1、2 2）薛定谔薛定谔与与狄拉克狄拉克于于19261926年建立的波动方法年建立的波动方法 描述物质波描述物质波连续时空演化连续时空演化的偏微分方程的偏微分方程 薛定愕方程，给出了量子论的另一个数薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述学描述波动力学。波动力学。2-3 薛定谔方程薛定谔方程Erwin Schrodinger18871961 量子理论的两种表达方式：量子理论的两种表达方式：1 1）海森堡、波恩和约丹等人海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来年发展起来 的矩阵方法的矩阵方法 数学模型较复杂。数学模型较复杂。薛定谔方程是量子力学的最基本方程；薛定谔方程是量子力学的最基本方程；不是经
2、过严格的推导而获得的；不是经过严格的推导而获得的；它是用试探方法找到的或者说是它是用试探方法找到的或者说是“猜猜”到的。到的。特点特点： 既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性，式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性，最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为:0( , )cos()r tk rt 若用复数表示为：若用复数表示为：()0( , )i k rtr te 2 ppkh2h若用粒子动量和能量若用粒子动量和能量,pk E则自由粒子
3、的则自由粒子的波函数可写为波函数可写为0( , )exp()ir tp rEt 对波函数的要求对波函数的要求 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有()()/00( , )eiti p x Ethte k xx23( , ) d1VtXx23( , ) dVtXAx23( , )d1VtXAxA1归一化因子几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化或者一般波函数可以写为或者一般波函数可以写为波函数的归一化条件由于几率总是相对的，该积分也可等于常数A对于上述积分不等于1的波函数可进行“归一
4、化”事实上，归一化并非总是需要的，而且有些波函数事实上，归一化并非总是需要的，而且有些波函数不能归一化，例如，不能归一化，例如，单色波单色波或或自由粒子自由粒子，由于它们，由于它们在空间各处的几率都相等，因而有：在空间各处的几率都相等，因而有：22()0( , )i K rtVx tdXedX 20dX1）自由粒子的薛定谔方程）自由粒子的薛定谔方程（或者单色平面波的薛定谔方程）22hEh ()()/00( , )eeitiEtt k xp xx(,)xyzxyzxeee(,)x xyyzzkkkkeee(,)x xy yz zppppeee位矢位矢波矢波矢粒子的动量粒子的动量波函数波函数对波函
5、数进行一系列微分运算22hhpk 利用粒子的能量和动量表达式利用粒子的能量和动量表达式若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念。我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念。()()/00( , )itiEttee k xp xx()0( , )( , )( , )itteiitEttt k xxxx()0( , )( , )( , )itxxteiiktptxx k xxxx2( , )()( , )xxtiiipptxxx xx2222( , )( , )xtptxxx对
6、波函数对波函数进行时间微分进行时间微分再对坐标变量进行微分再对坐标变量进行微分有有再一次对坐标变量求微分，有再一次对坐标变量求微分，有即即2222( , )( , )ytptyxx2222222222 ( , ) ( , )xyztppptxyzxx222( , )( , )( , )22kpttEtmmxxx2222( , )( , )ztptzxx同理同理用微分算符表示为用微分算符表示为其中其中2222222xyz 2222xyzpppp22kpEm粒子的动能粒子的动能拉普拉斯算符拉普拉斯算符22( , )( , )2tittm xx( , )( , )( , )ktiEtEttxxx自由
7、粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程 由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动能，即能，即22kpEEm所以所以P53, 2.3.5式2( , )2kppEEEVtmx22( , )( , ) ( , )2tiVtttm xxxEiti p对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能22( , )2Vtm x哈密顿算符哈密顿算符哈密顿量哈密顿量2）势场）势场(外场外场)中粒子的薛定谔方程中粒子的薛定谔方程力学量算符力学量算符222kEm 重复上述计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程重复上述
8、计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程其中其中22( , )( , ) ( , )2tiVtttm xxx方程物理意义的讨论：方程物理意义的讨论：1 1）描述了一个质量为）描述了一个质量为m m的粒子，在势场中随时间变化运动状态。的粒子，在势场中随时间变化运动状态。由于方程只含有一次微商，也就是说只要由于方程只含有一次微商，也就是说只要t=ot=o的初始状态给定，的初始状态给定，此后任意时刻的状态就可完全确定。此后任意时刻的状态就可完全确定。2 2）薛定谔波动方程）薛定谔波动方程揭示了揭示了微观世界中物质运动的基本规律，微观世界中物质运动的基本规律，提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的
9、基本理论。提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的基本理论。3 3）方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系，其因果关）方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系，其因果关系的系的实际含义与经典力学不同实际含义与经典力学不同：方程中含有虚数方程中含有虚数i ,i ,对时间的微商是一阶导数，所以对时间的微商是一阶导数，所以由方程求解出的由方程求解出的波函数一定是复数波函数一定是复数。众所周知，有实际物理意义的物理量均是由实数来表众所周知，有实际物理意义的物理量均是由实数来表示的，而量子力学波函数其本身其实不代表具有什么示的，而量子力学波函数其本身其实不代表具有什么物理意义。但是它的绝对值平方是实数
10、，它具有非常物理意义。但是它的绝对值平方是实数，它具有非常明确的物理意义：明确的物理意义： 它代表它代表粒子在空间出现的概率密度粒子在空间出现的概率密度。( , )( ) ( )tuf txx22d ( )( )( )( ) ( ) ( )d2f tiuuVuf ttm xxxx如果势能函数不含时间，即对于定态如果势能函数不含时间，即对于定态势能势能场，则有场，则有( , )( )VtVxx势场中粒子的薛氏方程，利用分离变量法，波函数可写成势场中粒子的薛氏方程，利用分离变量法，波函数可写成 3）定态薛定谔方程）定态薛定谔方程22( , )( , ) ( , )2tiVtttm xxx薛定谔方程
11、变为：薛定谔方程变为：把上式代入把上式代入其目的是通过处理简单的波动方程获得对量子现象的具体而直观的理解。221d ( )1( )( ) ( )( )d( )2f tiuVuf ttumxxxx1d ( )( )df tiEf tt/( )iEtf tCe22( ) ( )( )2VuEum xxx/( , )( )iEttuexx定态薛定谔方程定态薛定谔方程或哈密顿方程或哈密顿方程 P54 2.3.12式方程的解方程的解进一步整理后，薛定谔方程可以写成：进一步整理后，薛定谔方程可以写成：方程的左端只是时间方程的左端只是时间t的函数，与的函数，与x完全无关。而右端只是完全无关。而右端只是x的函
12、数，因此的函数，因此方程两端必须等于一个不依赖于方程两端必须等于一个不依赖于t和和x的常数，等式才能成立。设其为的常数，等式才能成立。设其为E方程左端为：其解为其右端 22( ) ( )( )2VuEum xxx定态薛定谔方定态薛定谔方程的物理意义程的物理意义：1.）方程求得的波函数描述的状态是定态。而波函数的指数项方程求得的波函数描述的状态是定态。而波函数的指数项是一个随时间振荡的函数，其频率为是一个随时间振荡的函数，其频率为 ，由此可知，与，由此可知，与粒子相关粒子相关物质波物质波的的频率频率是由粒子的是由粒子的总能量总能量E决定的。决定的。 表明：表明：处于定态的粒子总能量是不随时间变化
13、的。处于定态的粒子总能量是不随时间变化的。E2.）因为因为 ，状态的几率密度：，状态的几率密度：2exp1iEt( , )( , )( )( )x tx tuxu x只取决于只取决于u(x)，也就是说只与坐标位置有关，而与时间无关。，也就是说只与坐标位置有关，而与时间无关。 表明：表明：粒子出现在空间的概率密度分布是不随时间变化的粒子出现在空间的概率密度分布是不随时间变化的。 这些均是定态的主要特征这些均是定态的主要特征！此为定态的特征/( , )( )iEt hx tu x e 数学上数学上，对于常数，对于常数E的任意值，方程的任意值，方程都应该有解，但并都应该有解，但并不是所有的数学解都有
14、物理意义。不是所有的数学解都有物理意义。为什么？为什么？ 物理上物理上，波函数的绝对值平方表示粒子出现在空间某一，波函数的绝对值平方表示粒子出现在空间某一处的几率密度，因此只要满足处的几率密度，因此只要满足单值性单值性、连续性连续性和和有限性有限性，这三个条件的波函数才能满足物理上的要求，或者说才这三个条件的波函数才能满足物理上的要求，或者说才有实际的物理意义。有实际的物理意义。22( ) ( )( )2VuEum xxx2.4 力学量的平均值、算符表示和本征值力学量的平均值、算符表示和本征值 上述的讨论可知，如果对于像原子这类的一个微观系统，上述的讨论可知，如果对于像原子这类的一个微观系统，
15、如果能写出它的薛定谔方程，原则上我们就可以求出该系如果能写出它的薛定谔方程，原则上我们就可以求出该系统的波函数，从而得到粒子在空间任一位置出现的几率和统的波函数，从而得到粒子在空间任一位置出现的几率和系统其它特征力学量的性质。系统其它特征力学量的性质。 在波函数所描述的状态下，虽然不是全部的力学量都能给在波函数所描述的状态下，虽然不是全部的力学量都能给出确定的观察值，但它们都会有确定的几率分布，或者说出确定的观察值，但它们都会有确定的几率分布，或者说都会有确定的平均值。都会有确定的平均值。 如何由波函数来计算我们所研究的体系中力学量的如何由波函数来计算我们所研究的体系中力学量的平均值平均值 量
16、子力学中的平均值量子力学中的平均值也称之为也称之为期望值。期望值。一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示 对波函数做某一数学运算，就是用某一算符作用于波函数，对波函数做某一数学运算，就是用某一算符作用于波函数，等效于用某一力学量乘以波函数等效于用某一力学量乘以波函数( , )( , )x tiEx tt( , )ix tp( , )( , )xx tipx tx22( , )( , )2ktEtmxx所以在对波函数的计算中，可以将算符等效于力学量所以在对波函数的计算中，可以将算符等效于力学量tiE ipkEm222能量算符动量算符动能算符常见力学量对应的算符常见力学量对应的算符22( )2E
17、VHm x( )( )VVxx xxi p1）位置矢量对应的算符：）位置矢量对应的算符：2）只与坐标有关的势能算符）只与坐标有关的势能算符：3）动量算符：）动量算符：4）动能算符：）动能算符：222kTEm 5）能量算符（哈密顿量）：）能量算符（哈密顿量）：就是其自身就是其自身HTV角动量算符：它是位矢与动量的函数角动量算符：它是位矢与动量的函数rvzLxyz Lrp)( irL xzyLypzp()yxzLzpxpizxxz ()zyxLxpypixyyx iLzsin1)(sinsin122222L在直角坐标系中在直角坐标系中()iyzzy 在球坐标系中在球坐标系中二、力学量的平均值二、力
18、学量的平均值 如果如果(x)为粒子的波函数，为粒子的波函数，|(x)|2表示粒子在表示粒子在x处出现的几率，处出现的几率，即粒子的位置值等于即粒子的位置值等于x的几率。则的几率。则x的平均值的平均值( (一维) )为：为：2|( )| d( )( )d( )( )dxxxxx xxxx xxx( )( )dx xxx1）势能的平均值）势能的平均值 粒子的势能由其位置决定，可以仿照粒子的势能由其位置决定，可以仿照平均值位置平均值位置的方法，其的方法，其势能等于势能等于V(x)的几率，就是粒子在的几率，就是粒子在X出现的几率为出现的几率为|(x)|2，则，则V(x)的平均值为：的平均值为： 2(
19、)|( )| d( )( )d( )( )dVV xxxx Vxxx Vxx 经典力学中可以把动量表示成位置和时间的函数，但在量经典力学中可以把动量表示成位置和时间的函数，但在量子力学中，由于子力学中，由于“波粒二象性波粒二象性”的存在，其动量和波长是的存在，其动量和波长是相互联系的，而测不准原理表明，动量和位置不可能同时相互联系的，而测不准原理表明，动量和位置不可能同时有确定的值。粒子的动量在有确定的值。粒子的动量在(p,p+dp)的几率，不能直接用的几率，不能直接用(x)描述。描述。 通常我们只有知道通常我们只有知道p的的几率分布函数几率分布函数(p)，才能计算动量，才能计算动量p的的平均
20、值。从平均值。从“波粒二象性波粒二象性”角度看，将粒子看成波，所以角度看，将粒子看成波，所以(p) 表示表示非单色波非单色波中，波长值为中，波长值为=h/p的成分的的成分的几率幅几率幅，实，实际就是波长为际就是波长为的的单色成分的振幅（称之为单色成分的振幅（称之为谱密度谱密度）。）。2）动量的平均值）动量的平均值 (x) 表示粒子（即波包）在位置空间的几率幅（复振幅）表示粒子（即波包）在位置空间的几率幅（复振幅） 波包波包(x)就是就是一系列振幅为一系列振幅为(p)的不同波长的单色波叠加结果的不同波长的单色波叠加结果。 对于连续分布的动量或波长，上式可以用积分表示，即对于连续分布的动量或波长，
21、上式可以用积分表示，即/( )( )eik xxa/33/21( )( )ed(2)ip xxpp/33/21( )( )ed(2)ip xpxx其傅里叶反变换即为动量的波函数其傅里叶反变换即为动量的波函数2khp/()eip xp由于由于非单色波非单色波是不同波长成分的叠加，即是不同波长成分的叠加，即由于a()是波长为的单色成分的振幅，也就是动量为P的粒子几率幅。傅里叶变换其动量其动量p的平均值的平均值 可以根据动量的几率可以根据动量的几率( )( )dpp ppp()()ppp/1 21( )( )(2)ipx hxpppx edx dp1/2/(2)( )ed dipxppxp来计算，即
22、来计算，即/1/2(e)(2)( )dipxxpidpxpx1/2/(2)( )()d dipxeixpxp1/2/(2)( )ed ()dipxix ppx()dixx dpxpiix 分部分部积分积分P56式3 . 4 . 2 dxppx222Tdxm 22d2VEdxmH x同理，对于动能同理，对于动能 的平均值：的平均值：从推导过程可以看出：求动量从推导过程可以看出：求动量P的平均值，只需要用动量算符的平均值，只需要用动量算符 作用于波函数作用于波函数 ，然后利用下式计算即可，然后利用下式计算即可22Tpm粒子总能量粒子总能量 的平均值：的平均值：22EpmV ip )(x通常情况下，
23、粒子的任一个力学量通常情况下，粒子的任一个力学量A A的平均值可以直接写为：的平均值可以直接写为：22d2VExmHd x3dAAx粒子总能量粒子总能量 的平均值：的平均值：22EpmV式中式中222VmH 哈密顿算符哈密顿算符A就是就是A的力学量算符的力学量算符3）本征函数与本征值）本征函数与本征值HH2(, )2pEVtmx22( ) ( )( )2VEm xxx22( , )2VtHm x( )( )HExx( ):x算符算符 的本征函数的本征函数算符算符 的本征值的本征值:E求解定态薛定谔方程，就是求解：求解定态薛定谔方程，就是求解：哈密顿算符哈密顿算符哈密顿量哈密顿量哈密顿方程或哈密
24、顿方程或称为称为算符算符 的本征方程的本征方程定态方程可以表示为定态方程可以表示为H 一个算符一个算符Af,fg,Afggf 只差一常系数 ，即Aff此式就是一个本征值方程。此式就是一个本征值方程。称为算符称为算符 的的本征函数本征函数，称为函数称为函数f关于算符关于算符 的的本征值本征值。通常本征值是一组数，因而通常本征值是一组数，因而也称为也称为本征值谱本征值谱。从而有从而有AA哈密顿方程是一个本征（值）方程。定态函数哈密顿方程是一个本征（值）方程。定态函数 是算符是算符 的的本征函数。本征函数。E是波函数是波函数 的能量本征值的能量本征值 。下式。下式 H)()(xExH粒子能量的本征值
25、方程粒子能量的本征值方程有gf作用就是就是 对于其它的力学量，也可以列出相应的本征值方程，求得相对于其它的力学量，也可以列出相应的本征值方程，求得相应的本征函数和本征值。例如应的本征函数和本征值。例如vpvp22uL uL iLzzzL uL usin1)(sinsin122222Li p动量动量角动量角动量其中其中v是动量是动量p的本征函数的本征函数其中其中u是角动量是角动量L的本征函数的本征函数u同时也是同时也是Lz的本征函数的本征函数 关于薛定谔方程的说明：关于薛定谔方程的说明：1 1）它是线性微分方程。意味着作为它们解的波函数或概率幅）它是线性微分方程。意味着作为它们解的波函数或概率幅
26、度都满足叠加原理，这也是量子力学第一原理所要求的。度都满足叠加原理，这也是量子力学第一原理所要求的。2 2）从数学观点，对任何能量）从数学观点，对任何能量E的值，上式都有解，但并非对所的值，上式都有解，但并非对所有有E值的解都满足物理上的要求值的解都满足物理上的要求, ,即受到如下限制：即受到如下限制：222d( ) ( )( )2dV xxExm x222( , )2V x timxt一维情形一维情形含时不含时a)a)在整个空间连续。因为在实际的物理问题中，找到粒子的概在整个空间连续。因为在实际的物理问题中，找到粒子的概率不可能发生突变。率不可能发生突变。b)b)在整个空间单值。如果在空间某
27、点在整个空间单值。如果在空间某点(r)(r)有两个以上的值，则有两个以上的值，则在该点找到粒子的概率就会有多个不同的值，显然不符合实在该点找到粒子的概率就会有多个不同的值，显然不符合实际情况。际情况。C)C)在整个空间有限。因为找到粒子的概率在整个空间有限。因为找到粒子的概率不可能不可能等于无穷大。等于无穷大。d)d)该方程本身还要求该方程本身还要求(r)(r)对空间坐标的一阶偏导数是连续的。对空间坐标的一阶偏导数是连续的。 因此，对于作为有物理意义的波函数，这些解必须是因此，对于作为有物理意义的波函数，这些解必须是单值单值、有限的有限的和和连续的连续的。 这些条件称之为波函数的这些条件称之为
28、波函数的标准条件标准条件。令人惊奇的是：令人惊奇的是： 薛定谔方程的重要性，不仅是在给定条件下，可解出描述粒薛定谔方程的重要性，不仅是在给定条件下，可解出描述粒子状态的波函数，而且依据标准条件，由方程子状态的波函数，而且依据标准条件，由方程“自然自然”的就的就可以得到微观粒子的重要特征可以得到微观粒子的重要特征能量能量量子化量子化条件。条件。 而量子化条件在普朗克和波尔那里都是而量子化条件在普朗克和波尔那里都是强加给强加给微观系统的。微观系统的。 作为量子力学基本方程的薛定谔方程，还给出微观系统的许作为量子力学基本方程的薛定谔方程，还给出微观系统的许多其他多其他特异的性质特异的性质。由此可见，
29、在某些情况下由于上述条件对波函数的限制，只有由此可见，在某些情况下由于上述条件对波函数的限制，只有当能量当能量 E E 等于等于某些特殊值时某些特殊值时薛定谔方程才有解。薛定谔方程才有解。这些特殊的这些特殊的E E值称为值称为本征值本征值；与本征值对应的波函数称之为与本征值对应的波函数称之为本征函数本征函数。 此外，此外， 表示在表示在 体积元中找到粒子的概率，体积元中找到粒子的概率，所以在整个空间找到粒子的概率等于所以在整个空间找到粒子的概率等于1 1，即，即 dVdV1dV 此式称之为此式称之为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件。凡是满足该条件的函数均称为凡是满足该条件的函数均称为归一
30、化波函数。归一化波函数。 薛定谔方程的建立过程是一种创造性的思维方式，它说明：薛定谔方程的建立过程是一种创造性的思维方式，它说明： 思维得出的结论正确与否，主要思维得出的结论正确与否，主要不是不是靠它的靠它的“来源来源”，而是而是靠它的靠它的预言预言和和大量事实或实验结果大量事实或实验结果相符来证明的。相符来证明的。 普朗克的量子概念、爱因斯坦的相对论、德布罗意的物质波普朗克的量子概念、爱因斯坦的相对论、德布罗意的物质波等思维方式的结果，正是最好的历史和科学见证。等思维方式的结果，正是最好的历史和科学见证。 薛定谔把它应用到氢原子中的电子，不但与已知的实验结果薛定谔把它应用到氢原子中的电子，不
31、但与已知的实验结果完全相符，而且与解释氢原子的波尔理论非常合理和完全相符，而且与解释氢原子的波尔理论非常合理和“顺畅顺畅” 经过经过波恩波恩、海森伯海森伯、狄拉克狄拉克等诸多物理学家努力和完善，短等诸多物理学家努力和完善，短短几年的时间就建成了一套完整的和短几年的时间就建成了一套完整的和经典理论经典理论完全不同的完全不同的量量子力学理论子力学理论。2.5 定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例 定态薛定谔方程定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件问题，就是求解势能不随时间改变条件下的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程下的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程( )( )HExx222d(
32、) ( )( )2dV xxExm x在一维条件下在一维条件下求解微分方程，需要利用一定的边界条件求解微分方程，需要利用一定的边界条件求出本征函数求出本征函数的表的表达式和本征值达式和本征值E的数值的数值目的：目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其 物理意义物理意义1、一维简谐振子势、一维简谐振子势 势能势能22211( )22V xkxmx)(xVx2222d( )1( )( )2d2xkxxExmx, x 作变量代换，令待定常数，方程化为2222224d20dmEmk 222222d2d2kEm 势能函数是一条抛物线哈密顿方程为：哈密顿方
33、程为：谐振子势能为V(x)、质量为m的粒子mk142mk令211mk22222mEEmEkkm222d0d 有解时当,12 n212( )( )ennH由于由于待定待定，2222224d20dmEmk变系数的常微分方程谐振子的角频率方程化为方程化为212( )( )ennH( ):nH厄米多项式22d( )( 1) eednnnnH , 2 , 1 , 0n11( )HA00( )HA222( )(1 2)HA333( )(32)HA2444( )(3 124)HA3555( )(15204)HA其通式为：其通式为：前前5 5个厄米多项式为：个厄米多项式为：（阶）（阶）()=A1e-1/22n
34、=1n=3n=0()=A0e-1/22n=2n=5n=4偶函数奇函数波函数的空间波函数的空间对称是偶性的对称是偶性的，就称宇称是偶就称宇称是偶性的性的偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称波函数的图形波函数的图形)()(xx12 n1()2nEn)(xVx2 E零点能零点能 所以谐振子的能量本征值为所以谐振子的能量本征值为:0n1n2n3n4n2123252729由由01122Eh谐振子的角频率谐振子的角频率km谐振子的能量是等间隔的分立能级，谐振子的能量是等间隔的分立能级，而且量子数而且量子数n取最小值取最小值0时，谐振子的能时，谐振子的能量并不为并不为0。这也意味着，这也意味着，量子束缚态的量子束缚态的
35、动能不可能为零动能不可能为零，与经典的情况不相同！与经典的情况不相同！这是波粒二象性的这是波粒二象性的表现，它满足不确表现，它满足不确定关系的要求！定关系的要求！谐振子的几率分布谐振子的几率分布 212Ukx212Ukx20()21() 22() 23() 24()25()212Ukx在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零微观粒子运动的特点：微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。这在经典理论看来是不可能出现的！这在经典理论看来是不可能出现的！ 物理意义：物理意义：1）量子谐振子的
36、能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级的间距为的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。能量本征值只能取一些不连续的值。2）最低能态的总能量（或称之为）最低能态的总能量（或称之为零点能零点能）为：）为：01122Eh3）位于谐振子势井中的质点，）位于谐振子势井中的质点， 量子力学量子力学的结果：当的结果：当n=0时，在时，在x=o处粒子处粒子出现的几率最大出现的几率最大。 经典力学经典力学则认为：当则认为：当n=0时，在时，在x=o处粒子处粒子出现的几率最小出现的几率最小。 当量子数当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致！很大时与经典力学的结
37、果趋于一致！当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐振动或晶体点阵上的原子振动处于基态对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着量子的束缚态是不可能为零的。量子的束缚态是不可能为零的。例题例题1： 设想一个质量为设想一个质量为m=1g的小球，悬挂在一个小轻的小球，悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为弹簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数的简谐振动。弹簧系数为为k=0.1N/m。按量子理论计算：。按量子理论计算： 1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？ 2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？ 例题例题2 2： HCL气体能强烈吸收波长为气体能强烈吸收波长为3.465um的红外辐射。的红外辐射。这是这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结果。分子振子吸收入射光子能量的结果。 求：求： 1）振子的振动频率；）振子的振动频率； 2）绝对零度时一摩尔）绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。气体的总振动能量。
