1、l 重点重点：1.1.无失真传输无失真传输2.2.理想滤波器理想滤波器第第5 5章章 傅里叶变换应用于通信系统傅里叶变换应用于通信系统 滤波、调制与抽样滤波、调制与抽样5.2 利用系统函数利用系统函数H ( j)求响应求响应拉氏变换拉氏变换傅氏变换傅氏变换S = j（有条件）（有条件）H(s)E(s)R(s)R(s) = E(s) H(s)h(t)激励激励e(t)响应响应r(t)r(t) = e(t) * h(t)H(j)E(j)R(j)R(j) = E(j) H(j)在时域中在时域中( )( )( )y th tf t(j )(j ) (j )YHF其中：其中：H(j ) = FTh(t)
2、称频域系统函数称频域系统函数 则则 h(t) = IFTH(j )称时域冲激响应称时域冲激响应(j )H也称系统的频率响应。也称系统的频率响应。(j )H( ) 称为幅频特性，称为幅频特性，称相频特性。称相频特性。j()(j)()(j) e(j)YHjHF 激励的频谱激励的频谱响应的频谱响应的频谱一、一、 周期性信号的稳态响应周期性信号的稳态响应在频域中在频域中设激励设激励 f (t) = e j tjj()jjj( )( ) e( )ede( )ed(j )ettzsttyth thhH式中式中 为为h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，j(j )( )edHh则系统零状态响应为则系统零状态响
3、应为可见，系统的零状态响应可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励是等于激励ej t 乘以乘以加权函数加权函数H(j )，此加权函数，此加权函数H(j )即为频域系统即为频域系统函数，亦即为函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。！(j )(j ) (j )YHF00)()()(000jeAjH)()()()(00AjFtfF正弦周期激励正弦周期激励 f (t) = A cos (0t)求系统零状态响应求系统零状态响应 y ( t ) )()()(00AjH)()()()(0000jHjHA)()()(00000jjeeAjH000( )(j)cos()y tHAt所以所以(j )
4、H设系统的频率响应设系统的频率响应 为为例例 1.5020(j )020H( )60 ( )2cos(1090 )5cos(25120 )f ttt ( )y t若输入信号若输入信号求系统响应求系统响应因此系统响应为因此系统响应为 )3010cos(3)(tty因为因为 故响应故响应 y2 ( t ) = 00)25(jH202( )5cos(25120 )f tt对于对于作用于系统时，作用于系统时，1( )(j10) 2cos(109060 )3cos(1030 )y tHtt1( )2cos(1090 )f tt用叠加定理：用叠加定理：作用于系统时作用于系统时解解例例 正弦波通过正弦波通过
5、RCRC电路电路)(tfRC)(ty( )cos100cos3000f ttt求系统响应求系统响应 y ( t ) 221/(j )(1/)RCHRC幅频特性幅频特性( )tan()arcRC 相频特性相频特性系统函数为系统函数为(j )1/(j)11/(j )(j )1/(j)j1j1/YCRCHFRCRCRC解解 带宽B = 1/RC设B = 1000 rad/s即= RC = 0.001b=0 1000; a=1 1000; % 生成向量b，ah,w=freqs(b,a,0:5000); % 求系统频响特性h1=abs(h); % 求幅频响应h2=angle(h)*180/pi; % 求
6、相频响应subplot(211); plot(w,h1);gridxlabel(角频率w(rad/s) ); ylabel(幅值H(jw);subplot(212); plot(w,h2);gridxlabel(角频率w(rad/s); ylabel(相位(度);画画RC电路频响特性波形图电路频响特性波形图MATLAB源程序为：源程序为：程序运行结果如图所示。程序运行结果如图所示。 用用MATLABMATLAB画出的幅频和相频特性图画出的幅频和相频特性图截止频率截止频率(j100)0.995H(100)5.71 100当当rad/s时时( )0.995cos(1005.71 )0.316cos
7、(300071.6 )y ttt 所以，系统响应为所以，系统响应为 (j3000)0.316H(3000)71.6 3000当当rad/s时时 用用MATLAB画出的输入和输出波形画出的输入和输出波形某线性非时变系统的幅频响应某线性非时变系统的幅频响应|H(j )|和相频响应和相频响应 ( )如图如图所示。若激励所示。若激励 , 求该系统的响应求该系统的响应y(t)。11( )1cosnf tntn ( ( ) ) -2-22 20 0- - | |H(j )| 2 2-2-22 20 0解解111( )1cos1 coscos22nf tntttn 1(j )2 ( ) (1)(1) (2)
8、(2)2F 信号通过系统后，其响应的频谱为：信号通过系统后，其响应的频谱为：j()j2j2(j)(j)(j)|(j)|(j)e4 ( ) (1)(1)e4 ( ) (1)(1)eYHFHF ( )2cos()2sin2y ttt傅里叶反变换即可得傅里叶反变换即可得因为当|2时， |H(j)| = 0；所以|2激励的F(j) 中的各项冲激频谱如(+2)+(-2)被系统|H(j)|滤掉。非正弦周期信号激励时的响应非正弦周期信号激励时的响应 由于这类计算通常比较烦琐，由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用因此最适合用MatlabMatlab来计算。来计算。 nnFjnHY)(1输出信号的频谱为输出信
9、号的频谱为ntjnnntjnneYeFjnHty11)()(1输出信号的响应为输出信号的响应为输入信号的频谱为输入信号的频谱为 RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。所示。求系统响应。解解其中，T1=2，基波频率1=2/T1 =，=1因此，有0.5()0,1,2,2nnFSan( )f t2t0.5o210.51/(j )j1/RCHRCRC电路的频率响应为()0,1,2,2nnFSanT1T1RC 电路的频率响应为电路的频率响应为1/(j )j1/RCHRCntjnnntjnneYeFjnHty11)()(1系统响应为系统响应为25
10、 . 011)()(1nSaRCjnRCFjnHFjnHYnnn输出信号的频谱为输出信号的频谱为因此因此RCjnRCjnHjnH11)()(1RC电路输出的幅度频谱电路输出的幅度频谱 RC电路输出的时域波形电路输出的时域波形 频域分析方法的求解步骤为：频域分析方法的求解步骤为：1、先求出输入信号的频谱、先求出输入信号的频谱F(j )和频域系统函数和频域系统函数H(j )2、由于、由于y(t) = h(t) f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有变换的时域卷积性质，有 Y(j ) = H(j ) F(j ) 3、将、将Y (j )进行傅里叶
11、反变换就得到进行傅里叶反变换就得到 y(t)二、二、 非周期信号通过线性系统的零状态响应非周期信号通过线性系统的零状态响应补充补充RC电路，若输入信电路，若输入信号为矩形脉冲波如图号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。所示。求系统响应。( )f tt0.5o10.5矩形脉冲波矩形脉冲波输入信号的频谱为输入信号的频谱为(j )()2FSa解解RC电路的系统函数为电路的系统函数为1/(j )j1/RCHRC因此，输出频谱为因此，输出频谱为1/(j )(j ) (j )()j1/2RCYHFSaRC因为因为j0.5j0.5121( )()sin()(ee)22jG tSa令令1/RC = a，可得，可
12、得j0.5j0.51(j)(ee)jjaYaj0.5j0.511 (ee)jjaj0.5j0.5j0.5j0.511(ee)(ee)jja(0.5)(0.5)1 e (0.5) 1 e (0.5)a ta tu tu t5 . 05 . 05 . 05 . 01)(21jjjjeeajeej0)(25 . 05 . 0jjee式中：(0.5)(0.5)( ) (0.5)(0.5) e(0.5) e(0.5)a ta ty tu tu tu tu t用用MatlabMatlab画出的输出信号的频谱如图所示画出的输出信号的频谱如图所示图中画出了带宽的两种情况图中画出了带宽的两种情况RC电路输出的幅
13、度频谱电路输出的幅度频谱RC电路输出的时域波形电路输出的时域波形 由于由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。减，故输出波形不能迅速变化。 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。律逐渐上升和下降。 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。形相比，失真减小。结结论论)(th(j )H)(tf)()()(tfthtyzs(j )F(j )(
14、j )(j )zsYHF傅里叶变换傅里叶反变换在如图所示系统中，在如图所示系统中，f(t)为已知激励为已知激励 ， 。求零状态响应求零状态响应 y(t)。1( )h tt1jsgn( )t 即有：即有：H(j ) = F h(t) = -j sgn( )故得：故得：Y(j ) = H(j ) F(j ) = -j sgn( ) -j sgn( ) F(j ) = -sgn( ) sgn( ) F(j ) = - -F(j )所以：所以：y(t) = - f(t) 可见此系统为一反相器。可见此系统为一反相器。22sgn,:2sgn()2sgn( )jjtt 根据对偶性根据对偶性设设 f(t) F
15、(j )解解f(t)y(t)为起始频率，为起始频率，b12,mbbba12,na aa12:p12ph1 1h=freqs(b,a,w) h=freqs(b,a,w) 式中式中对应于式对应于式(3-159)(3-159)中的向量中的向量，对应于式（对应于式（3-1593-159）中的向量）中的向量使用形式如使用形式如为终止频率，为终止频率，为频率取样间隔。向量为频率取样间隔。向量返回在频率向量返回在频率向量上的系统函数样值。上的系统函数样值。，w w为频率取值范围，为频率取值范围，2 2h,w=freqs(b,a) h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围该调用格式将计算默认
16、频率范围 内内200200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量h， 200200个频率点记录在个频率点记录在w w中。中。三、三、 MATLAB仿真实现仿真实现4freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样值，而该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。3h,w=freqs(b,a,n) 该调用格式将计算默认频该调用格式将计算默认频率范围内率范围内200200个频率点的系统函数样值，并赋值个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量给返回变量h，个频率点记录在个
17、频率点记录在w w中。中。n试用试用MATLAB的的freqs()函数函数求解该系统频率响应并绘图。求解该系统频率响应并绘图。0.8HL 0.1FC 2R ，右图是常见的用右图是常见的用RLC元件元件构成的某系统电路。设构成的某系统电路。设例例 RLCRLC二阶低通滤波器电路图二阶低通滤波器电路图21(j )1jHLLCRj ()21(j )(j ) e0.08(j )0.4j1HH 241(j )10.08H20.4( )arctan()1 0.08 根据原理图，容易写出系统的频率响应为：根据原理图，容易写出系统的频率响应为：式中，式中，(j )H将将R R、L L、C C的值代入的值代入的
18、表达式，得：的表达式，得：解解b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，ah,w=freqs(b,a,100); % 求系统频响特性h1=abs(h); % 求幅频响应h2=angle(h); % 求相频响应subplot(211); plot(w,h1);gridxlabel(角频率(w); ylabel(幅度);title(H(jw)的幅频特性);subplot(212); plot(w,h2*180/pi);gridxlabel(角频率(w); ylabel(相位(度);title(H(jw)的相频特性);MATLABMATLAB源程序为：源程序为：程序运行结果如图所
19、示。程序运行结果如图所示。RLCRLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性5.3 无失真传输概念无失真传输概念l无失真传输无失真传输指输出信号与输入信号只是指输出信号与输入信号只是大小和出现的时间不同，而大小和出现的时间不同，而其波形形状相同。其波形形状相同。0 x(t)t系统系统)(tx)( y t0y(t)tt01K即：即：y(t) = K x ( t - t0 )无失真传输系统的频率响应为无失真传输系统的频率响应为： 1 1幅频特性幅频特性 在整个频率范围内为一常数，在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；即系统的带宽为无穷大；2 2相频特性在整个
20、频率范围内为一通过原点的直相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为线，其斜率为 。(j )H0t可看出可看出, ,无失真传输系统在频域应满足的条件为：无失真传输系统在频域应满足的条件为：失失真真分分类类 若若系统输出响应中出现有输入系统输出响应中出现有输入激励信号中所没有的新频率分激励信号中所没有的新频率分量，则称之为非线性失真。量，则称之为非线性失真。非线性失真非线性失真 线性失真仅让信号的幅度和相线性失真仅让信号的幅度和相位发生了失真。在线性失真中位发生了失真。在线性失真中响应信号中不会出现激励信号响应信号中不会出现激励信号中所没有的新频率成分。中所没有的新频率成分。 线性失真
21、线性失真 （1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。（2）相位失真：系统对各频率分量产生的相）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。上的相对位置变化，引起相位失真。线性信号失真的原因：线性信号失真的原因： 5.4 理想低通滤波器理想低通滤波器l理想滤波器理想滤波器指信号的部分频率分量可无指信号的部分频率分量可无失真的完全通过，而另一部失真的完全通过，而另一部分频率分量则完全通不过
22、。分频率分量则完全通不过。 理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应即将频率低于即将频率低于 的信号无失真的传送，的信号无失真的传送，而将频率高于而将频率高于 的信号完全阻止。的信号完全阻止。 cc滤波器的滤波器的截止频率截止频率理想低通滤波器的频率响应为理想低通滤波器的频率响应为使信号通过的频率范围。使信号通过的频率范围。l 通带通带阻止信号通过的频率范围。阻止信号通过的频率范围。 l 阻带阻带0|H(j)|t0( )t ccKcc通带通带阻带阻带1. 理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为)(t) 1 (0t)(tht0tc0理想低通理想低通滤波器滤波器由图可见，冲激
23、信号经过理想低通滤波器后，波形发由图可见，冲激信号经过理想低通滤波器后，波形发生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱为白色谱，生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱为白色谱，即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。 0000sin()( )limlim()()()ccccccctth tSatttttt！ 欲使欲使h(t)不失真，理想低通滤波器的带宽必须为不失真，理想低通滤波器的带宽必须为无限宽，即应满足无失真传输的条件。理想低通无限宽，即应满足无失真传输
24、的条件。理想低通滤波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，滤波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，但在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。但在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。2. 理想低通滤波器的阶跃响应为理想低通滤波器的阶跃响应为0()ctx 000()0()0()1sin1sin1sin( )ddd11sin d2ccct tt tt txxxg txxxxxxxxx0 阶跃响应的上升时间与理想低通滤波器的截止频阶跃响应的上升时间与理想低通滤波器的截止频率率c【带宽带宽B=c / 2（Hz）】成反比；阶跃信号成反比；阶跃信号通过理想低通滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，通过理想低通
25、滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，上升时间越短，上升沿变化越陡峭。上升时间越短，上升沿变化越陡峭。 ！c211Otr(t)trt0ctO)(tu阶跃响应波形为阶跃响应波形为 理想低通理想低通滤波器滤波器补充：补充： 模拟滤波器模拟滤波器一、一、巴特沃思低通滤波器的幅频特性巴特沃思低通滤波器的幅频特性1. 巴特沃思低通滤波器幅频特性巴特沃思低通滤波器幅频特性（最平响应特性滤波器）（最平响应特性滤波器）指对于低通滤波器在指对于低通滤波器在 时，其幅频特性时，其幅频特性 , ,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的
26、，没有波动。的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。 0指对于低通滤波器在指对于低通滤波器在 时，其幅频特性时，其幅频特性 , ,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。 j1aH 0巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为滤波器滤波器的半功的半功率点率点 211co0.5n=2n=5n=4| |Ha(j)| |当当N取值越大，幅频特性在通带内就取值越大，幅频特性在通带内就越平坦，过渡带就越陡峭，衰减得就越平坦，过渡带就越
27、陡峭，衰减得就越快，其特性越接近理想的低通滤波越快，其特性越接近理想的低通滤波器，滤波器的实现也就越复杂器，滤波器的实现也就越复杂。 不同阶次的巴特沃思低不同阶次的巴特沃思低通滤波器的幅频特性：通滤波器的幅频特性： 221(j)1(/)aNcH 滤波器的阶数滤波器的阶数！2. 巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布由于系统是稳定系统，则系统函数 满足：( )aHs由上式可求出 的2N个极点，即2( )aHs2*(j )(j )(j )(j )( j )aaaaaHHHHH因为j( )(j )aasHsH221( )( )()1( / j)aaaNcHsHs H
28、ss21()0jNcs11j(21)222j( 1)ekNNkccs ，k =1，2，3，2N N=3N=3，4 4时，极点在时，极点在s平面的分布情况：平面的分布情况： 径径为为 的圆周上，且以原点为对称中心，成对出现，的圆周上，且以原点为对称中心，成对出现，其中有其中有N个为个为 的极点，另外的极点，另外N个为个为 的极点。的极点。 2( )aHs的的2N个极点以个极点以 N为间隔，均匀地分布为间隔，均匀地分布在半在半c由由 的极点，就可写出的极点，就可写出 的表达式。的表达式。如当如当N=2时，时， 为为 根据根据 确定确定K= ，因此二阶巴特沃思低通，因此二阶巴特沃思低通滤波器的系统函
29、数为滤波器的系统函数为 令令 ，对，对 进行频率归一化处理得：进行频率归一化处理得： 0( )1asHs2ccss j3/4j3/422( )(e)(e)2accccKKHsssss222( )2caccHsss21( )21aHsss 3. 巴特沃思低通滤波器的设计巴特沃思低通滤波器的设计 理想滤波器从通带到阻带的变换是阶跃性的，即理想滤理想滤波器从通带到阻带的变换是阶跃性的，即理想滤波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型的低通滤波器的幅频
30、特性：的低通滤波器的幅频特性： 通带截通带截止频率止频率阻带下阻带下限频率限频率 要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。低通滤波器的主要技术指标一般有：低通滤波器的主要技术指标一般有： （1）通带截止频率）通带截止频率（2）通带最大衰减）通带最大衰减 （3）阻带下限频率）阻带下限频率 （4）阻带最小衰减）阻带最小衰减 pApssA(20lg(j ) dB)AH频率归一化频率归一化 选定某一频率为基准频率，将选定某一频率为基准频率，将实际频率除以基准频
31、率，所得实际频率除以基准频率，所得的比值称为归一化频率。的比值称为归一化频率。 因各滤波器的工作频率不同，为设计因各滤波器的工作频率不同，为设计简便，常将实际频率进行归一化。简便，常将实际频率进行归一化。 ！技术指标为技术指标为fp2KHz，Ap3dB，fs4KHz，As30dB。设计一巴特沃思低通滤波器。设计一巴特沃思低通滤波器。（3）由）由N5，得归一化系统函数为，得归一化系统函数为（1）归一化频率：）归一化频率： （2）根据）根据 ，As 30dB，查图可知，查图可知，5阶系统满足阻带衰减要求，即阶系统满足阻带衰减要求，即N52s 例例解解422sssppff54321( )3.2365
32、.2365.2363.2361H ssssss（4）以）以 代入上式化简得代入上式化简得pss 5432554233245( )( )1 ()3.236()5.236()5.236()3.236() 1 3.2365.2365.2363.236psspppppppppppH sH sssssssssss 二、二、切贝雪夫低通滤波器切贝雪夫低通滤波器切贝雪夫切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性的平方为型低通滤波器的幅频特性的平方为式式中，中， 为决定等波动起伏幅度的常数；为决定等波动起伏幅度的常数；N为滤波器为滤波器的阶数；的阶数； 为为N阶切贝雪夫多项式。阶切贝雪夫多项式。( )NTx22221(j
33、 )1(/)aNcHT 1cos(arccos ), 1( )cosh(arcosh ),1NNxxTxNx（1）定义）定义1.切贝雪夫切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性型低通滤波器的幅频特性（2 2） 切贝雪夫多项式满足的递推关系切贝雪夫多项式满足的递推关系 （当（当 时）时） 1x 11( )2( )( )NNNTxxTxTx2233424535( )21( )43( )881( )16205T xxT xxxT xxxT xxxx01( )1( )TxT xx1 14 4阶切贝雪夫多项式的曲线阶切贝雪夫多项式的曲线如下图：如下图：（3）不同阶次切贝雪夫）不同阶次切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性
34、曲线型低通滤波器的幅频特性曲线N=3和和N=5N=4和和N=6由图可以看出：由图可以看出：（1）当）当 时，时， 在在1与与 之间等幅波之间等幅波动，动， 越小，波动幅度越小；越小，波动幅度越小；（2）在过渡带和阻带即）在过渡带和阻带即 时，幅频特性曲线单调下降时，幅频特性曲线单调下降，且，且N和和 的值越大，衰减得越快；的值越大，衰减得越快；（3）N为奇数时为奇数时 ，N为偶数时为偶数时 ；（4）无论）无论N为何值，当为何值，当 时，时， 。 (j )aH21/ 1c(0)1aH2(0)1/ 1aHc 2(j )1/ 1aH0c！2. 切贝雪夫低通滤波器的传递函数和极点分布切贝雪夫低通滤波器
35、的传递函数和极点分布2jj222211( )()(j )1()1()jassNNccH s HsHsTT221)0jNcsT（令令 sinjcosiccsshchNNNN得极点为得极点为 1(21) 2 (0, 1, 2,)1iish 式中式中 其传递函数为其传递函数为令令 jiiissin, cosicicshchNNNN代入上式得：代入上式得： 设设 , ()ashbshbaNN 1)()(22ciciba短轴短轴 长轴长轴 结论结论切贝雪夫低通滤波器的极点，是一组分布在切贝雪夫低通滤波器的极点，是一组分布在以以 为长轴，以为长轴，以 为短轴的椭椭圆上的点。为短轴的椭椭圆上的点。 cbca
36、 归一化系统归一化系统函数的分母函数的分母多项式多项式取位于左半平面的取位于左半平面的N个极点，个极点，即可得到系统函数为：即可得到系统函数为： 112( )()cNaNiiHsss设设 css ，对，对 进行归一化，得进行归一化，得 ( )aHs11 2( )( )( )cNassHsH sD s 121210( )NNNNND ssasasa sa式中式中 根据通带波纹根据通带波纹和阶数和阶数N ， 的系数的系数已被制成表格以供设计滤波器时查阅。已被制成表格以供设计滤波器时查阅。 ( )D s！3切贝雪夫低通滤波器的设计切贝雪夫低通滤波器的设计解解: 设计一个切贝雪夫型模拟低通滤波器。通设
37、计一个切贝雪夫型模拟低通滤波器。通带边界频率带边界频率 ，通带波动衰减，通带波动衰减 ，在阻带，在阻带 的最小衰的最小衰减减 ，求其阶数，求其阶数N和系统函数。和系统函数。例例2000rad/sc0.5dBpA 8000rad/ss80dBsA 2021()101pAacHj0.510101011010.3493pA 8020221(j)101()assNcHT81()(4)101cosh( arcosh4)0.3493sNNcTTN 81arcosh(101)0.34935.31arcosh4N6N 取取 由通带波纹衰减由通带波纹衰减 和和N= 6，查表得：，查表得：其归一化传递函数为其归一
38、化传递函数为0.5dBpA 11212106543212( )0.089461.1592.1721.591.1720.43240.09476NaNNNNNH ssasasasassssss 令令 ，可得所求滤波器的传递函数为，可得所求滤波器的传递函数为css 1811122112105.726 102( )( )NcNaNNNNNNcNcccH ssasasas aDs 式中式中65641031321618( )23188.687 101.272 10 1.875 101.384 106.065 10D sssssss4利用利用MATLAB设计切贝雪夫模拟低通滤波器设计切贝雪夫模拟低通滤波器阻
39、带边阻带边界频率界频率 通带衰通带衰减参数减参数阻带衰阻带衰减参数减参数模拟模拟滤波器滤波器通带边通带边界频率界频率 （1） n, wn =cheb1ord( Wp, Ws, Rp, Rs, s )最小最小阶数阶数截止截止频率频率 （2） z, p, k =cheblap( n ) 切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，p，z，k分别为分别为滤波器的极点，零点和增益，滤波器的极点，零点和增益，n为滤波器的阶数。为滤波器的阶数。 （3） b, a =cheby1( n, Rp, wn, s ) 切贝雪夫通滤波器设计函数，切贝雪夫通滤波器设计函数，Rp，n，Wn分别滤分别
40、滤波器的通带波纹，最小阶数和截止频率，波器的通带波纹，最小阶数和截止频率，s 表表示模拟滤波器，示模拟滤波器，a，b分别为滤波器的传递函数分分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式向量。子和分母多项式向量。 wp=2,Rp=1, ws=4, Rs=30;n,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s); z,p,k=cheb1ap(n,Rp); b,a=zp2tf(z,p,k); 归一化的切贝雪夫低通滤波器的传递函数归一化的切贝雪夫低通滤波器的传递函数 sys=tf(b,a)切贝雪夫低通滤波器的传递函数切贝雪夫低通滤波器的传递函数 c,d=cheby1(n,Rp,wn,s);sys=tf
41、(c,d) freqs(c,d, 4)已知低通滤波器系统函数已知低通滤波器系统函数H(s)采用切贝雪夫逼近，采用切贝雪夫逼近，通带波纹通带波纹1dB，通带角频率，通带角频率p=2rad/s，阻带角频率，阻带角频率s=4rad/s，阻带衰减，阻带衰减A不小于不小于30dB，试确定滤波器，试确定滤波器的阶数及系统函数，并绘出其频率响应曲线。的阶数及系统函数，并绘出其频率响应曲线。 例例解解程序运行结果程序运行结果？留作上机练习留作上机练习 本章小结本章小结 1. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。
42、率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。 2. 对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶逆变换。即傅里叶逆变换。 3. 无失真传输，是指在时域中信号的波形应不发生无失真传输，是指在时域中信号的波形应不发生变化，只是幅度变化了变化，只是幅度变化了K倍，在时间上延迟了倍，在时间上延迟了t0。对于。对于无失真传输系统，其幅频特性在整个频率范围内为一无失真传输系统，其幅频特性在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；其相频特性在整个频
43、常数，即系统的带宽为无穷大；其相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为，即相位响率范围内为一通过原点的直线，其斜率为，即相位响应与应与正比。正比。 4. 理想滤波器，是指信号的一部分频率可以无失真的理想滤波器，是指信号的一部分频率可以无失真的完全通过系统，而另一部分频率则完全通不过。理想滤完全通过系统，而另一部分频率则完全通不过。理想滤波器是不可实现的系统，实际中通常采用一定的规则来波器是不可实现的系统，实际中通常采用一定的规则来逼近理想滤波器的幅频特性。常用的逼近方式有巴特沃逼近理想滤波器的幅频特性。常用的逼近方式有巴特沃思逼近、切贝雪夫逼近思逼近、切贝雪夫逼近 ，相应设计的滤波器分别称为巴，相应设计的滤波器分别称为巴特沃思滤波器、切贝雪夫滤波器。巴特沃思滤波器的幅特沃思滤波器、切贝雪夫滤波器。巴特沃思滤波器的幅频特性在通带和阻带内都是单调变化的，切贝雪夫滤波频特性在通带和阻带内都是单调变化的，切贝雪夫滤波器的幅频特性在通带内是等起伏变化的，在阻带内单调器的幅频特性在通带内是等起伏变化的，在阻带内单调衰减。衰减。
