1、=【 ;精品教育 资源文库 】 = 第 1 讲 绝对值不等式 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 绝对值不等式的解法 1形如 |ax b| cx d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解 2形如 |ax b| c(c0)和 |ax b| c(c0)型不等式 (1)绝对值不等式 |x|a 与 |x|0)和 |ax b| c(c0)型不等式的解法 |ax b| c? c axb c(c0)， |ax b| c?ax b c 或 ax b c(c0) 考点 2 绝对值不等式的 应用 1定理：如果 a， b 是实数，那么 |a b| a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立
2、2如果 a， b， c 是实数，那么 |a c| a b| |b c|，当且仅当 (a b)(b c)0时，等号成立 3由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 (1)|a1 a2 ? an| a1| |a2| ? |an|. (2)|a| |b| a b| a| |b|. (3)|a| |b| a b| a| |b|. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)|ax b| c(c0) 的解等价于 c ax b c.( ) (2)若 |x|c 的解集为 R，则 c0.( ) (3)不等式 |x 1| |x 2|2 解析 当 x2，所以 x2. 综上可知，原
3、不等式的解集为?x? x2 . 板块二 典例探究 考向突破 考向 绝对值不等式的解法 例 1 2017 全国卷 已知函数 f(x) |x 1| |x 2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x) x2 x m 的解集非空，求 m 的取值范围 解 (1)f(x)? 3， x 1，2x 1， 1 x2 ，3， x 2.当 x 1 时， f(x)1 无解； 当 1 x2 时，由 f(x)1 ，得 2x 11 ， 解得 1 x2 ； 当 x 2 时，由 f(x)1 ，解得 x 2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m，得 m| x 1| |
4、x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54， 且当 x 32时， |x 1| |x 2| x2 x 54， 故 m 的取值范围为 ? ? ， 54 . 触类旁通 绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对 a0， |x|a?xa. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号 (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式 (组 )求解 (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解
5、 (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数=【 ;精品教育 资源文库 】 = 图象求解 【变式训练 1】 2017 全国卷 已知函数 f(x) x2 ax 4， g(x) |x 1| |x 1|. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； (2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含 1,1，求 a 的取值范围 解 (1)当 a 1 时，不等式 f(x) g(x)等价于 x2 x |x 1| |x 1| 40. 当 x 1 时， 式化为 x2 3x 40 ，无解； 当 1 x1 时， 式化为 x2 x 20 ，从而 1 x1 ； 当 x
6、1 时， 式化为 x2 x 40 ， 从而 1 x 1 172 . 所以 f(x) g(x)的解集为 (2)当 x 1,1时， g(x) 2， 所以 f(x) g(x)的解集包含 1,1等价于当 x 1,1时， f(x)2. 又 f(x)在 1,1的最小值必为 f( 1)与 f(1)之一， 所以 f( 1)2 且 f(1)2 ， 得 1 a1. 所以 a 的取值范围为 1,1 考向 绝对值三角不等式的应用 例 2 (1)2018 江西模拟 已知函数 f(x) |2x 1|. 求不等式 f(x)0， n0)，求 2m 1n的取值范围 解 不等式 f(x)0， n0)，则 2m 1n m nm m
7、 n2n 1 nm m2n 12 32 nm m2n 322 nm m2n 32 2，当且仅当 m 4 2 2， n 2 2 2 时等号成立， 故 2m 1n的取值范围为 ? ?32 2， . (2)2018 太原模拟 已知函数 f(x) |2x a| |2x 3|， g(x) |x 1| 2. =【 ;精品教育 资源文库 】 = 解不等式： |g(x)|1 时， 2x3 ， x1.5 . 综上所述 x 1.5 或 x1.5. (2)已知函数 f(x) |2x a| |x 1|， a R. 若不等式 f(x)2 |x 1|有解，求实数 a 的取值范围； 当 a1?.所以 f(x)min f?
8、?a2 a2 1 3，得 a 42g(x) 1； (2)若不等式 f(x) g(x) 4 对任意 x R 恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)当 a 2 时，不等式 f(x)2g(x) 1 为 |x 4|4|x| 1， x 4x 1，解得 x 1， 14x 1，解得 x4，不等式化为 x 44x 1，解得 x2g(x) 1 为 |x 4|4|x| 1，分类讨论求得 x 的范围 (2)由 题意可得 |x 4| a|x| 4 对任意 x R 恒成立当 x 0 时，不等式显然成立；当 x0 时，采用分离参数法，问题等价于 a |x 4| 4|x| 对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得
9、a 的范围 含绝对值不等式的应用中的数学思想 (1)利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想 (2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想 =【 ;精品教育 资源文库 】 = 【变式训练 3】 (1)已知函数 f(x) |1 2x| |1 x|. 若不等式 f(x)12，当 x12时， x 21，即 aax 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)f(x)0， x1， 不等式的解集为 x|x1 (2)令 H(x) 2f(x) g(x)? 4x 7， x4，9， 12 x4 ， 4x 7， xax 对任意的实数 x 恒成立，即 H(x)的图象恒在直线 G(x) ax
10、 的上方，故直线 G(x) ax 的斜率 a 满足 4 a9； (2)设关于 x 的不等式 f(x)| x 4|的解集为 A， B x R|2x 1|3 ，如果 A BA，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 5 时， f(x) |x 5| |x 2|. 当 x2 时，由 f(x)9，得 2x 39，解得 x3； 当 5 x9，得 79，此时不等式无解； 当 x9，得 2x 39，解得 x9 的解集为 x R|x3 (2) A B A， B?A. 又 B x R|2x 1|3 x R| 1 x2 ，关于 x 的 不等式 f(x)| x 4|的解集为 A， 当 1 x2 时， f(x)| x 4|恒成立 由 f(x)| x 4|得 |x a|2. 当 1 x2 时， |x a|2 恒成立，即 2 x a2 x 恒成立 实数 a 的取值范围为 1,0 4 2018 泉州模拟 已知函数 f(x) |x 1| |2x 4|. (1)解关于 x 的不等式 f(x) 2， 2 4， 1x2； x2 ，不等式可化为 x 1 2x 49， x4， 2 x 4； 综上所述，不等式的解集为 x| 2x4 (2)f(x) |x 1| 2|x 2|? 3x 3， x2 ，5 x， 1 x2，3 3x， x 1.由题意作图如下，
