1、THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系6.1 汇交力系的简化与平衡 6.2 力偶系的简化与平衡 6.3 空间任意力系的简化 6.4 空间任意力系的平衡 6.5 平面任意力系的平衡 6.6 刚体系统的平衡静定与超静定概念 6.7 平行力系的简化重心 6.8 考虑摩擦时的平衡问题 THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系6.1 汇交力系的简化与平衡 p力多边形规则力多边形规则p合力投影定理合力投影定理nizizniyiynix
2、ixFFFFFF1R1R1R,4F1F2F3FRFiFFRTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系p汇交力系平衡的必要和充分条件汇交力系平衡的必要和充分条件p汇交力系平衡的汇交力系平衡的几何条件几何条件：力多边形自行封闭。力多边形自行封闭。4F1F2F3F0FFiR0 0 0 xyzFFF汇交力系的平衡方程汇交力系的平衡方程（解析条件）（解析条件） 0 0 xyFFp平面汇交力系平面汇交力系THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程
3、力学系ROAhFB例例6-1 如图轧路碾子自重如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径，半径 R = 0.6 m，障碍物，障碍物高高h = 0.08 m，碾子中心碾子中心O处作用一水平拉力处作用一水平拉力F，试求，试求: (: (1)1)当水当水平拉力平拉力F = = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)(2)欲将碾子欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)(3)力力F 沿什么方向拉沿什么方向拉动碾子最省力，此时力动碾子最省力，此时力F为多大。为多大。FAFBPTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章
4、 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系例例6-2 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰滑轮由两端铰接接的水平的水平刚杆刚杆AB和斜刚杆和斜刚杆BC支持于点支持于点B 。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB和和BC所受的力。所受的力。GTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 cos30tan30sin3054.6 kNABFGFFcos30sin3074.64 kNBCFGF THEORETIC
5、AL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 ,0,0yxFF030 sin30 cosFFFABBC030 cos60 cosFGFBC54.64 kNABF 74.64 kNBCFTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系例例6-3 用起重机吊起重物。起用起重机吊起重物。起重杆的重杆的A端用球铰链固定在地面端用球铰链固定在地面上，而上，而B端则用绳端则用绳CB和和DB拉住，拉住，两绳分别系在墙上的两绳分别系在墙上的C点和点和D点，点，连线连线C
6、D平行于平行于x轴。已知轴。已知CE=EB=DE,角角=30o ，CDB平面平面与水平面间的夹角与水平面间的夹角EBF= 30o ,重物重物G=10 kN。如不计起重杆的。如不计起重杆的重量重量,试求起重杆所受的力和绳试求起重杆所受的力和绳子的拉力。子的拉力。THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系030 cos30 sin45 cos30 sin45 cos, 0030cos45 c
7、os30 cos45 cos30 sin, 0045 sin45 sin, 021 2121GFFFFFFFFFFFAzAyxkN 66. 8kN 3.5421AFFFGTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系思考题：思考题： 空间汇交力系的平衡方程的投影轴必须垂直吗？空间汇交力系的平衡方程的投影轴必须垂直吗？000RRRzzyyxxFFFFFFxyz?OTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系大型帐蓬中的空间结构大型帐蓬中
8、的空间结构密歇尔斯基习题集213THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系6.2 6.2 力偶系的简化与平衡力偶系的简化与平衡 n1in1in1ikjiiziyixMMMp作用于刚体上的力偶系合成为一作用于刚体上的力偶系合成为一合力偶合力偶nii1MMxyzo1M2M3MnMxyzo1M2M3MnMAMTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平
9、衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系000zyxMMMp空间力偶系的平衡条件：空间力偶系的平衡条件：p平面力偶系平面力偶系 0Mp空间力偶系平衡的充分必要条件空间力偶系平衡的充分必要条件01niiMMTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系mN 1 .19345 cos45 cosmN 80mN 1 .19345 cos45 cos5412543MMMMMMMMMMzyx例例6-4 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为受的切削力
10、偶矩均为80 Nm。求工件所受合力偶的矩在。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。，并求合力偶矩矢的大小和方向。THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系ABMOABMO（A）（B）例例6-5：结构如图所示，已知主动力偶结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链，哪种情况铰链的约束力较小（不计构件自重）。的约束力较小（不计构件自重）。1 1、研究、研究OA杆杆2 2、研究、研究AB杆杆THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化
11、与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系ABMOM思考题：思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M， 确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系2M1M1sinDMBDFN2DMADFN研究研究BD研究研究ACsin21MADBDM BNFDNFANF例例6-6:6-6:。21,MM2M1MDDNFTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简
12、化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系空间任意力系空间任意力系(general noncoplanar force system )： 力作用线在空间任意分布的力系力作用线在空间任意分布的力系,21nFFF问题：问题：xyzo1F2F3FiFnF简化结果是什么？简化结果是什么？6-3 6-3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机
13、侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系AFOdAdFFFAOFOMp力的平移定理力的平移定理 , ,AOOFFM,OOAFF MrFO= MFFFF p逆过程逆过程THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系O2F1F1M2MnFnM主矢主矢niinii11RFFF主矩主矩n1iiin1iiFrM
14、MO（与简化中心无关）（与简化中心无关）（一般与简化中心有关）（一般与简化中心有关）ORFOMABCoO称为简化中心称为简化中心1F2FnFiiFF iOFMM ip空间任意力系的简化空间任意力系的简化 THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系,R21OnMFFFFp空间任意力系空间任意力系简化结果简化结果平衡平衡合力合力合力偶合力偶20, 0ROMFR0,0FO1、0,0ROMF3、0,0ROMF?思考思考:主矢是一个什么矢量？主矢是一个什么矢量？能否找到两个不同简化中心，使某力系主矩相同能否找到两个不同简
15、化中心，使某力系主矩相同?THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系1.力系简化为合力偶力系简化为合力偶其大小、方向与简化中心其大小、方向与简化中心无关无关2.力系简化为合力力系简化为合力FR = 0，MO0 力偶矩矢力偶矩矢M = MO = MO(Fi) FR0，MO = 0 , FR= Fi (1)力系简化为通过简化中心力系简化为通过简化中心O的合力的合力 THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系(2)进一步合成为一合力进
16、一步合成为一合力FR0，MO0，且，且FR MO = 0，即，即FRMO 合力作用线沿合力作用线沿FRMO方向偏离简化中心方向偏离简化中心O一段距一段距离离OO = d = MORF()MMFOORRFOMORFORFRFdORFOdTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系p任意力系的合力矩定理：任意力系的合力矩定理：当力系有合力时，合力对某点（或某轴）之矩等于各分力当力系有合力时，合力对某点（或某轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（代数和）对同一点（或轴）之矩的矢量和（代数和） 。 11()()
17、()()MMFMFMFMMFOORnnOROiiOOiiTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系3. 力系简化为力螺旋力系简化为力螺旋(1) FR0，MO0，且FRMO力螺旋力螺旋wrenchTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系如果如果FR与与MO同向同向，即，即FR MO0，称为，称为右力螺旋右力螺旋；如果如果FR与与MO反向反向，即，即FR MO0时，称为时，称为左力螺旋左力螺旋。右力螺旋右力螺旋左力螺旋左力螺旋力力
18、FR的作用线称为的作用线称为力螺旋的中心轴力螺旋的中心轴。 THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系OOMFMFRR,0,0OMRFORFOd1OM力螺旋力螺旋wrenchRF1OMOdRFRFRFd1OMRF2OMO1OMsinORMdFTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系主主 矢矢主主 矩矩最后结果最后结果说说 明明平衡平衡合力偶合力偶ROFdM主矩与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置无关合力合力力螺旋力螺旋力螺
19、旋力螺旋合力作用线离简合力作用线离简化中心化中心O的距离的距离力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴离简化中心力螺旋的中心轴离简化中心O的距离为的距离为sinORMdF成成 角角合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心OTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系固定端的受力分析固定端的受力分析 CBFqACBARFCBFqAAM1.3 力系的简化AxFAyF思考思考:THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程
20、力学系工程力学系p杆截面的受力分析杆截面的受力分析 FOy轴力轴力 FOx，FOz剪力剪力MOy扭矩扭矩 MOx，MOz弯矩弯矩xyzOxFOyFOzFMOzOyMOxMiFq1.3 力系的简化THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系xyz1F2F3FabcO例例6-8：求力系求力系Fi向向O点简化的结果。点简化的结果。kjirkjiFiiiiiiziyixzyxFFF解：解：1 1、2、niiiOnii11RFrMFF3 3、 根据主矢和主矩的计算结果根据主矢和主矩的计算结果 判断该力系的简化结果。判断该力
21、系的简化结果。THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 1.图示力系沿正方体棱边作用，图示力系沿正方体棱边作用，F1=F2=F3=F,其向其向O点简化的结果是什么点简化的结果是什么?xyz1FAO2F3F2.哪些特殊力系不可能简化为力螺旋哪些特殊力系不可能简化为力螺旋?思考思考:THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系确定图示力系的简化结果确定图示力系的简化结果1F3F2F平面椭圆平面椭圆A2F1F3F4F5F正方体正方体A
22、1F3F2F平面椭圆平面椭圆B2F1F3F4F5F正方体正方体B思考思考:THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系,R21OnMFFFF0M0FOR,平衡平衡p空间任意力系简化空间任意力系简化n1in1iFFFiiRniiOOF1)(MM222R)()()(zyxFFFF222)()()(OzOyOxOMMMM0000RzyxFFFF0)(0)(0)(0FFFMOzOyOxOMMM,0)(0)(0)(FFFzyxMMMp空间任意力系平衡的充分必要条件：空间任意力系平衡的充分必要条件：THEORETICAL M
23、ECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系空间问题空间问题,000zyxFFF平面问题平面问题,00yxFF,0)(0)(0)(FFFzyxMMM空间问题空间问题平面问题平面问题 0M0RF汇交力系平衡的充分必要条件：汇交力系平衡的充分必要条件：力偶系平衡的充分必要条件力偶系平衡的充分必要条件：0OMTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系,0)(0)(0FFyxzMMF空间平行问题空间平行问题xyzo平面平行问题平面平行问题xyo0)(0FOyMFT
24、HEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系p平面任意力系平衡充要条件：平面任意力系平衡充要条件：力系的主矢力系的主矢 和对任意点的和对任意点的主矩主矩 均等于零均等于零 FR = 00OM000)(FOyxMFFxyOp平面任意力系的简化结果：平面任意力系的简化结果：平衡、合力、力偶平衡、合力、力偶THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程 连线连线AB不垂直投影轴不垂直投影轴 x FRxA
25、B 0FAM 0FBM0 xFFRABC三矩形式的平衡方程三矩形式的平衡方程0)(0)(0)(FFFCBAMMMA A、B B、C C三点不共线三点不共线THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系例：例：已知已知ABAB梁长为梁长为l，其上受有均布载荷，其上受有均布载荷q，求，求A处的约束力处的约束力ABAMAxFAyF0, 0AxxFF解：研究解：研究AB梁，画受力图。梁，画受力图。qlFxqFFAylAyy, 0d, 002021, 0d, 0qlMxxqMMAlAAABTHEORETICAL MECHAN
26、ICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系例6-14 塔式起重机如图所示。机架重塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心。作用线通过塔架的中心。最大起重量最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12 m，轨道，轨道AB的间距为的间距为4 m。平衡荷。平衡荷重重G3到机身中心线距离为到机身中心线距离为6 m。试问：。试问： (1)保证起重机在满载和空载时都不保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重翻倒，求平衡荷重G3应为多少应为多少? (2)当平衡荷重当平衡荷重G3=180 kN时，求满时，求满载时轨道
27、载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？给起重机轮子的约束力？THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系例：例：重为重为W 的均质正方形板的均质正方形板 水水 平支承在铅垂墙壁上，求平支承在铅垂墙壁上，求 绳绳1、2的拉力的拉力, , BC杆的内力杆的内力和球铰链和球铰链A的约束力。的约束力。解：取板为研究对象、解：取板为研究对象、 画受力图画受力图方法一：方法一：基本方程基本方程BCW1F2FCFAxFAyFAzFxyzABCW12xyz000zyxFFF,0)(0)(0)(FFFzyxMMMTHEORETICA
28、L MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系方法二：方法二：六矩式方程六矩式方程 AzCyFM020FMxCzFM010FMyAxDzFM0AyCzFM0在同一平面内在同一平面内最多取两个平行的取矩轴最多取两个平行的取矩轴在空间内在空间内最多取三个平行的取矩轴最多取三个平行的取矩轴BCW1F2FCFAxFAyFAzFxyzDTHEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 例例6-10 如图所示匀如图所示匀质长方板由六根直杆支质长方板由六根直杆支持于水平位
29、置，直杆两持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地端各用球铰链与板和地面连接。板重为面连接。板重为G，在，在A处作用一水平力处作用一水平力F，且，且F = 2G。求各杆的内力。求各杆的内力。THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 例例6-11 如图所示如图所示三轮小车，自重三轮小车，自重G = 8 kN，作用于，作用于E点，载点，载荷荷F1 = 10 kN，作用，作用于于C点。求小车静止点。求小车静止时地面对车轮的约束时地面对车轮的约束力。力。THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简
30、化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系(1)力系平衡时，对任意轴力系平衡时，对任意轴x，有，有 (2)各类力系独立平衡方程数各类力系独立平衡方程数 p可用于判断问题是否可解可用于判断问题是否可解p平衡方程要点平衡方程要点=0 0 xxFM 一般 平行 汇交 力偶 空间 平面 633332212.1 一般力系的平衡条件THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系p和尚挑水的启示和尚挑水的启示 三个和尚无法解决偷懒三个和尚无法解决偷懒和平均负重问题！和平均负重问题！FABABCFFAFBFCs
31、tructurep超静定问题超静定问题( (Statically indeterminate structure) )THEORETICAL MECHANICS第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡山东大学山东大学 工程力学系工程力学系讨论：讨论： 根据题意选择研究对象，按约束的性质表示约束反力，根据题意选择研究对象，按约束的性质表示约束反力，正确地画出其正确地画出其受力图受力图。 解题技巧：解题技巧： 取矩轴和投影轴可以不重合，用取矩轴代替投影轴，解题常取矩轴和投影轴可以不重合，用取矩轴代替投影轴，解题常常方便；常方便； 投影轴尽量选在与未知力投影轴尽量选在与未知力 ，力矩轴选在与未知力平行或相交，力矩轴选在与未知力平行或相交 整体整体局部的研究方法。局部的研究方法。
