1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 抛物线及其性质 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.抛物线的定义和标准方程 1.了解圆锥曲线的实际背景 ,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 . 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 . 掌握 15,4分 22(文 ), 约 5分 22(文 ), 约 5分 9,4分 19(1)(文), 6分 15,约 4分 2.抛物线的几何性质 1.掌握抛物线的简单几何性质 . 2.理解数形结合的思想 . 掌握 22(文 ), 约 5分 22(文 ), 约 6分 5,5分 20(
2、文 ), 约 7分 19(2)(文), 9分 15,约 6分 分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质 . 2.考查直线与抛物线的位置关系 ,以及与抛物线有关的综合问题 . 3.预计 2019年高考中 ,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查 . 五年高考 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2013课标全国 ,11,5 分 )设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在 C上 ,|MF|=5,若以 MF为直径的 圆过点 (0,2),则 C的方程为 ( ) A.y2=4x或 y2=8x B.y2=2x或 y2=8x C.y2=4x或 y2=16x D.y2=2x或
3、 y2=16x 答案 C 2.(2016浙江 ,9,4分 )若抛物线 y2=4x上的点 M到焦点的距离为 10,则 M到 y轴的距离是 . 答案 9 3.(2017课标全国 理 ,16,5 分 )已知 F是抛物线 C:y2=8x 的焦点 ,M是 C上一点 ,FM的延长线交 y轴于点 N.若 M为 FN的中点 ,则 |FN|= . 答案 6 4.(2015陕西 ,14,5分 )若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1的一个焦点 ,则 p= . 答案 2 5.(2014湖南 ,15,5分 )如图 ,正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F两点
4、 ,则 = . 答案 1+ 考点二 抛物线的几何性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.(2015浙江 ,5,5分 )如图 ,设抛物线 y2=4x的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B在抛物线上 ,点 C在 y轴上 ,则 BCF 与 ACF 的面积之比是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 2.(2016课标全国 ,10,5 分 )以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A,B两点 ,交 C的准线于 D,E两点 .已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 3.(2017山东理 ,
5、14,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为 F的抛物线x2=2py(p0)交于 A,B两点 .若 |AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y= x 4.(2016浙江 文 ,19,15分 )如图 ,设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A到 y轴的距离等于 |AF|-1. (1)求 p的值 ; (2)若直线 AF交抛物线于另一点 B,过 B与 x轴平行的直线和过 F与 AB垂直的直线交于点 N,AN与 x轴交于点 M.求 M的横坐标的取值范围 . 解析 (1)由题意可得 ,抛物线上点 A到焦点 F的距
6、离等于点 A到直线 x=-1的距离 ,由抛物线的定义得 =1,即p=2. (2)由 (1)得 ,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1. 因为 AF 不垂直于 y轴 ,可设直线 AF:x=sy+1(s0), 由 消去 x得 y2-4sy-4=0, 故 y1y2=-4,所以 ,B . 又直线 AB的斜率为 ,故直线 FN的斜率为 - . =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而得直线 FN:y=- (x-1),直线 BN:y=- . 所以 N . 设 M(m,0),由 A,M,N三点共线得 = ,于是 m= . 所以 m2. 经检验 ,m2满足题意 . 综上 ,
7、点 M的横坐标的取值范围是 (-,0)(2,+). 5.(2014浙江文 ,22,14分 )已知 ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y上 ,F为抛物线 C的焦点 ,点 M为 AB 的 中点 , =3 . (1)若 | |=3,求点 M的坐标 ; (2)求 ABP 面积的最大值 . 解析 (1)由题意 知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知 |PF|=y0+1,得到 y0=2, 所以 P(2 ,2)或 P(-2 ,2). 由 =3 ,分别得 M 或 M . (2)设直线 AB的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x
8、0,y0). 由 得 x2-4kx-4m=0, 于是 =16k 2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点 M的坐标 为 (2k,2k2+m). 由 =3 ,得 (-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以 由 =4y0得 k2=- m+ . 由 0,k 20, 得 - f , 所以 ,当 m= 时 , f(m)取到 最大值 ,此时 k= . 所以 ,ABP 面积的最大值为 . 6.(2013浙江文 ,22,14分 )已知抛物线 C的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C的方程 ; (2)过点 F作直线交抛物线 C于 A,B两点
9、.若直线 AO,BO分别交直线 l:y=x-2于 M,N两点 ,求 |MN|的最小值 . 解析 (1)由题意可设抛物线 C的方程为 x2=2py(p0),则 =1,所以抛物线 C的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. 由 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.从而 |x1-x2|=4 . 由 解得点 M的横坐标 xM= = = . 同理点 N的横坐标 xN= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |MN|= |xM-xN| = =8 = . 令 4k-3=t,t0, 则 k=
10、. 当 t0时 ,|MN|=2 2 . 当 t0)的焦点为 F,直线 y=4与 y轴的交点为 P,与 C的交点为Q,且 |QF|= |PQ|. (1)求 C的方程 ; (2)过 F的直线 l与 C相交于 A、 B两点 ,若 AB的垂直平分线 l与 C相交于 M、 N两点 ,且 A、 M、 B、 N四点在同一圆上 ,求 l的方程 . 解析 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px得 x0= . 所以 |PQ|= ,|QF|= +x0= + . 由题设得 + = , 解得 p=-2(舍去 )或 p=2. 所以 C的方程为 y2=4x.(5分 ) (2)依题意知 l与坐标轴不垂直 ,故可设 l的
11、方程为 x=my+1(m0). 代入 y2=4x得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1). 又 l的斜率为 -m, 所以 l的方程为 x=- y+2m2+3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). 故 MN的中点为 E , |MN|= |y3-y4|= .(10分 ) 由于 MN 垂直平
12、分 AB,故 A、 M、 B、 N四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2, 即 4(m2+1)2+ + = . 化简得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1. 所求直线 l的方程为 x-y-1=0或 x+y-1=0.(12分 ) 教师用书专用 (9 10) 9.(2013安徽 ,13,5分 )已知直线 y=a交抛物线 y=x2于 A,B两点 .若该抛物线上存在点 C,使得 ACB 为直角 ,则 a的取值范围为 . 答案 1,+) 10.(2013江西 ,14,5分 )抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1相
13、交于 A,B两点 ,若 ABF 为等边三角形 ,则 p= . 答案 6 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2017浙江 “ 超级全能生 ” 联考 (3 月 ),4)设抛物线的顶点在原点 ,焦点在 x轴上 ,若抛物线上的点 A(-1,a)与焦点 F的距离为 2,则 a=( ) A.4 B.4或 -4 C. -2 D.-2或 2 答案 D 2.(2017浙江杭州二模 (4 月 ),7)设倾斜角为 的直线经过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F,与抛物线 C交于A,B两点 ,设点 A在 x轴上方 ,点 B在 x轴下方 .若 =m,则 c
14、os 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D. 答案 A 3.(2018浙江名校 协作体期初 ,15)已知 F是抛物线 C:y2=4x的焦点 ,M 是 C上一点 ,FM 的延长线交 y轴于点 N.若= ,则 | |= . 答案 5 4.(2017浙江稽阳联谊学校联考 (4月 ),11)已知抛物线 y2=-2px过点 M(-2,2),则 p= ,准线方程是 . 答案 1;x= 5.(2018浙江镇海中学期中 ,19)在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知抛物线 C:x2=2py的焦点为 F(0,1),过 O作斜率为 k(k0) 的直线 l交抛物线于 A(异于 O点
15、),已知 D(0,5),直线 AD交抛物线于另一点 B. (1)求抛物线 C的方程 ; (2)若 OABF, 求 k的值 . 解析 (1)由题意知 , =1,所以 p=2,所以抛物线 C:x2=4y.(6分 ) (2)由题意知 ,直线 OA:y=kx,将其代入抛物线方程 :x2=4y 中 , 消去 y,得 x2-4kx=0,则 A(4k,4k2).(8分 ) 直线 AB:y= x+5,直线 BF:y=- x+1,(10分 ) 联立可解得 B . (12分 ) 又因为 B在抛物线 C上 ,则 =4 ,(13分 ) 得 (4k2+3)(4k2-5)=0,得 k= .(15分 ) 考点二 抛物线的几
16、何性质 6.(2018浙江镇 海中学期中 ,6)已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,O为原点 ,若 M是抛物线上的动点 ,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 答案 C 7.(2017浙江镇海中学模拟卷 (五 ),12)已知抛物线 x2=4y,则该抛物线的焦点坐标是 ;过焦点斜率为 1的直线与抛物线交于 P,Q两点 ,则 |PQ|= . 答案 (0,1);8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.(2016浙江宁波二模 ,19)在 “2016” 的 Logo设计中 ,有这样一个图案 : .其由线段 l、抛物线弧 E及圆 C三部分组成 .对其进行代数化的分析 ,如图建系 ,发现 :圆
17、C方程为 (x-4)2+y2=16,抛物线弧E:y2=2px(p0,y0 ,0x8), 若圆心 C恰为抛物线 y2=2px的焦点 ,线段 l所在的直线恰为抛物线 y2=2px的准线 . (1)求 p的值及线段 l所在的直线方程 ; (2)P为圆 C上的任意一点 ,过 P作圆的切线交抛物线弧 E于 A、 B两点 ,问是否存在这样的点 P,使得弦 AB 在 l上的投影的长度与圆 C的直径之比为 43? 若存在 ,求出 P点坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 (1)由题意易得 p=8,线段 l所在直线方程为 x=-4.(5 分 ) (2)假设存在这样的 P点 ,设 P(x0,y0)(0x 08
18、), 则切线方程为 (x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分 ) 将其与抛物线方程 y2=16x联立 ,显然 x04,y 00. 整理得 y2+y0y-4x0=0,(9 分 ) 设点 A、 B在 l上的投影分别为 M,N. 由题意可得 |MN|=|yA-yB|= = , 解得 x0=1(x0=16舍去 ). 此时 P(1, ),则 yA,B= ( 2),(11 分 ) 因为抛物线弧的右上端点坐标为 (8,8 ), 且 ( +2)8 ,故此时的 P不满足条件 ,即这样的 P点不存在 .(15分 ) B组 2016 2018 年模 拟 提升题组 一、选择题 1.(2017浙江绍兴质量调测 (3月 ),7)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,过点 M(p,0)的直线交抛物线于 A,B两点 ,若 =2 ,则 =( ) A.2 B. C. D.
