1、控制工程基础控制工程基础 （第二章）（第二章） 清华大学清华大学第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型2.1 2.1 基本环节数学模型基本环节数学模型2.22.2 数学模型的线性化数学模型的线性化2.32.3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换2.42.4 传递函数以及典型环节的传递函数传递函数以及典型环节的传递函数2.52.5 系统函数方块图及其简化系统函数方块图及其简化2.62.6 系统信号流图及梅逊公式系统信号流图及梅逊公式2.72.7 受控机械对象数学模型受控机械对象数学模型2.82.8 绘制实际机电系统的函数方块图绘制实际机电系统的函数方块图2.92.9 状态空间方
2、程状态空间方程第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 建立控制系统的数学模型，并在此基础建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，出来，就得到了组成物理系统的数学模型。就得到了组成物理系统的数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主要以传经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空
3、间方程为基础。而以物理模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。方程的基础。本章要熟悉下列内容：本章要熟悉下列内容：1、建立基本环节（质量、建立基本环节（质量-弹簧弹簧-阻尼系统和电阻尼系统和电路网络）的数学模型及模型的线性化路网络）的数学模型及模型的线性化2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换、重要的分析工具：拉氏变换及反变换3、经典控制理论的数学基础：传递函数、经典控制理论的数学基础：传递函数4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图、
4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图5、受控机械对象的数学模型、受控机械对象的数学模型6、绘制实际机电系统的函数方块图、绘制实际机电系统的函数方块图7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型、现代控制理论的数学基础：状态空间模型2.1 基本环节数学模型基本环节数学模型 数学模型是描述物理系统的运动规律、特性数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量
5、之间关系的数学模型。时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式代数式，数学表达式中不含有时间变量。，数学表达式中不含有时间变量。 动态数学模型：动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输理量随时间演化的数
6、学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型不是唯一对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。模型。 建立数学模型是控制系统分析与设计中最建立数学模型是
7、控制系统分析与设计中最重要的工作！重要的工作！2.1.1 质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统。机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量机械系统可抽象为质量- -弹
8、簧弹簧- -阻尼系统。阻尼系统。k1J11J12m31m32k122k121k231k232k31k32J3J2m2电动机减速器工作台+工件k1m1k121k122m2k231k232k31k32m31+m32系统 1系统 3系统 2D1D2D3DM tfi tyokD见光盘课件（第二章第一节）见光盘课件（第二章第一节）有源电路网络dttuCRtuoi)()()()(tudttuRCio2.2 数学模型的线性化数学模型的线性化线性模型：线性模型：满足满足叠加性与齐次性叠加性与齐次性，用来描述线性系统。，用来描述线性系统。 叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总叠加性指当几个激励信号同时作用
9、于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。的常数。 即若即若 为线性系统，则为线性系统，则 非线性模型：非线性模型：不满足叠加性或齐次性，用非线性方程不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示。表示。 用来描述非线性系统。用来描述非线性系统。)()(:tytxf)()()()(2121tytytxtxf 线性化方法：一般可在系统工作平衡线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开点附近，对非线性方程采用台劳级数
10、展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。就可得到近似的线性模型。 由于反馈系统不允许出现大的偏差，由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。具有实际意义。图2-7图2-8D阀控液压缸例阀控液压缸例)(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKd
11、tydAADKdtydAMKqc22c)()()(txKtyAADKtyAMKqcc 线性化方法：线性化方法：假设变量相对于某一工作状态假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为简写为简写为 。如果系统的工作平衡点。如果系统的工作平衡点为为 ，则方程可以在，则方程可以在 点附近台劳展开点附近台劳展开 如果如果 很小，可以忽略其高阶项，因很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式此上述方程可写成增量方程形式 其中，其中， ， ，)()(txfty)(xfy yx,x222)()(21)()()()(xxdxxfdxxdxxd
12、fxfxfyxxxKy)(xfyyyyxxxxxdxdfK2.3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！连续、线性、时不变系统的重要工具！2.3.1 拉氏变换定义拉氏变换定义 定义定义 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。 见光盘课件（第一章第二节）见光盘课件（第一章第二节）2.3.2简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换2
13、cos2sinsincossincosjjjjjjeejeejeje正弦函数正弦函数sintsint 1 1（t t）和和余弦函数余弦函数costcost 1 1（t t）的拉氏变换的拉氏变换 220011212sin1sinsjsjsjdtejeedte tttLsttjtjst 220011212cos1cosssjsjsdteeedte tttLsttjtjst 的拉氏变换 证： ttx )( sdssXttxL ttxLdtettxetdttxdsedttxdsdtetxdssXstsstsststss00001周期函数的象函数周期函数的象函数 设函数设函数x(t)x(t)是以是以T
14、T为周期的周期函数，为周期的周期函数，即即x(t+T)=x(t)x(t+T)=x(t)，则则证：证： TstsTdtetxetxL011 010120limnTnnTstTTnnTstTTststnstdtetxdtetxdtetxdtetxdtetxtxL 令令 则则nTt TstsTnTssnTnTnTsdtetxedexedenTxtxL0000011 拉氏反变换公式为拉氏反变换公式为 简写为简写为 jajastdsesXjtx21 sXLtx1在一般机电控制系统中，通常遇到如下形在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式式的有理分式 其中，使分母为零的其中，使分母为零的s s值称
15、为极点，使分子值称为极点，使分子为零的为零的s s值称为零点。则有值称为零点。则有其中，其中， nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110 kgkrrrmmmmdscsdscspspspsbsbsbsbsXl1121121111110121nkkkrrrgl21212 nnnnnmmmmnnnnmmmmpsapsapsapsapspspsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX1122112111101111110式中，式中， 是常值，是常值， 为极点处的留数，为极点处的留数，可由下式求得可由下式求得 将式（将式（2.192.19）拉氏反变换，可利用拉氏变换）拉氏反变换，
16、可利用拉氏变换表得表得kakps kpskkpssXa teaeaeasXLtxtpntptpn121211例例 试求试求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解： 2332ssssX 21213233212sasasssssssX teetxsssXssssassssattss122112122132121322211含共轭复数极点情况含共轭复数极点情况 nnnnnmmmmnnnnmmmmpsapsapsajsjsasapspsjsjsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX113321311101111110式中，式中， 是常值，可由以下步骤求得是常值，可由以下步骤求得将上式两边乘将上式两
17、边乘 , , 两边同两边同时令时令 （或同时令（或同时令 ），），得得 （2.212.21）分别令式（分别令式（2.212.21）两边实部、虚部对应相等，）两边实部、虚部对应相等，即可求得即可求得 。 可通过配方，化成正弦、余可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其反变换。弦象函数的形式，然后求其反变换。21,aajsjsjsjs jsjsjsjssXasa2121,aadcssasa221例例 试求试求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：将该式两边同乘将该式两边同乘 ，并令，并令 ， sssssX231 sassasasssssssssX3221223111112 ss2321js
18、63212123211jsjsasass 即即 解解 得得 又又12123212321ajaaj12123232121aaa0121aa110233ssssssa故故 则则 ssssssssssssX12321233323212112321233321112222222 tttetxt1123cos23sin3321含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子分式的分子 和和 是共轭复数，只要求出是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到。其中一个值，另一个即可得到。例例
19、求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：ka1ka sssssX231 sajsajsasssssX321232321232116321232112321231jjsssssajs则则则则63212ja110233ssssssa sjsjjsjsssssX12321632123216321123 tttetejejtxttjtj1123cos23sin3311632163212123212321含多重极点的情况含多重极点的情况 nnnnrrjrjrrrrrnrrmmmmnnnnmmmmpsapsapsapsapsapsapsapspspsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX11111
20、1111111111101111110式中，式中，jra可由下式求得可由下式求得 111111111111!11!1psrrrpsrjjjrpsrrpsrrpssXdsdrapssXdsdjapssXdsdapssXa 利用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程 例例 解方程解方程 ，其中，其中， 解：解： 将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得 将将 代入，并整理，得代入，并整理，得 所以所以 66)(5)(tytyty 20, 2)0(yy ssYyssYysysYs660500)(2 20, 2)0(yy 342513261222sssssssssY tt
21、eety324512.4 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数传递函数以及典型环节的传递函数 传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，而与输关系式，它表达了系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。它可以是无量纲的，也可入量或驱动函数无关。它可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所需要的量纲。它不包含着联系输入量与输出量所需要的量纲。它不能表明系
22、统的物理特性和物理结构，许多物理性能表明系统的物理特性和物理结构，许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。 见光盘课件（第二章第三节）见光盘课件（第二章第三节）表表2-2 2-2 等效弹性刚度说明等效弹性刚度说明力力 学学 模模 型型时时 域域 方方 程程拉拉 氏氏 变变 换换 式式等等 效效 弹弹簧簧 刚刚 度度弹弹 簧簧kx(t) tkxtf skXsFk k阻阻 尼尼器器Dx(t) txDtf sDsXsFD Ds s质质 量量Mx(t) txMt
23、f sXMssF22Ms表表2-2 2-2 复阻抗说明复阻抗说明 比例环节比例环节 （其中（其中k k为常数）为常数） tui tui tuo 2R 1R 1212)(RRkRRsUsUio ksG 比例环节 （其中k为常数）1z2z tni tno 2121)(zzkzzsNsNsGio ksG一阶惯性环节一阶惯性环节 （其中（其中T T为时为时间常数）间常数）11)(TssGRCtui tuo ti 11RCssUsUsGio一阶惯性环节一阶惯性环节 （其中（其中T T为时为时间常数）间常数）11)(TssGktxo txiD 11skDsXsXsGio积分环节积分环节 ( (其中其中k
24、k为常数）为常数）sksG)( sRCsUsUsGio1二阶振荡环节二阶振荡环节 （其中（其中 0011）121)(22TssTsG )2,(122111222LCRCLCTsLCLCRCsLCRCsLCssUsUsGio二阶振荡环节二阶振荡环节 （其中（其中 0011）121)(22TssTsG MkfkMTskMMkfskMkkfsMssFsYsGio2,122/11222 见光盘课件（第二章第四、五节）见光盘课件（第二章第四、五节） 2.6 2.6 系统信号流图及梅逊公式系统信号流图及梅逊公式信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接
25、起来组成的。其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称组成的。其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输源点，输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输出的节点；定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流出的节点；定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数；从输向，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数；从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，起点与终点重合且与任何节点相交不多路称为前向通路，起点与终点重合且与任何节点相交
26、不多于一次的通路称为回路。于一次的通路称为回路。从输入变量到输出变量的系统传递函数可由从输入变量到输出变量的系统传递函数可由梅逊公式求得。梅逊公式可表示为梅逊公式求得。梅逊公式可表示为kkkP1Pfd,e,fedb,ccbaaLLLLLL1 第第k k条前向通路的传递函数；条前向通路的传递函数； 第第k k条前向通路特征式的余因子，即条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式对于流图的特征式,将与第将与第k k条前向通路条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为即为 。kPkk例：例：G4H1G2G7H2G2G3G4G5H2G6G4G5H2G2G7
27、H2G4H11G4H1)G1G2G7(1G1G6G4G5G1G2G3G4G5Xi(s)Xo(s) 2.7 2.7 受控机械对象数学模型受控机械对象数学模型 一般整个机械传动系统的特性可以用若干相一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。其中每部互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。其中每部分的动力学特性可表示为如下传递函数分的动力学特性可表示为如下传递函数 222212211mksmkmkDsmkkkDsmssFsX 为了得到良好的闭环机电系统性能，对为了得到良好的闭环机电系统性能，对于受控机械对象，应注意以下方面于受控机械对象，应注意以下方面: : （1 1）高谐振频率）高
28、谐振频率 一般整个机械传动系统的特性可以用若一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。 为了满足机电系统的高动态特性，机械传动为了满足机电系统的高动态特性，机械传动的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系统的设计截止频率。各机械传动分系统谐振统的设计截止频率。各机械传动分系统谐振频率最好相互错开。另外，对于可控硅驱动频率最好相互错开。另外，对于可控硅驱动装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与控制装置的脉冲频率接近，否则将产生机械控制装置的脉冲频率接近，否则将产生
29、机械噪声并加速机械部件的磨损。噪声并加速机械部件的磨损。 （2 2）高刚度）高刚度 在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系统在被控位置附近振荡。统在被控位置附近振荡。 在刚度的计算中，需要注意机械传动部在刚度的计算中，需要注意机械传动部件的串并联关系。对于串联部件（例如在同件的串并联关系。对于串联部件（例如在同一根轴上），总刚度一根轴上），总刚度k k为为 (2.36) (2.36)式中，式中， 各分部件刚度。各分部件刚度。kkiin111ki对于并联部件（例如同一支承上有几个轴对于并联部
30、件（例如同一支承上有几个轴承），总刚度承），总刚度k k为为 (2.37) (2.37)式中，式中， 各分部件刚度。各分部件刚度。 从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，等效的刚度等效的刚度k k为为 (2.38) (2.38)式中，式中，i i 升速比。升速比。kkiin1ki211ikk （3 3）适当阻尼）适当阻尼 机械传动分系统的阻尼比为机械传动分系统的阻尼比为 (2.39) (2.39) 一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速的数学模型是二阶振荡环节的数学模型是二阶振荡环节, ,存在所需要的机存在所需要的机械传动环节较合
31、适的阻尼比。增加机械传动械传动环节较合适的阻尼比。增加机械传动阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦反转误差的不利影响。另一方面，为了衰减反转误差的不利影响。另一方面，为了衰减机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动阻尼比。针对以上矛盾的要求，根据经验，阻尼比。针对以上矛盾的要求，根据经验，适当的机械传动阻尼比可选为适当的机械传动阻尼比可选为0.10.1 0.20.2。Dmk21 （4 4）低转动惯量）低转动惯量 快速性是现代机电一体化系统的显著特快速性是现代机电一体化系统的显著特点。在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越点
32、。在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越小，加速性能越好。小，加速性能越好。 机械传动部件对于电动机等驱动装置是机械传动部件对于电动机等驱动装置是负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动惯量来评价它对快速性的影响。惯量来评价它对快速性的影响。如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，从动轮通过轴带动负载转动。假设电动机轴从动轮通过轴带动负载转动。假设电动机轴上的转矩为上的转矩为 ，转角为，转角为 ，转动惯量为，转动惯量为 ；从动轴上的负载转矩为；从动轴上的负载转矩为 ，转角为，转角为 ，转，转动惯量为动惯量为 ，阻尼系数为，阻尼
33、系数为 ；主动轮和从动；主动轮和从动轮的齿数分别为轮的齿数分别为 和和 ，速比，速比 。1T , 11J2T22J2D1z2z12/ zzi 122T依题意，有依题意，有izzttTTtTtTTTtDtJTTtJ1d/dd/ddddddddddd211212c2c12c21c12c2222222c112121消去中间变量，可得消去中间变量，可得 (2.45) (2.45) （2.462.46）其中，方程（其中，方程（2.452.45）是折合到主动轴的关系）是折合到主动轴的关系式，方程（式，方程（2.462.46）是折合到从动轴的关系式。）是折合到从动轴的关系式。iTTtiDtiJJ211222
34、12221dddd2122222212ddddTiTtDtJJi当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼系数都要除以传动比的平方，负载转和阻尼系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因此，减速传动时，相当于矩除以传动比。因此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可以说电动机带电动机带的负载变小了，也可以说电动机带负载的力矩增大了。反之，当折合到从动轴负载的力矩增大了。反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数都要上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。将方
35、程（将方程（2.452.45）和（）和（2.462.46）进行拉氏变换后，）进行拉氏变换后，可得可得 22221211iBsiJJsisTsTs 2212212BsJJisTsiTs当从动轴弹性刚度为时，可列写主动轴和从当从动轴弹性刚度为时，可列写主动轴和从动轴的动力学方程为动轴的动力学方程为21212121ddiiKTtJ2212222222ddddTiKtDtJ sTsiKsiKsJ12212221 sTsKsDsJsiK22222212可见，当折合到主动轴上时，从动轴上的转可见，当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼系数以及刚度都要除以传动比动惯量和阻尼系数以及刚度都要除以传动比的
36、平方，负载转矩除以传动比，从动轴的转的平方，负载转矩除以传动比，从动轴的转角则乘以传动比。反之，当折合到从动轴上角则乘以传动比。反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数以及刚时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数以及刚度都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传度都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比，主动轴的转角则除以传动比。动比，主动轴的转角则除以传动比。联立求解代数方程组（联立求解代数方程组（2-512-51）和（）和（2-522-52），），可得可得 若若 ，变为刚性传动，前面推导的完，变为刚性传动，前面推导的完全刚性情况。全刚性情况。 222222122132122122221i
37、DKsKiJJsDJsJJssTiKsTKsDsJs 222222122132122221122iDKsKiJJsDJsJJssTiKsJsTiKs2K丝杠螺母副传动有类似的结果。如下图，设丝杠螺母副传动有类似的结果。如下图，设电动机驱动转矩为电动机驱动转矩为 ，转角为，转角为 ，电动机，电动机转子与丝杠一起的转动惯量为转子与丝杠一起的转动惯量为 ；设工作台；设工作台连同工件一起的质量为连同工件一起的质量为m m，位移为位移为x x，负载阻负载阻力为力为f f，工作台与导轨之间的粘性阻尼系数为工作台与导轨之间的粘性阻尼系数为D D，基本导程为基本导程为 。mTmmJhP mx D fmmJ m
38、hPmT根据上图，可得根据上图，可得 （2.552.55） （2.562.56）式中，丝杠螺母副传动比定义为式中，丝杠螺母副传动比定义为 22mmmiDsimJsisFsTs DsmJissFsiTsXm2mxPimh2若丝杠弹性刚度为，则有若丝杠弹性刚度为，则有 KDKsmJiDsJmsJssiKFsTKiDsmssm22m3mm22m KDKsmJiDsJmsJssFKsJsiKTsXm22m3m2mm上述结果可以推广到更加复杂的机械传动系上述结果可以推广到更加复杂的机械传动系统。任何机械传动系统，经过简化，都可以统。任何机械传动系统，经过简化，都可以得到类似上述方程所描写的动态数学模型。
39、得到类似上述方程所描写的动态数学模型。由这些方程可以看出，若阻尼系数由这些方程可以看出，若阻尼系数D D比较小，比较小，分母方括号中将有一对共轭复根。不考虑负分母方括号中将有一对共轭复根。不考虑负载力（或转矩），由输入转矩到主动轴转角载力（或转矩），由输入转矩到主动轴转角的传递函数，由于分子和分母多项式都有一的传递函数，由于分子和分母多项式都有一对数值相近的共轭复根，可以作为一对偶极对数值相近的共轭复根，可以作为一对偶极子相消，因而，可以近似为二阶系统；而由子相消，因而，可以近似为二阶系统；而由输入转矩到工作台位移的传递函数，由于分输入转矩到工作台位移的传递函数，由于分子为常数项，因而是一个四
40、阶系统，且有一子为常数项，因而是一个四阶系统，且有一对共轭复根。对共轭复根。进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例2lv dtd2lm2ldtd2mltT2l ldtdvm2tTl进给传动链例进给传动链例 lvf2tTf2lv 2lf2l2lftT2f进给传动链例进给传动链例 ssX2lfsXsl22lMJsTsTZZsXsJl2ZZsTsTZZsXsJl2ZZZZsXl2ZZZZskoo2233343o22342221o213412o3412i进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例 状态空间方程状态空间方程 伴随计算机的发展
41、，以状态空间理论为伴随计算机的发展，以状态空间理论为基础的现代控制理论的数学模型采用状态空基础的现代控制理论的数学模型采用状态空间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展为多输入为多输入- -多输出的时变系统。多输出的时变系统。 所谓状态方程是由系统状态变量构成的一所谓状态方程是由系统状态变量构成的一阶微分方程组阶微分方程组; ;状态变量是足以完全表征系统状态变量是足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。状态变量运动状态的最小个数的一组变量。状态变量相互独立但不唯一。相互独立但不
42、唯一。状态空间方程可表示成状态空间方程可表示成 （状态方程）（状态方程） （2.632.63） （输出方程）（输出方程） (2.64) (2.64)式中，式中， n n维状态矢量；维状态矢量； n nn n维系统状态系数矩阵；维系统状态系数矩阵；u ux xx xBA u ux xy yDC nxxx21x xnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 r r维控制矢量；维控制矢量； n nr r维系统控制系数矩阵；维系统控制系数矩阵； m m维输出矢量；维输出矢量；ruuu21u unrnnrrbbbbbbbbbB212222111211myyy21y y m mn n维输出状
43、态系数矩阵；维输出状态系数矩阵； m mr r维输出控制系数矩阵；维输出控制系数矩阵；mnmmnncccccccccC212222111211mrmmrrdddddddddD212222111211 DABCuy+x xx x 例例 如下图所示系统如下图所示系统, , 和和 分别为输入分别为输入和输出电压。和输出电压。 该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组 (t)iu R )(tuc)(tiL L C )()()()()()()()(tcutoudttcduCtitcudttdiLtRitiuLLL tui tuo tuo即即 也可表示为也可表示为 )(1)()(1)(1)
44、()(tiCdttcdutiuLtcuLtiLRdttdiLLLcui10ouiu0L1cui0C1L1LRcuiLL例：如下图所示系统，例：如下图所示系统， 为输入力，为输入力， 为为输出位移。输出位移。 该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组 D k m )(0tx )(tfi tfi txo)()(01)()(10)()(10)()()(1)()()()()()()()()()()(tovtoxtoxtifmtovtoxmmktovtoxtifmtovmtoxmkdttodvtovdttodxdttodvmtokxtoDvtifdttodxtovDD也可表示为即例：例：
45、abck1x0(t)fi(t)k2k312m2m1设设 , , , , 之间的位移为之间的位移为 , , 则则整理整理, ,得得oxx 112xx23和k3x baxxabakxabakxabamaxkxxmcbafxxabakxi313122211212131332 3231233221232212322212121221232212221xkxabakxfmbamacbaaxmbamakbaaxmbamaaxmbamakkbakaxxxi10 xx 3212212321232322123221212221232212321001000010 xxxxfmbamacbaaxxxkabakmbamakbaambamaambamakkbakaxxxoi 本章作业本章作业（p67-p75)2-1,2-2,2-6(b),2-8,2-9(b),2-10(a),2-11(c),2-12(b),2-19选做选做: 2-3,2-26(b)
