1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.2 平面向量的数量积及其应用 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3.掌握数量积的坐标表达式 ,会进行平面向量数量积的运算 . 4.能运用数量积表示两个向量的夹角 . 掌握 17,4分 8,5分 9(文 ), 5分 13(文), 4分 15(文), 4分 10,4分 2.向量的综合应用 1.会用向量方法解决某些简单的平面 几何问题 . 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些
2、实际问题 . 掌握 7,5分 15(文), 4分 15,4分 15,6分 分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点 ,主要有以下几个方面 :(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义 .(2)平面向量垂直的充要条件及其应用 .(3)平面向量的综合应用 ,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的双重身份 ,是中学数学知识的重要交汇点 ,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透 . 2.预计 2019年高考试题中 ,向量的数 量积 仍是高考的热点 ,应引起高度重视 . 五年高考 考点一 平面向量的数量积 1.(2017浙江 ,10,4分 )如图 ,
3、已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O.记I1= ,I2= ,I3= ,则 ( ) A.I1= .若 n(tm+n), 则实数 t的值为 ( ) A.4 B.-4 C. D.- 答案 B 8.(2015安徽 ,8,5分 )ABC 是边长为 2的等边三角形 ,已知向量 a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是( ) A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b) 答案 D 9.(2015福建 ,9,5分 )已知 ,| |= ,| |=t.若点 P是 ABC 所在平面内的一点 ,且 = + ,则 的最大值等于 ( ) A
4、.13 B.15 C.19 D.21 答案 A 10.(2016浙江文 ,15,4分 )已知平面向 量 a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1. 若 e为平面单位向量 ,则 |ae|+|be| 的最大值是 . 答案 11.(2017课标全国 文 ,13,5 分 )已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 ab, 则 m= . 答案 2 12.(2017北京文 ,12,5分 )已知点 P在圆 x2+y2=1 上 ,点 A的坐标为 (-2,0),O为原点 ,则 的最大值为 . 答案 6 13.(2017课标全国 理 ,13,5 分 )已知向量 a,b的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,
5、 则 |a+2b|= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2 14.(2017山东理 ,12,5分 )已知 e1,e2是互相垂直的单位向量 .若 e1-e2与 e1+e 2的夹角为 60, 则实数 的值是 . 答案 15.(2015天津 ,14,5分 )在等腰梯形 ABCD中 ,已知 ABDC,AB=2,BC=1,AB C=60. 动点 E和 F分别在线段 BC和 DC上 ,且 = , = ,则 的最小值为 . 答案 16.(2015广东 ,16,12分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知向量 m= ,n=(sin x,cos x),x . (1)若 mn, 求 tan x的值 ;
6、(2)若 m与 n的夹角为 ,求 x的值 . 解析 (1)因为 mn, 所以 mn= sin x- cos x=0. 即 sin x=cos x,又 x ,所以 tan x= =1. (2)易求得 |m|=1,|n|= =1. 因为 m与 n的夹角为 , 所以 cos = = . 则 sin x- cos x=sin = . 又因为 x ,所以 x- . 所以 x- = ,解得 x= . 教师用书专用 (17 33) 17.(2016北京 ,4,5分 )设 a,b是向量 ,则 “|a|=|b|” 是 “|a+b|=|a -b|” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分
7、必要条件 D.既不充分也 不必要条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 18.(2015山东 ,4,5分 )已知菱形 ABCD的边长为 a,ABC=60, 则 =( ) A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2 答案 D 19.(2014大纲全国 ,4,5分 )若向量 a、 b满足 :|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b, 则 |b|=( ) A.2 B. C.1 D. 答案 B 20.(2015重庆 ,6,5分 )若非零向量 a,b满足 |a|= |b|,且 (a-b)(3a+2b), 则 a与 b 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 21.(2014
8、四川 ,7,5分 )平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR), 且 c与 a的夹角等于 c与 b的夹角 ,则m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D 22.(2014天津 ,8,5分 )已知菱形 ABCD的边长为 2,BAD=120, 点 E,F分别在边 BC,DC上 ,BE=BC,DF=DC.若 =1, =- ,则 +=( ) A. B. C. D. 答案 C 23.(2014课标 ,3,5 分 )设向量 a,b满足 |a+b|= ,|a-b|= ,则 ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A 24.(2013陕西 ,3,5分 )设 a,b
9、为向量 ,则 “|ab|=|a|b|” 是 “ ab” 的 ( ) A.充分不 必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 25.(2013湖北 ,6,5分 )已知点 A(-1,1)、 B(1,2)、 C(-2,-1)、 D(3,4),则向量 在 方向上的投影为 ( ) A. B. C.- D.- 答案 A 26.(2014江苏 ,12,5分 )如图 ,在平行四边形 ABCD中 ,已知 AB=8,AD=5, =3 , =2,则 的值是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 22 27.(2014安徽 ,15,5分 )已知两个不 相等的非零向量 a,
10、b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5和 y1,y2,y3,y4,y5均由 2个 a和 3个 b排列而成 .记 S=x1y 1+x2y 2+x3y 3+x4y 4+x5y 5,Smin表示 S所有可能取值中的最小 值 .则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). S 有 5个不同的值 若 ab, 则 Smin与 |a|无关 若 ab, 则 Smin与 |b|无关 若 |b|4|a|,则 Smin0 若 |b|=2|a|,Smin=8|a|2,则 a与 b 的夹角为 答案 28.(2013江西 ,12,5分 )设 e1,e2为单位向量 ,且 e1,e2的夹角为 ,若 a=e1+3e2
11、,b=2e1,则向量 a在 b方向上的射影为 . 答案 29.(2016课标全国 ,13,5 分 )设向量 a=(m,1),b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . 答案 -2 30.(2015湖北 ,11,5分 )已知向量 ,| |=3,则 = . 答案 9 31.(2013课标全国 ,13,5 分 )已知正方形 ABCD的边长为 2,E为 CD 的中点 ,则 = . 答案 2 32.(2013课标全国 ,13,5 分 )已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60,c=ta+(1 -t)b.若 bc=0, 则t= . 答案 2 33.(2016江苏 ,13,5分 )如
12、图 ,在 ABC 中 ,D 是 BC的中点 ,E,F是 AD上的两个三等分点 , =4, =-1,则 的值是 . 答案 考点二 向量的综合应用 1.(2013浙江 ,7,5分 )设 ABC,P 0是边 AB 上一定点 ,满足 P0B= AB,且对于边 AB上任一点 P,恒有 ,则 ( ) A.ABC=90 B.BAC=90 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.AB=AC D.AC=BC 答案 D 2.(2016课标全国 ,3,5 分 )已知向量 = , = ,则 ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 答案 A 3.(2016四川 ,10,5分 )在平面内 ,定点 A,B,
13、C,D满足 | |=| |=| |, = = =-2,动点 P,M满足 | |=1, = ,则 | |2的最大值是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 4.(2013湖南 ,6,5分 )已知 a,b是单位向量 ,ab =0.若向量 c满足 |c-a-b|=1,则 |c|的取值范围是 ( ) A. -1, +1 B. -1, +2 C.1, +1 D.1, +2 答案 A 5.(2017浙江 ,15,6分 )已知向量 a,b满足 |a|=1,|b|=2,则 |a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4;2 6.(2016浙江 ,15,4分 )已知向量 a,b,|a|=1,|b
14、|=2.若对任意单位向量 e,均有 |ae|+|be| ,则 ab 的最大值是 . 答案 7.(2017课标全国 文 ,13,5 分 )已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b与 a垂直 ,则 m= . 答案 7 8.(2017江苏 ,12,5分 )如图 ,在同一个平面内 ,向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 , 且 tan =7, 与 的夹角为 45. 若 =m +n (m,nR), 则 m+n= . 答案 3 教师用书专用 (9 16) =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.(2015湖南 ,8,5分 )已知点 A,B,C在圆 x2+y2=1 上运动 ,
15、且 ABBC. 若点 P的坐标为 (2,0),则 | + + |的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 10.(2013重庆 ,10,5分 )在平面上 , ,| |=| |=1, = + .若 | | ,所以 = , = . 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 平面向量的数量积 1.(2017浙江名校 (杭州二中 )交流卷三 )已知向量 a=(cos2A,-sin2A),b= ,其中 A为 ABC 的最小内角 ,且 ab= - ,则角 A等于 ( ) A. B. C. D. 或 答案 C 2.(2017浙江绍 兴质量调测 (3月 ),8) 向量
16、a,b满足 |a|=4,b(a -b)=0.若 |a -b|的最小值为 2(R), 则ab=( ) A.0 B.4 C.8 D.16 答案 C 3.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中 ,12)在 ABC 中 ,已知 AB= ,BC= ,AC=2,且 O为 ABC 的外心 ,则 ABC 的面积为 , = . 答案 ;-2 4.(2018浙江杭州二中期中 ,16)在半径为 1的扇形 AOB 中 ,AOB=60,C 为弧 AB上的动点 ,AB与 OC交于点 P,则 的最小值是 . 答案 - 考点二 向量的综合应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2017浙江名校 (诸暨中学 )交流卷
17、四 ,7)已知 A,B是半径为 的 O 上的两个点 , =1,O 所在平面上有一点 C满足 | + - |=1,则向量 的模的取值范围是 ( ) A.2 -1,2 +1 B. C. -1, +1 D. -1, +1 答案 C 6.(2018浙江名校协作体期初 ,12)已知在 ABC 中 ,AB=3,BC= ,AC=2,且 O是 ABC 的外心 ,则 = , = . 答案 2;- 7.(2018浙江 “ 七彩阳光 ” 联盟期初联考 ,16)若向量 a,b满足 a2+ ab+b 2=1,则 |a+b|的最大值为 . 答案 8.(2017浙江嘉兴基础测试 ,15)已知两单位向量 e1,e2的夹角为 60, 若实数 x,y满足 |xe1+2ye2|= ,则 x+2y的取值范围是 . 答案 -2,2 B组 2016 2018 年模拟 提升题组 一、选择题 1.(2018浙江 9+1高中联盟期中 ,10)如图 ,点 C在以 AB为直
