1、第四章第四章空间力系空间力系 若力系中若力系中各力的作用线各力的作用线在空间任意分在空间任意分布，则该力系布，则该力系称为空间任意称为空间任意力系，简称空力系，简称空间力系。间力系。本章研究的主要内容本章研究的主要内容空间力系空间力系导出平衡方程。导出平衡方程。应用应用: : 重心、平行力系中心重心、平行力系中心4141空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系合成的力多变形法则对空间平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？汇交力系是否适用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？用解析法又如何？1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影直接投
2、影法直接投影法间接（二次）投影法间接（二次）投影法2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理方向余弦方向余弦空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力等于零，即可由上式得：该力系的合力等于零，即可由上式得：称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。合力的大小为：合力的大小为：222)()()(ZYXRFFFF42 42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢三要素三要素(1(
3、1）大小）大小: :力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积(2)(2)方向方向: :转动方向转动方向(3)(3)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。又又则则力对力对O O点的矩在三个坐标轴的投影：点的矩在三个坐标轴的投影：2.2.力对轴的矩力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力 , ,力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ， ， ，力，力 作作用点的坐标用点的坐标 x, y, z求：力求：力F F
4、对对 x, y, z轴的矩轴的矩zFyFyzxFzFzxyFzFxy即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：43 43 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；FrMABFrMAB力偶矩力偶矩2 2、力偶的性质
5、、力偶的性质力偶矩力偶矩因因（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。=(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面
6、，对刚体的移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。作用效果不变。=(5)(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件=为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。iMMiMM则得则得: :合力偶矩矢的大小和方向余合力偶矩矢的大小和方向余弦弦称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程
7、。有有空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 222)()()(ziyixiMMMM简写：简写：0, 0, 0zyxMMM简化过程：简化过程： 将力系向已知点将力系向已知点 O 简化简化 O 点称为简化中心。点称为简化中心。力线平移力线平移合成合成汇交力系汇交力系合成合成力偶系力偶系结论：结论：空间空间 一般力系一般力系向一点向一点O 简化简化一个力偶一个力偶M一个力一个力RF作用于简化中心作用于简化中心O主矢与主矩主矢与主矩nRFFFF21nFFF21iF原原力系的主矢力系的主矢主矢与简化点主矢与简化点O位置无关位置无关n
8、MMMM21)()()(21nOOOFMFMFM)(iOFMOMOMMO称为原力系对称为原力系对O点的主矩点的主矩主矩与简化点主矩与简化点O位置有关位置有关44 44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩 建立直角坐标系Oxyz，主矢FR在各坐轴上的投影分别为：nixiRxFF1niyiRyFF1niziRzFF1)()(110inixnixioxFMFMM)()(110iniyniyioyFMFMM)()(110inizniziozFMFMM有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行有效升力有效升力飞机上升飞机上升侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移滚转力矩滚转力矩
9、飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头1 1） 合力合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）当当 时，时，当当 最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。0, 0oRMFoRoRMFMF, 0, 0合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。（2 2）合
10、力偶）合力偶当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。中心无关。（3 3）力螺旋）力螺旋力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心时当oRoRMFMF, 0, 0力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为（4 4）平衡）平衡当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系时角，且成，当2MF0M0FRRk45 45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矩分别为零。00oRMF即：则有：0)(, 00)(, 00)(, 011
11、1111inizniziiniyniyiinixnixiFMFFMFFMF例例41已知：已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径，柱齿圆轮节圆直径D=20mm，压力角，压力角=200求：求： 力力P大小及大小及A、B处的反力处的反力解：分析：分析： 传动轴传动轴AB匀速转动时，匀速转动时，可以认为处于平衡状态。可以认为处于平衡状态。 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。0020sin,20cosPPPPzy解： 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。0, 00500)(150, 0)(0, 00350150,
12、 0)(02)(2, 0)(2121121zBzAzzBzzyAyByyyByyzyxPTTFFFTTFPFMFFPFFPFMDTTDPFMN418N,6 .28N,142N,1 .38N,71BzByAzAyFFFFP0020sin,20cosPPPPzy 例例42 三轮小车三轮小车ABC静止于光滑水平面上，静止于光滑水平面上，如图所示。已知：如图所示。已知：AD = BD = 0.5m，CD = 1.5m。若有铅垂载荷若有铅垂载荷P = 1.5kN，作用于车上作用于车上E点，点，EF = DG = 0.5m，DF = EG = 0.1m。试试求地面作用于求地面作用于A、B、C三轮的反力。三
13、轮的反力。解：解：三轮小车三轮小车ABC 研究对象研究对象受力：受力： P、FA、FB、FC 构成平行力系。构成平行力系。:0 xiM0CDFEFPC（1）kN5 . 05 . 15 . 05 . 1CDEFPFC:0yiM0ADFAFPABFCB（2）kN35. 00 . 15 . 05 . 00 . 14 . 05 . 1ABADFABAFPFCB:0ziF0PFFFCBA（3）kN65. 05 . 035. 05 . 1CBAFFPF已知：已知： 物重物重P=P=10kN10kN，CE=EB=DECE=EB=DE；，求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，解：画受力图如图，
14、列平衡方程列平衡方程结果：结果：例例4 43 3例例4 44 4已知：已知：各尺寸如图各尺寸如图求：求：及及A A、B B处约束力处约束力解：研究对象，解：研究对象， 曲轴曲轴受力：受力：列平衡方程列平衡方程结果：结果：例例4-54-5已知：已知：F F、P P及各尺寸及各尺寸 求：求：杆内力杆内力解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板受力图如图受力图如图 列平衡方程列平衡方程例例4-64-6求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各杆重不计。各杆重不计。解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标
15、系如图。由由解得解得 （压）（压）（拉）（拉）4 6 重心重心 平行力系中心平行力系中心一、重心的概念一、重心的概念iP物体的重量（力）：物体的重量（力）： 物体每一微小部分地球引力的物体每一微小部分地球引力的合力。合力。物体每一微小部分地球引力物体每一微小部分地球引力 ：构成一汇交力系，：构成一汇交力系，汇交点为地球中心。近似为一汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系空间平行力系。重心：重心：物体每一微小部分地球引力合力物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点的作用点C 。iPP空间平行力系的中心空间平行力系的中心几何点几何点重心重心C 唯一性唯一性二、重心位置的确定二、重心位置的确定1.
16、 一般计算公式一般计算公式)(iPP设合力设合力P的作用点位置坐标为：的作用点位置坐标为：xC、yC、zC ，由合力矩定理得：由合力矩定理得：)()(iyyMMPPiicPxPxPPxxiicPPyyiic,PPzziic,重心坐标重心坐标的一般计算公式，的一般计算公式，P为物体的总重量。为物体的总重量。设：设：MgPgmPii,iPP其中Mmi,分别分别为微元体的质量和物体的总质量，为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。为重力加速度。则有：则有：MmxMggmxPPxxiiiiiicMmxxiicMmyyiicMmzziic物体物体质心坐标质心坐标的一般计算公式。的一般计算公式。可
17、见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。重心与质心的区别重心与质心的区别重心：仅在重力场中存在。重心：仅在重力场中存在。质心：任何地方都存在。质心：任何地方都存在。2. 均质物体的重心坐标积分计算均质物体的重心坐标积分计算设物体内一点容重为：设物体内一点容重为：常数常数 单位体积的重量单位体积的重量（N/m3），则有：则有：VPVPi,V、V 分别为微元体和物体的体积。分别为微元体和物体的体积。VVxVVxPPxxiiiiiicVVyyiicVVzziicVVxxiic均质物体的重心位于均质物体的重心位于物体的几何形心物体的几何形心。上式可表示为：上式
18、可表示为：VydVyVcVzdVzVcVxdVxVc对平面图形，上式变为：对平面图形，上式变为：AydAyAcAxdAxAc注：适用于几何形状规则的物体注：适用于几何形状规则的物体3. 均质组合形状物体的重心计算均质组合形状物体的重心计算（1）对称性法）对称性法重心一定在物体的重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心对称轴、对称面、对称中心上上。（2）组合法（叠加法）组合法（叠加法）求图示平面图形的重心。求图示平面图形的重心。iiCiCCCCAAxAAAAxAxAxx321111111iiCiCCCCAAyAAAAyAyAyy321111111（3）负面积法）负面积法321111111AAAA
19、xAxAxxCCCC321111111AAAAyAyAyyCCCC小问题小问题:如何设计不倒翁？如何设计不倒翁？三、三、 重心确定的实验方法重心确定的实验方法适用于非均质、形状不规则等一般物体。适用于非均质、形状不规则等一般物体。（1）悬挂法）悬挂法注：适用于小物体。注：适用于小物体。（2 2） 称重法称重法则则有有整理后，得整理后，得若汽车左右不对称，如若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）何测出重心距左（或右）轮的距离？轮的距离？例例4-74-7求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。解解: :厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，则则用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩形，为三个小矩形，其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为只求重心的只求重心的x,y坐标即可。坐标即可。例例4-84-8求：其重心坐标。求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的解：用负面积法，解：用负面积法，由由而而得得由对称性，有由对称性，有小圆（半径为小圆（半径为r r）面积为）面积为A3A3，为负值。，为负值。小半圆（半径为小半圆（半径为r+br+b）面积为）面积为A2 ,A2 ,为三部分组成，为三部分组成，设大半圆面积为设大半圆面积为A1A1，
