1、数学实验 从一些奇妙上海交通大学数学科学学院 图象谈分形 今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。 约翰惠勒 分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。 周海中海岸线有长度吗？海岸线有长度吗？Mandelbrot.B 开创了分形几何（fractal 1967年的论文：“英国海岸线的长度不确定” geometry）的研究(刊于 Science )Richardson 曾经指出过：不同尺度测量海岸线，长度随测量尺度变化 新几何学处理自然界中极不规则的构型Mandelbrot
2、.B 其人其人 华沙（1924）巴黎（1936）美国（1958） 不正规的教育：善于以图形化方法思维，进入法国高师法国高工IBM哈佛(经济学)、耶鲁大学(工程学)据说背字母表困难 特别关注几何形状和“不规则”形状艺术与科学学院和国家科学院院士） 这样图形存在激励我们去探索那些被认为无形状可言的、无定形的形态。而数学家却蔑视这挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的东西无关的理论，却回避大自然提出的问题 自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有的实际情况下都是无限的 自然界的许多图形是如此不规则和支离破碎，以致与欧几里德相比，它不只具有较高程度的复杂性，而且有完全不同层次上的复杂度 为什么几
3、何学被认为冷酷无情和枯燥无味，它无力描写云彩、山岭、海岸线或树林Koch 雪花曲线雪花曲线设E0为单位直线段三等分后，中间一段用与其组成等边三角形的另两边代替，得到E1对E1的4条线段的每一条重复以上做法，得到E2以此方法重复，可得En当n 趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线koch曲线 自相似性 精细结构：复杂性不随尺度减小而消失 处处不光滑，每一点是尖点 长度：En的长度(4/3)n趋于无穷 本身定义方式简单Koch 曲线的特点 这封闭的Koch曲线长度无限而所包含的面积却有限问题问题Koch曲线在有限区域内长度无限，它是否一维的？Koch 三分岛单参数的函数曲线是一维的吗？设 是
4、平面上边长为1/2的正三角形，构造 fnf1f2f3以此方式得到 fn ，在0,1一致收敛到极限函数 f的象将为整个三角形 （1）具有无限嵌套层次的精细结构（2）在不同尺度下具有某种相似特性海岸线与Koch曲线有相似特点自然界有大量这类曲线或几何图形Mandelbrot提出 它们的维数可以用分数来描述：反映曲线的弯曲程度和填充能力 经典维数的观点是一种可操作观点（苍蝇与羊毛球的例子）分形维数分形维数将单位边长的线段，正方形，立方体分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23个小线段，正方形，立方体注意指数给出了几何物体的维数若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r，定义分形维数得到N个相
5、似小几何物体，那么维数d满足N=r dd=logN/log rKoch曲线的维数？约1.2618分形的数学实例Cantor 集Sierpinski集合从单位区间0,1出发，三分去中段，得E1，E1两个区间三分去中得E2 ，极限集合为Cantor集数学名例：完备，完全不连通，长度0自相似，精细结构，简单定义三角形四等分去中间小三角形所得极限图形维数？Sierpinski三角形三角形Sierpinski 海绵Weierstrass 函数W(x) = (s2)ksin(kx) , 1,1 s M2 则将迭代所有点用其它第m(modK)种颜色显示-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.50
6、0.511.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.5选择一个局部-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05前面局部的放大自相似性精细结构实验任务实验任务1. 选择制作课程内介绍一个分形的图形3. 谈谈你所认识的分形2. 自己设计一个分形的图形的制作(任务1，2，3均为必做)非线性现象非线性现象p 混沌(Chaos)：是一种源自于（非线性的）决定性规 律的无序状态。它的最大特点是具有高度初值敏感 性，无论多么微小的微扰，在足够长的时间后都会 使系统彻底的偏离原来的状态。大气就是典型的混 沌系统，因而长期天气预报是不可能的。非线性现象非线性现象非线性现象非线性现象p 分形（Fractal)：分形的突出特征是自相似性。在 晶体生长及DNA复制过程中，都会遇到分形生长。非线性现象（续）非线性现象（续）p 孤立子(Soliton):孤立子是一种非线性效应，它能够 保持其速度和形状长时间传播。孤立子理论在光纤 通信、蛋白质和DNA作用机理，以及弦论中都有重要 应用。http:/ !
