1、第第4 4章章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 信号的正交分解与傅里叶级数信号的正交分解与傅里叶级数 信号的频谱信号的频谱 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 线性非时变系统的频域分析线性非时变系统的频域分析 傅里叶变换计算机模拟举例傅里叶变换计算机模拟举例4.1 信号的正交分解与傅里叶级数信号的正交分解与傅里叶级数 4.1.1 信号的正交分解 数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式。这就是信号的分解,用式（41）描述:1( )( )niiif tct(i,n为整数) （41
2、）当上述函数集中任意两个函数i(t),j(t)之间,在区间 例如,三角函数集 1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt,在区间（t0,t0+）(式中T=2/)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为210( )( )tijtiijtt dtkij（ki为与之有关的常量） (42)0000000coscos/2000sinsin/20sincos0tTttTttTtmntdtTmnTmnmntdtTmntdt(43) 即三角函数集满足正交性式（42）,因而是正交函数集。其完备性这里不去讨论。 对于调幅信号（=5） f(t)=A(1+Bcos)cos (44)
3、 利用三角公式2coscos=cos(-)+cos(+)可写为 f(t)=Acost+ ABcos(-)t+ ABcos(+)t(45) 式(45)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。图4.1中绘出了有关信号的波形。图4.1 调幅信号及其频谱tf (t)A(1 B) A(1 B)A0405060F()AB210(a)(b) 4.1.2 傅里叶级数 19世纪初叶,法国数学家吉傅里叶证明:任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即 通常称（46）式为傅里叶级数。如果已知f(t),则可通过式(47)、(48)和(49)分别求出an,bn,c的值。111( )si
4、n(2)cos(2)2nnnnf tcanftbnft(46) 2020202( )sin(2)2( )cos(2)2( )nnaf tnf dtTbf tnf dtTcf t dtT(47) (48) (49) 根据三角函数的运算法则,式(46)还可写成式(410)。001022( )cos()12tannnnnnnnnnf tcAntccAabab(410) (411) (413) (412) 式(46)还可写为如下形式000100000100000111( )cos()sin()2cos()sin()1cos()sin()21cos()sin()21cos()sin()212nnnnnn
5、nnnnnnnnnnnnf tcAntjnttjntcAntjntAtjntcAntjnt00cos()sin()nnntjnt 式中,An=A-n,n=-n。最后,由欧拉公式,上式可写为0( )jntnnf tc e(414) 0002021( )TjntTncf t edtT (415) 对于式（410）,(414),同式(46)一样,也是傅里叶级数,只是形式不同而已。式(46)和(410)称为三角函数式傅里叶级数,式（414）称为复指数形式的傅里叶级数。由于式（414）的数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。 4.1.3 信号的傅里叶级数正交分解 由于傅里叶级数具有正交性及
6、完备性,故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解,在对信号进行分析时将会表现出很大的优势。 例41 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。图4.2 方波信号的傅里叶级数0T2T2T2T T11tf (t) 解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(4 7)、(48)、(49)分别计算an,bn及c。 22020202022( )cos(2)22( 1)cos(2)1 cos(2)2121 sin(2)sin(2)220TTnTTTTaf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnfTnf22020202022( )sin(2)22( 1)sin
7、(2)1 sin(2)2121 cos(2) cos(2)222(1)TTnTTTTbf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnftTnfnn0,2,4,6,41,3,5,nnn222( )04111( )sin2sin6sin10sin2351,3,5,TTcf t dtTf tftftfftnn4.2 信号的频谱信号的频谱 4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这里的复数指数函数ejnt为n次谐波,在该函数上所加的权为谐波的振幅,n为谐波的角频率,可以说所有的信号均是由系列角频率不同的谐波叠加而
8、成的(角频率可简称为频率）。 4.2.2 周期信号的频谱 以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。 设有一幅度为1,脉冲宽度为的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图4.3所示。根据式（46）,可求得其傅里叶系数22222211( )11sin2TTjn tjn tTTnjn tFf t edtedtTTeTjnnTn 图4.3 矩形脉冲 T202T2T1tf (t) 考虑到=2/T,上式也可以写为 1sin,0, 1, 2,1( )sinnjn tjn tnnnnFnnTTnf tF eenT 根据式（416）可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为 图4.4画出了T=4的周期性矩
9、形脉冲的频谱。由于Fn为实数,相位n=0,故而没有单独画出其相位频谱。图4.4 周期矩形脉冲的频谱（T=4） 410Fn2442)2a(ST 1. 频谱的物理意义 前面讲过,任何信号均由多次谐波叠加而成,我们通过仪器观察谐波时,只有由三角函数所描述的谐波Akcos(kt+k)才能被观察到,而复指数谐波ckejkt是通过数学方法由前者构造而成,它不能直接被观察得到。两者的关系为()()2cos()cos(),2kkkkjjjktjktjktjktkkkkj ktj ktkkkjktjktkkkkkkc ec ec eeceeceecktc ec eAktAc 即有 (418) 2. 频带宽度 从
10、周期矩形脉冲频谱可以看出,谱线有无限多条。矩 形脉冲信号的频带宽度或称信号的带宽,用符号f表示,即 3. 周期信号的功率 了解周期信号功率在各次谐波中的分布情况,是信号频谱的一个重要应用。分析信号的功率关系,一般都将信号f(t)看作电压或电流,而考察其在1电阻上所消耗的平均功率,即 1fHz （419） 2221( )TTPft dtT (420) 2221( )TTPft dtT将f(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得22222222211( )( )1( )TTjktjktTTkkkkkkkkkkkkTTkkPf tc edtcf t edtTTc cc ccft dtcT(420) （
11、4 21） 4.2.3 非周期信号的频谱 非周期信号可视为周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。重写周期信号的频谱函数如下: 0002021( )1( )2( )( )1( )2TjtTnj tnj tncf t edtdTcf t edtdFf t edtcFd(422) (423) (424) (425) 现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下0( )1( )( )2jntnnjtf tc ef tFed 将式(425)代入式(426)中,同时将求和号改为积分号,n改为,则有(426) (427) 式(424)和(427)是非常重要的一对
12、式子,重写如下,并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F()的傅里叶逆变换,F()称为f(t)的频谱函数,f(t)称为F()的原函数。( )( )1( )( )2j tj tFf t edtf tFed(428) (429) 式(428)和(429)可简记为( ) ( )( ) ( )( )( )ff tFf tF(431) (432)4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例42求冲激信号(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（428）有( )( )1( )1j tFt edtt(434) (435) 图4.5 冲激信号及其频谱0t(t)(1)0F()1(a)(b) 例43 求矩形脉冲信号g
13、(t)的频谱。 图4.6 矩形脉冲信号及其频谱 0tg(t)(a)1/ 2 / 202/2 /(b)F() 解 矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为12( )02rtg tt(436) g(t)的傅里叶变换为 22sin(/2)( )/2sin( )( )( )()2j trrg tedtxSa xxg tSa(437)(438)(439) 例44 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指 ( )( ),0( )( )10atj tatj tf teu t aFf t edteedtj(441) (440) 图4.7 单边指数信号及其频谱0 0 (a)(b)ar
14、gF()(F1212442 例45 求双边指数信号的频谱。 解双边指数信号是指 ( )( ),0tf teu t(442)从频谱函数的定义式出发002211( )2atj tatj tFeedteedtjj(443) 图4.8 双边指数信号及其频谱00 1tf (t)(a)(b)12)(F 例46 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-t0)22220 ( )112202lim002sgn( )tj ttj tF f teedteedtjjjjjFtj (4-51)4.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 为了方便起见,我们将傅里叶变换式重写如下1( )(
15、 )( ) ( )( )1( ) ( )( )2Fj tj tf tFFF f tf t edtf tFF tFed(4-52)(4-53)(4-54) 4.3.1 线性 某一域内函数的值作线性变换时与之对应的另一域中的象函数的值也作等比例的线性变换。112211221122( ) ( )( )( )( )( )( )( )j tj tj tFF f tF a f ta f ta f ta f t edtaf t edtaf t edt112211221122112211111221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta F f t
16、a FF a f ta f taf taf tFa Fa Fa FFa FF 例48 求单位阶跃函数u(t)的频谱函数。 解单位阶跃函数u(t)可看作是幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号函数sgn(t)之和,即11( )sgn( )22u tt 4.3.2 奇偶虚实性 实际存在的信号都是实信号,虚信号是我们为了数学运算上的方便而引入的。现在研究时间函数f(t)与其频谱F()之间的奇偶虚实关系。先来看f(t)为实函数的情况。此时傅里叶变换可写为( )( )( )cos( )sin( )( )( )j tj tFf t edtf ttdtjf ttdtRjXFe（460） 式中,频谱函数的
17、实部和虚部分别为( )( )cos( )( )sinRf ttdtXf ttdt (461) (462) 频谱函数的模和相角分别为22( )( )( )( )( )arctan( )FRXXR (463)(464) 由此可看出,此时F()是虚函数且是的奇函数。对于f(t)为虚函数的情况,分析方法同上,结论相反。 上述讨论的结果如下: 例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-t u(t)的频谱。 图4.11 单边指数信号及其频谱0tf (t)0tfe(t)t011(a)(b)(c)21fo(t) 解 从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b
18、）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。 f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t) 其中( )0( )0teatoatf teetf tet0()()2200()()2202222222( )112( )22( )( )( )2()2tj tjtjtejtjtoeoFeeedtedtFedtedtjjjFFFjjj 4.3.3 对称性 傅立叶变换可用（4-52）表示()()( )( )( )( )1( ) ( )( )2( )21( )()21()( )2( )2()FFj tjtjtFf tFF tffF F tF t edtF t edtF t edfffF tf 图4.
19、12 抽样函数Sa()及其频谱0tf (t) / 2 / 20F()0tf (t)0F()0 01F1F22000 4.3.4尺度变换 将时间函数f(t)中的t换成at(a为常量),考察与之对应的频谱函数。现在来求时间函数f(t)尺度变换后的频谱函数。设f(at)=f(t),则有 ()( )( )()11 ()()()()111 ()()()()()()j tj tjatajatjataaF f atF f tf t edtf at edtF f atf at ed atFaaaF f atf at ed atf at ed atFaaaa ( )( )1()()FFf tFf atFaa（4
20、-72） 例411 已知 求g(2t)的频谱函数。 解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t)的频谱函数为 ( )()2rg tSa1(2 )()24rgtSa 图4.13 尺度变换0tf (t)0F()10)2(21F2244220tf (2t)144 4.3.5 时移特性 在时间函数f(t)中,当时间t变为t+t0时,就会引起相应的频谱函数的变换,称为时移特性。这里t0为实常量。 设f(t+t0)=f1(t), ,时移特性可作如下推导:( )( )f tF0000110()00 ()( )( )( )()( )()()( )j tj tj tjt tj tF f ttF f tf t e
21、d tf tt ed tef tt ed tteF 因此,时移特性可表示如下。 若 且t0为常数,则00( )( )()( )j tf tFf tteF(474) 例412求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。 0000 ()1()j tj tttette(475) 4.3.6 频移特性 频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数F()中,频率变为+0,相应的时间函数怎样随之而变。这里0为实常量。 000110110()00 ()( )1( )21()21()()2
22、( )j tj tjjtjtFFFFFedFedFedef t e 因此,时移特性可简写如下 且0为实常数,则 例413 求高频脉冲信号 p(t)=g(t)cos0t (477) 的频谱函数。 解 由于00( )( )( )()jtf tFf t eF(476)000cos2jtjteet故有 0000000 ( )( )cos( )211( )( )221()1() ( )2222rjtjtrjtjtrrF p tF g tteeF g tF g t eFg t eF p tSaSa 根据频移特性有 图4.14 频移特性 4.3.7 卷积定理 现在我们讨论卷积在傅里叶变换中的规律。 1.时域
23、卷积性质 设有两个时间函数f1(t)和f2(t),它们分别对应的频谱函数为F1()和F2()。两个函数卷积的傅里叶变换为1212122( )( )( )()( )()()( )j tj tj tjF f tf tff tdedtftedf tedtFe(4-78)(4-79)这就是时域卷积定律，可简记为1212212111221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )j tj tLLLF f tf tfFedtFfedtFFf tFf tFf tf tFF（4-80） 2. 频域卷积性质 同时域卷积定律一样，我们也可以证明频域卷积定
24、律。在这里略去证明，只写出结论。112212121212( )( )( )( )1( )( )( )( )2( )( )( )()LLLf tFf tFf tf tFFFFFFd(4-81)(4-82) 例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。 图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换E0f (t)21222122t102122120212212f1()f2()122E(a)(b)(c) 解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲 f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说 010110101012010
25、10101120101201()( )()242()()( )()()244()()()( )( )( )()()2448()()( )sinsin()44FSaEFSaESaEFFFSaSaeF 图4.16 半波正弦脉冲p(t)221g(t)2210ttcos0t1t00 0p()g()00F()0 022220tf (t)220t22220t224(a)(b)(c)f (t)f (t)图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形表42 傅里叶变换的性质 4.4 线性非时变系统的频域分析线性非时变系统的频域分析 4.4.1 频域分析 在第二章线性非时变系统的时域分析中,我们已经指出线性非时变系
26、统的零状态响应yf(t)是激励f(t)与冲击响应h(t)的卷积积分。即( )( ) ()( )( )( )ffytfh tdyth tf t(4112) (4113) 现在我们设h(t)、f(t)和yf(t)各自对应的傅里叶变换式为H()、F()和Yf(),即( )( )( )( )( )( )ffh tHf tFyty(4114) (4115) (4117) (4116) ( )( )( )fYHF图4.18 频域分析示意图 线性非时变系统激励信号响应f (t)h(t)yf (t)H()Yf ()F()* 接下来我们讨论一下H()。很显然在前面的讨论中,H()已有了两个方面的含义:一是前面我
27、们在式（4114）中定义的H()是与冲激响应h(t)对应的频谱函数;二是通过式（4117）所表达的H()的含义是零状态响应频谱函数Yf()与激励函数F()的比值,即( )( )( )fYHF(4118) 另外,考虑到式（4115）1()011()0( ) ( )1( )21lim()2( )( )( )1( ) ( )21lim() ()2j tjktkffj tjktkf tFFFedF keyFYFHFHFedH kF ke 在看式（4-116）和（4-117）（4-119）（4-200） 例420如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。 图 4.19 u
28、S(t) u(t)uO(t)10tuS(t)uO(t)01t 解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jt时,如图有( )( )( )SRCSRCUUUUUU则按H()的定义有( )( )( )( )1( )( )( )( )fRRSRCYUURjHFUUUjRj C对于单位阶跃信号u(t)而言,此时 1( )( )u tj 1( ) ( )( )1( )( )( )( )1( )1(1( )1fFF u tjjYHFjjjjjjjj 最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此111( )( )( )tfy tFYFeu tj 4.4.2 无失真传输系统的频域分析 无失真传输系统是指这样一个
29、系统,它的输出信号与输入信号相比只有幅度的大小和出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。系统的数学模型具有如下的形式: yf(t)=Kf(t+td) (4121) 设输入信号f(t)的谱频函数为F(),输出信号yf(t)的谱频函数为Yf()。根据傅里叶变换的时移特性对上式进行傅里叶变换后可得输出信号频谱和输入频谱之间的关系: Y()=Ke jt F() (4122) 由上式可见,为使信号传输无失真,系统频率函数应为 H()=Ke-jtd 从中可看出系统频率函数的模和相位为( )( )dHKt (4123) 图4.20 无失真传输系统的幅频和相频特性 0k() H()H() k() td11(
30、) ( ) ( )1( )( ) ( )( )()( )()( )( )ddj tfj tffddFFF fF gYHFKeyFYFKeKtth tKtth tH 其实，此时的系统输出信号yf(t)既是系统的冲激响应h(t),既有（2-124）（4-125） 4.4.3 理想低通滤波器的频域分析 理想低通滤波器是指频率特性为式(4126)所限制的系统，即 由图4.21中可看出H()可看作是在频域中宽度为2C,幅度为1的门函数,可写为( )0dj tCCeH(4126) 2( )( )dCj tHeg(4127) 图4.21 理想低通滤波器的频率特性 0() H()()H()1 CC图4.22
31、理想低通滤波器对单位冲激信号的响应波形t01f (t)(t)th(t)0CCtd 则输出信号的频谱为21( )( ) ( )( )( )1( )0dCdj tfj tCCYHFegjej 由此可求出理想底通滤波器对单位阶跃信号的影响1()()( )( )11( )21( )2CdCdCCdCCffj tj tjt tjt tytFYeedjeeddj （4-128）0000000001cos()sin()( )211sin()211sin()()2()11()2CCCCfttttytdjjttdjttdttttSitt图4.23 理想低通滤波器对单位阶跃信号的响应波f (t) u(t)10tt
32、dt010.5yf (t) 以上讨论了理想低通滤波器对单位冲激信号和单位阶跃信号的响应,这里我们还需要注意以下几点: (1)由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后,延迟时间为td。 (2)阶跃信号的响应不像阶跃信号那样陡直,而是倾斜的，这说明输出信号的建立需要一定的时间。一般以阶跃响应中幅度由0到1作为计算建立时间的标准。查Six正弦函数积分表可知响应建立时间为3.83Ct (3)由响应的波形图可见,输出信号在输入信号建立之前和后都有,向延伸且振荡。由此,早在t=0时刻以前在无信号输入的情况下就已有信号输出,这显然违背了自然界的因果律。这是因为理想低通滤波器是根据式（4127）设计的,过于理
33、想化,现实中不可能实现。 4.5 傅里叶变换计算机模拟举例傅里叶变换计算机模拟举例 运用计算机对傅里叶变换进行模拟的主要任务就是在设定系统频率函数的基础上根据不同的激励信号来模拟与之相应的响应。整个过程一般分为以下几个步骤: （1）输入系统频率函数; （2）输入激励信号; （3）按一定的算法完成激励信号的傅里叶变换得到激励信号频谱; （4）根据系统频率函数和激励信号频谱按一定的算法计算系统的响应频谱; （5）按一定的算法完成频率响应的傅里叶逆变换得到系统响应; （6）输出系统响应及其频谱。1( )( )2( )( )( , )( , )( )( , )j tj tf tFedtFf t edt
34、yD x s dsjE x s dsY xX x s ds (4129) (4130) (4131) 我们在每个分区内用梯形面积代替实际积分值。当分区相当多时,所有这些梯形面积的和可逼近实际的积分值。计算公式如下:111,121,11,1111,11,11,112 ( )( )211()221()41iiiiiiiki ji jiijjbahhRf af bRRhf akhRRRR 当 时运算结束。R i,j为积分近似解。龙贝格积分的计算次序是1,11,111()41iijjRR1,12,12,23,13,23,34,14,24,34,4,1,2,3,nnnn nRR RR R RR R R
35、RR RRR依上述算法实现的相应C语言算法如下: floatrbg(float(*f)(),floata,floatb) floath,sum,R101101,err;inti,j,k,n;h=(b-a);R11=h*(f(a)+f(b)/2;n=100;for(i=1;i=n;i+)sum=0;for(k=1;k=2*i-2;k+)sum=sum+f(a+(k-0.5)*h)h=h/2;Ri1=0.5*(Ri-11+h*sum);for(j=2;j=i;j+)err=(Rij-1-Ri-1j-1)/(power(4,j-1)-1);Rij=Rij-1+err;err=(Rij-1-Ri-1j
36、-1)/(power(4,j-1)-1);Rij=Rij-1+err;if(abs(err)E)thenreturnRijreturn0 例421 计算抽样函数 的傅里叶变换。 解 式(4132)抽样函数的傅里叶变换可写为 sintSatt(4132)sinsinsinsincossinsin( ,)cossin( ,)sinj tttSatedttttttdtjtdttttD ttdtttS ttdtt这样我们可利用龙贝格算法求出该函数的数值解,程序如下: floatt;floatD1(floatw)returnsin(t)*cos(w*t)/t;floatS1(floatw)returnsin(t)*sin(w*t)/t;main()inti,a,b;a=LEFTVALUE;b=RIGHTVALUE;dt=STEP;t=STARTVALUE;for(i=1;in;i+)Di=rbg(D1,a,b);Si=rbg(S1,a,b);t=t+dt;
