1、北京四中 2021-2022 学年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 1 高三高三数学数学试卷试卷 （试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合(2)(1)0Axxx=+Z， 2,B = 1，那么AB等于 （A） 21 0 1， ， （B） 21 0， ， （C） 21， （D） 1 2已知 i 为虚数单位，则复数z =12i1 3i+对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 设R，则“sincos=”是“cos20=”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （
2、C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4. 三棱柱 ABCA1B1C1中，1AA 面ABC，ABBC. 则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ） A. 1AA和BC B. 1AB和1BC C. 1AB和BC D. AB和1BC 5. 设 E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且1=2AEAB，2=3BFBC， 如果=+EF mAB nAC（mn，为实数） ，那么mn+的值为 （A）12 （B）0 （C）12 （D）1 6若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230 xy=的距离为 A55 B2 55 C3 55 D4 55 北京四中 2021-2022 学
3、年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 2 7已知函数( )sin()(0)6f xx=+的最小正周期为4，则 A函数( )f x的图像关于原点对称 B函数( )f x的图像关于直线3x =对称 C函数( )f x图像上所有点向右平移3个单位后，所得图像关于原点对称 D函数( )f x在区间(0,)上单调递增 8. 设抛物线28yx=的焦点为 F，准线为l，P 为抛物线上一点，lPA ，A 为垂足. 若直线 AF 的斜率为3 ，则=PF （A） 34 （B） 6 （C） 8 （D）16 9 已知函数log,0,( )3 ,40axxf xxx=+ (0a 且1)a 若函数( )f x的
4、图像上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是 A(0,1) B(1,4) C(0,1)(1,)+ D(0,1)(1,4) 10. 数列na表示第n天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第n天的日增长率0.6nr =(*1nnnnaarna+=N，)当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率nr会发生变化 下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率nr的规律描述正确的是 5 10 15 0 400 800 1200 时间（天） 理想 实际 数量（个） 北京四中 2021-2022 学年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 3 二、
5、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11. 在2532()xx+的展开式中，常数项为_ （用数字作答）. 12. 在数列na中，111,2nnaaa+= ，则100S=_ 13. 双曲线22221(0,0)xyabab=的渐近线为等边三角形OAB的边,OA OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且| 2AB =，则a =_ 14. 如图所示，点D在线段AB上，30CAD=， 50 ,4CDBDB=. 若再给出一条线段的长度， 可以使ABC唯一确定，这个线段可以是_. （只需写出代表该线段的字母，无需给出长度） 15已知曲线C的方程是22|()()8xyxyxy+
6、=，给出下列三个结论： 曲线 C 与两坐标轴有公共点； 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； 若点 P，Q在曲线 C 上，则|PQ的最大值是6 2； 曲线 C 围成图形的面积大小属于区间(40,44). 所有正确结论的序号是_ ADBC北京四中 2021-2022 学年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 4 三、解答题（共三、解答题（共 85 分）分） 16. （本小题满分 13 分） 在ABC 中，sin2sinAB=，2b =再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并解决下面的问题： （）求角B的大小； （）求ABC的面积 条件：4c =；
7、条件：2222bacac=； 条件：cossinaBbA= 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 17.（本小题满分 14 分） 如图所示的多面体中，面ABCD是边长为 2 的正方形，平面PDCQ平面ABCD，PDDC，EFG， ，分别为棱，BCADPA的中点. （）求证：EG平面PDCQ； （）已知二面角PBFC的余弦值为66， 求四棱锥PABCD的体积 CBPGFDEQA北京四中 2021-2022 学年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 5 18.（本小题满分 13 分） 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标
8、准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗. 某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图： （）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； （） 从2020年6月至12月中随机选取2个月， 记X为这2个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数. 求X的分布列及数学期望； （）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量
9、为a吨. 当a为何值时， 自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明） 0123456回收量(单位：吨)月份北京四中 2021-2022 学年度寒假高三年级阶段性检测数学学科 共 6 页 6 19 （本小题满分 15 分） 已知函数21( )e() (0)kxf xxxkk=+. （）求( )f x的单调区间； （） 是否存在实数k， 使得函数( )f x的极大值等于23e？若存在， 求出k的值；若不存在，请说明理由. 20.（本小题满分 15 分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，点(2,1)T在椭圆上
10、与OT 平行的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，直线 TP，TQ 分别与 x 轴正半轴交于M，N 两点. （）求椭圆C的方程； （）求证：|OMON+为定值 21.（本小题满分 15 分） 设正整数数列12:,(3)NA a aaN满足ijaa，其中1ijN . 如果存在 2,3,kN，使得数列 A 中任意 k 项的算术平均值均为整数，则称 A 为“k 阶平衡数列”. （）判断数列 2，4，6，8，10 和数列 1，5，9，13，17 是否为“4 阶平衡数列”（直接写出结论） ； （） 若 N 为偶数， 证明： 数列1,2,3,N不是 “k 阶平衡数列” ,2,3,kN ；（I）如果2019Na ，且2,3,kN , 数列 A 均为“k 阶平衡数列” ，求数列A 中所有元素之和的最大值.
