcmbcmcm结论：结论：1.1.两条线段比是一个没有单位的正数两条线段比是一个没有单位的正数。 2.2.两条线段比与所选的长度单位无关两条线段比与所选的长度单位无关。3.3.求两条线段比时，如果单位不同求两条线段比时，如果单位不同, ,那么必须那么必须先化成同一单位，再求它们的比先化成同一单位，再求它们的比 。比例尺是指在地图或工程图纸上，图上长度与比例尺是指在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比。实际长度的比。例例1. 1.在某市城区地图在某市城区地图
4、( (比例尺比例尺1:9000)1:9000)上上, ,新安大新安大街图上长度与光华大街的图上长度分别是街图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm,10cm.16cm,10cm.(1)(1)新安大街与光华大街的实际长度分别是多新安大街与光华大街的实际长度分别是多少米少米? ?解解: :新安大街的实际长度是：新安大街的实际长度是： 16cm16cm9000=1440009000=144000cmcm=1440m=1440m光华大街的实际长度是：光华大街的实际长度是：10cm10cm9000=90000cm=900m9000=90000cm=900m解解: :新安大街与光华大街的图上长新安大街与
5、光华大街的图上长度之比是度之比是16:10=8:516:10=8:5新安大街与光华大街的实际长度之比新安大街与光华大街的实际长度之比是是1440:900=8:51440:900=8:5(2)(2)新安大街与光华大街的图上长新安大街与光华大街的图上长度之比是多少米度之比是多少米? ?实际长度分别之实际长度分别之比呢？比呢？(3)(3)通过以上的解答通过以上的解答, ,你能发现什么你能发现什么? ?解解: :新安大街与光华大街的图上长度之比新安大街与光华大街的图上长度之比= =新安大街与光华大街的实际长度之比新安大街与光华大街的实际长度之比练习练习2 2 填空：填空： 1:0.25的比值是的比值是
6、 ，如果前项乘以，如果前项乘以4，要使比值，要使比值不变，后项应变成不变，后项应变成 ，如果前、后项都乘以，如果前、后项都乘以4，比值，比值是是 。 比的前项缩小比的前项缩小3倍，要使比值不变，后项应倍，要使比值不变，后项应 。 在比例尺是在比例尺是1：6000000的地图上，量得的地图上，量得 南京到北京的南京到北京的距离是距离是15厘米，南京到北京的实际距离是厘米，南京到北京的实际距离是 千米。千米。4 1 4 缩小缩小3倍倍900 练习练习3 3已知：已知：C C为线段为线段ABAB上一点，上一点，ACCB=53ACCB=53求求ACABACAB及及ABCBABCB的长的长解：解：设一份
7、为设一份为k k，这样，这样AC=5kAC=5k，CB=3kCB=3k，则，则AB=8kAB=8k ACAB=5k8k=5 ACAB=5k8k=5 8 8， ABCB=8k3k=8ABCB=8k3k=8 3 3练习练习4 4 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，B=30B=30，AD=10AD=10AEAE为为BCBC边上的边上的高，垂足高，垂足E E为为BCBC中中点求点求AEBCAEBC解：在解：在RtABE中，中，B=300AB=2AE，BC=AD=10，E是是BC中点，中点，BE=5，由勾股定理可得，由勾股定理可得AE=3356310335BCAE练习练习5 5
8、vP P为线段为线段MNMN上一点上一点ACACBC=6cmBC=6cm，BCAB=27BCAB=27求求ABAB的长的长解：设解：设BC=2x，AB=7x，则，则AC=7x-2x=5xAC-BC=5x-2x=3x=6X=2AB=7x=72=14（cm）回顾与思考 从变化中的鱼说起;2 GMBEOFOAHLCDFGABOMOEdcba 其中其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项，线段线段 a、d 叫做比例叫做比例外项外项，线段线段 b、c 叫做比例叫做比例内项内项，一一.定义定义 :四条线段四条线段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段，
9、那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的线段成比例的线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时，即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c 的的比例中项比例中项.a：b=c：d外项外项内项内项第四比例项第四比例项说明说明：2.比例式中，项的次序不可任意改变。比例式中，项的次序不可任意改变。如如d是是a、b、c的第四比例项与的第四比例项与d是是b、c、a的第四比例项的意义是不同的。的第四比例项的意义是不同的。3.和一般的数构成的比例式不同，由线和一般的数构成的比例式不同，由线
10、段构成的比例式的各项均为正数。段构成的比例式的各项均为正数。1.式子 ab=cd 或 a:b=c:d叫比例式比例式分别是ab=cd ，bc=ad例例 已知线段已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm .a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么问：这四条线段是否成比例？为什么?想一想想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段是否还可以写出其他几组成比例的线段.答：这四条线段成比例答：这四条线段成比例a=10mm=1cmdb=36=12即线段即线段a、c、d、b成比例成比例例例. . 已知已知: :ABCABC中中,D,
11、D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的的中点，那么线段中点，那么线段ADAD、ABAB、DEDE、BCBC是否是是否是成比例线段？为什么？成比例线段？为什么？ABCDE答答:AD,AB,DE,BC成比例线段成比例线段证明: D为AB中点AD=12ABADAB=12DE为ABC中位线DE=12BCDEBC=12ADAB=DEBC1.若若 m=3，n=4，则，则 m，n 的比例中项的比例中项 p=2.已知线段已知线段 a=1cm，b=9cm，则线段，则线段 a，b 的比例中项的比例中项 c=课堂小结课堂小结 通过本节课的学习，请你总结求两条线段通过本节课的学习，请你总结求两条线段 比的方法，并
12、说说要注意那些问题。比的方法，并说说要注意那些问题。：1、两条线段的长度必须用同一单位表示；、两条线段的长度必须用同一单位表示；2、两条线段的比没有单位（与采用的单位无、两条线段的比没有单位（与采用的单位无关系），是一个正数；关系），是一个正数；3、两条线段的比的表示方法。、两条线段的比的表示方法。1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个选项是正确的？( )A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段C. a, c, b, d成比例线段 D. a, d, c, b成比例线段2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）A.2cm,3cm
13、,4cm,1cm B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cmC.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cmCD课 堂 练 习4.已知线段a=3, b=12,而线段c是线段a, b的 比例中项,则c=3.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=665.指出下列比例线段中的内项和外项.PA PCPB PD=SB EFEF SC=（3）中SB和SC是： ，EF是SB和SC的：PB和和PCPA和和PDCD和和EFAB和和MN比例外项比例外项（2）AB：CD=EF：MN内项为： ,外项为：（1） 内项为： ，外项为：比例中项比例
14、中项如图，在直角三角形中，是斜边上的高如图，在直角三角形中，是斜边上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由线，请找出一组比例线段，并说明理由(2)已知条件中有三角形的高，已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高我们通常可以把高与什么知识联系起来？与什么知识联系起来？acadbcbd分析：(1)根据做一做做一做. .如图，已知如图，已知ADAD，CECE是是ABCABC中中BCBC、ABAB上的上的高线，求证：高线，求证：ADAD：CE=ABCE=AB：BCBCABCED议一议议一议 比例的基本性质比例的基本性质dcba dcba.dcba .dcba .bcaddcba dcba dcba d
15、cba 看谁想的多：已知 ad=bc，你能得到哪些比例式对调内项，对调内项，比例仍成立！比例仍成立！对调外项，对调外项，比例还成立吗？比例还成立吗？abcd=badc=bdac=cdab=dbca=acbd=cadb=dcba=结论：结论：(1)(1)一个等积式可以改写成一个等积式可以改写成八八个比例式个比例式(2)(2)对调比例式的对调比例式的内项内项或或外项外项，比例式仍然成立，比例式仍然成立mn m= n56已知已知 ,求求 的值的值.解解:方法方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法方法(2)因为因为 ,所以所以5m=6n m6
16、 n5= 6mn=所以所以5yxyx那么如果.52. 225 的的是是p pq q写写成成比比例例式式. .写写错错3 3. .把把m mn n n np pq qm mA A. . q qn nm mp pB B. .p pn nm mq qC C. .qpnmD.D23,232kacakcackcckbkcbacabccb则且如果,23.42（B）232cbacabc方法2:4 43 3. .D D3 32 2. .C C2 2. .3 3. .B B3 34 4A A例题解析 用”设k法”计算新比例;, 3ddcbbadcba 和和求求?,为什么为什么成立吗成立吗那么那么ddcbbadc
17、ba ?),(成立吗成立吗为常数为常数ddcbbakkdcba 3 ba 3ba;4 bba.4 ddckdcba ;)1( kddcbbakdcba ;)1( kddcbba 比例的比例的合比性质合比性质 dcba ;ddcbba dcba .ddcbba 。ddcbbadcba 想一想 到 比 例 的 等 比 性 质?,为什么为什么成立吗成立吗那么那么bafdbecafedcba fedcba 设设bandbmcandbnmdcba )0(问题3.四边形ABCD和四边形ABCD中, ABAB=BCBC=CDCD=DADA=34,且四边形ABCD 的周长为80 cm,则四边形ABCD的周长为
18、_.j问题4.如图,D、E分别在AC、BC的延长线上,且 DCCB=CEAC=DEAB=34,DEC的周长是18cm, 则ABC的周长是_.(问题4)CDEAB(问题5)问题5.如图,已知ADEF=EFBC=AEEB=DFFC,AD=4cm, EF=6cm, 四边形AEFD的周长为16cm, 四边形ABCD的周长是_.ADBCEF 学以致用学以致用_;,917. 1yxyyx则若_;23,412bbaba则、若9887)(),0(433则下列式子成立的是、已知xyxyxDyxCyxByxA43.43.34.43._,345bbaba则、已知)(, 4,424则下列各式不成立的是、已知xyx42
19、2.4422.442.442. xyxDyxCyxyByxxA_, 3,216fdbecafedcba则且、已知BC316主要内容：主要内容：注意事项：注意事项：反 思 与 总 结1.成比例的四条线段要有顺序性成比例的四条线段要有顺序性.2.利用等积式来判断转化成的比利用等积式来判断转化成的比例式是否正确例式是否正确.2.比例的基本性比例的基本性质质(a:b=c:d ad=bc)及其应用及其应用.1.成比例线段的定义成比例线段的定义.1319bababa则如果,5922.ACCEABDBECAEDBADABC求证：，中，如图，已知EDCBAEDCBA.ECBEEDAEBCBEADAEEBCAD
20、求证：，且相交于点、如图，已知 的形状。判断的值；、求：又的三边，且为、已知ABC(2)cb(1)a,24, 1:7:2:ABCcbabcbacacba比例性质：比例性质：dcba可写成可写成dcba: 1.基本性质：基本性质：dcba（dcba: ）bcad 2.合比性质：合比性质：dcbaddcbba3.等比性质：等比性质：nmdcbabandbmca4.若若acb 2则则 b 是是 a，c 的比例中项的比例中项bcab1.若若bacacbcbax则则x的值为的值为 2.已知：已知：kcbabcaacb （1）求）求k （2）直线）直线kkxy一定一定经过经过 象限象限 3.若若43fed
21、cba则则fdbeca4343 讨论：a+b+c=0和a+b+c0两种情况a=3k,b=4k,c=3m,d=4m,e=3n,f=4n后代入如图，点如图，点 把线段把线段 分成两条线段分成两条线段 和和 如果如果 ，那么称线段，那么称线段 被点被点 黄黄金金分割分割.ABP点点 叫做线段叫做线段 的黄金分割点的黄金分割点.PAB 与与 的比叫做黄金比的比叫做黄金比. APAB618. 0215ABAPABPAP,BPAPBPABAPABP了解黄金分割概念了解黄金分割概念1.1.判断题判断题(1).如图，点如图，点 是线段是线段 的黄金分割点，的黄金分割点， 则则 （ ）.APBPABAPPAB)
22、,(BPAP ABPMNC(2). 已知，线段已知，线段 被点被点 黄金分割，黄金分割， 则则 （ ）MNC),(NCMC NCMNMC2应用与欣赏应用与欣赏 文明古国埃及文明古国埃及的金字塔，形似方的金字塔，形似方锥，大小各异。但锥，大小各异。但这些金字塔底面的这些金字塔底面的边长与高这比都接边长与高这比都接近于黄金比近于黄金比. .应用与欣赏应用与欣赏 小提琴是一种小提琴是一种造型优美、声音诱造型优美、声音诱人的弦乐器人的弦乐器，它的，它的共鸣箱共鸣箱的一个端点的一个端点正好是整个琴身的正好是整个琴身的黄金分割点。黄金分割点。ACB应用与欣赏应用与欣赏著名油画蒙娜丽莎的构图就完美的体现了著
23、名油画蒙娜丽莎的构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用通过上面黄金分割在油画艺术上的应用通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割，肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美 如图如图, ,已知线段已知线段 按照如下方法作图按照如下方法作图: :AB1. 经过点经过点 作作使使B,ABBD .21ABBD 2. 连接连接 在在 上截上截取取 ,ADDA.DBDE 3. 在在 上截取上截取AB.AEAC 点点 是线段是线段 的黄金分割点吗？的黄金分割
24、点吗？CAB如何找出一条线段如何找出一条线段 的黄金分割点？的黄金分割点？想一想想一想AB3.3.如图是古希腊时期的巴台农神庙如图是古希腊时期的巴台农神庙, ,若把图中若把图中的线表示矩形的线表示矩形ABCD,ABCD,以矩形以矩形ABCDABCD的宽为边在其的宽为边在其内部作正方形内部作正方形AEFD,AEFD,那么我们可以惊奇的发现那么我们可以惊奇的发现欣赏与应用欣赏与应用BCBEABBCABCDEF点点E E是线段是线段ABAB的黄的黄金分割点吗？矩金分割点吗？矩形形ABCDABCD的宽与长的宽与长的比是黄金比吗？的比是黄金比吗？这样的矩形叫做黄金矩形。这样的矩形叫做黄金矩形。问题6.
25、线段3x和12x的比例中项是. ( ) A -6x B 6x C 36x D6x黄金分割定义黄金分割点.点C叫做线段AB的黄金分割， 把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC),且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段ABC问题8.已知,如图,AB=1,AC=5-12,求证:AC2=ABBC.AB (若AB=2时,AC=?,BC=?,若AB=a呢?) 问题7. 如果x是a、 b的比例中项,则 1a2-x2+1b2-x2+1x2的值是_.问题9. 已知:线段a=1,b=5-12,c=3- 52, 求证:线段b是a、c的比例中项.可以说线段a、b、c是黄金分割吗？P问题11.如图,点P是AB的黄金分割点,设以AP为边的 正方形的面积为 S1,以AB、PB为两邻边的矩形 面积为S2,则S1与S2的大小关系是_.ABS问题10. 已知C是线段AB的黄金分割点,ACAB ABC(B)ACD(A)DCE
