1、理数第页1哈尔滨市第九中学哈尔滨市第九中学 2021-20222021-2022 学年度下学期学年度下学期开学开学考试考试高三高三数学理科试卷数学理科试卷本试卷分为本试卷分为第第 I I 卷卷（选择题选择题）和和第第卷卷（非选择题非选择题） ，满分满分 150150 分分，考试时间考试时间 120120 分钟分钟第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分分) )一、一、选择题（选择题（本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分）1已知集合已知集合23 |7100|Mx xNx xx ，则，则 MN=（）A2,3B3,5C5，D2,)2
2、在复平面内在复平面内， 已知平行四边形已知平行四边形OABC的三个顶点的三个顶点 O， A， C 对应的复数分别为对应的复数分别为 0，24i，32i ，则点则点 B 对应的复数为（对应的复数为（）A16i B16iC5iD15i 3 已知命题已知命题p： 若若2bac， 则则abc， ，成等比数列成等比数列； 命题命题q：00,2x， 使得使得0013sincos122xx，则下列为真命题的是（则下列为真命题的是（）A()pqBpqC()pq D()()pq 4设设 x，y 满足约束条件满足约束条件36204xyxyxy，则，则2zyx的最大值为（的最大值为（）A2B3C4D55.干支纪年，
3、是指中国纪年历法，至迟在东汉初期已经普遍使用，直到今天没有间断过干支纪年，是指中国纪年历法，至迟在东汉初期已经普遍使用，直到今天没有间断过.干支实干支实际上是际上是“天干天干”和和“地支地支”的合称的合称.甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 戊戊 己己 庚庚 辛辛 壬壬 癸十个字叫做癸十个字叫做“天干天干”；子子 丑丑 寅寅 卯卯 辰辰 巳巳 午午 未未 申申 酉酉 戌戌 亥十二个字叫做亥十二个字叫做“地支地支”.把天干中的一个字摆在前面把天干中的一个字摆在前面， 后面配上地支中的后面配上地支中的一个字，这样就构成一对干支一个字，这样就构成一对干支.如果天干以如果天干以“甲甲”字开始，地支以字开始，地支以
4、“子子”字开始顺序组合，我们就可字开始顺序组合，我们就可以得到六十对干支：甲子以得到六十对干支：甲子 乙丑乙丑 丙寅丙寅 丁卯丁卯.癸亥，称为癸亥，称为“六十花甲子六十花甲子”.干支纪年在我国历史学干支纪年在我国历史学中广泛使用中广泛使用， 特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争例如甲午战争 戊戌变戊戌变法法 辛亥革命等等辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度， 建立了中国建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观
5、念开始深入人心；历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949 年中华人民共和国的年中华人民共和国的成立标志着中国新民主主义革命取得胜利，开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百成立标志着中国新民主主义革命取得胜利，开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人家的主人.1949 年用干支纪年法表示，是（年用干支纪年法表示，是（）A戊子年戊子年B己丑年己丑年C庚寅年庚寅年D己酉年己酉年6已知直线已知直
6、线1:240laxy与直线与直线2:320lxay，若，若12ll，则，则a（）A1 或或 2B1C1或或2D17在数列在数列 na中中，120a ，13nnaa（2n，*Nn） ，则数列则数列 na的前的前 n 项和取最大值时项和取最大值时，n 的值是（的值是（）A7B8C9D10831cos10sin550等于（等于（）A2B2C4D49数学家欧拉于数学家欧拉于 1765 年在其著作年在其著作三角形中的几何学三角形中的几何学首次指出首次指出：ABC 的外心的外心 O，重心重心 G，垂心垂心 H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称，依次位于同一条直线上
7、，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线为欧拉线.若若 AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（，则下列各式不正确的是（）A40.AG BC B2GOGH C60AO BC DOHOAOBOC 10若二项式若二项式2651()5xx的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为m，则，则21(2 )mxx dxA13B13C23D2311已知已知P，Q分别是正方体分别是正方体1111ABCDABC D的棱的棱1BB，1CC上的动点上的动点(不与顶点重合不与顶点重合)，则下列，则下列结论错误的是（结论错误的是（）AABPQB1AD与与PQ不会相交不会相交C四面体四面体ABPQ的
8、体积为定值的体积为定值D/ /AP平面平面11CDDC12. 已知已知)2lg(ln,2, 2ln2lncba，则，则A.acbB.bcaC.bacD.abc第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分）二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13 已知已知2,3A，4, 3B， 点点 P 在线段在线段 AB 的延长线上的延长线上， 且且32APPB ， 则则点点 P 的坐标的坐标_.14伟大出自平凡，英雄来自人民伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会 6
9、 名男生名男生和和 8 名女生骨干成员中选出名女生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用用A表示事件表示事件“抽到抽到的的2 名队长性别相同名队长性别相同”，B表示事件表示事件“抽到的抽到的 2 名队长都是男生名队长都是男生”，则，则|P B A _.15在正三棱锥在正三棱锥PABC中，中，3PAPBPC，侧棱，侧棱PA与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60，则该则该三棱锥外接球的体积为三棱锥外接球的体积为_.理数第页216数列数列 na中，中，*1132,22nnaannN ，且，且11a ，记数列，记数列 na的前的前n项和为项
10、和为nS，若，若34nSn对任意的对任意的*nN恒成立，则实数恒成立，则实数的最大值为的最大值为_三、解答题三、解答题 ( (本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分) )17.( (本本小题小题 1212 分分) )已知已知cba,分别为分别为ABC三个内角三个内角CBA,的对边的对边，且且.32, 1,7Aca(1)求求b及及ABC的面积的面积S.(2)若若D为为BC边上一点，且边上一点，且_ ，求，求ADB的正弦值的正弦值.从从1AD,6CAD这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.18.( (本本小题小题 1212 分
11、分) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥 SABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形是矩形，平面平面 ABCD平面平面 SBC，SBSC，M 是是 BC 的中点，的中点，AB1，BC2.(1)求证：求证：AMSD.(2)若二面角若二面角 BSAM 的正弦值为的正弦值为63，求四棱锥，求四棱锥 SABCD 的体积的体积.19.19.( (本本小题小题 1212 分分) )已知点已知点 F 为椭圆为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点的左焦点，且且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4y21 与椭圆与椭圆 E 有且仅有一个交点有且
12、仅有一个交点 M.(1)求椭圆求椭圆 E 的方程的方程.(2)设直线设直线x4y21 与与 y 轴交于轴交于 P， 过点过点 P 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 E 交于不同的两交于不同的两点点 A，B，若，若|PM|2|PA|PB|，求实数，求实数的取值范围的取值范围.20.20.( (本本小题小题 1212 分分) )为评估设备为评估设备M生产某种零件的性能生产某种零件的性能，从设备从设备M生产零件的流水线上随机抽生产零件的流水线上随机抽取取 100 件零件作为样本件零件作为样本，测量其直径后测量其直径后，整理得到下表：整理得到下表：直径直径/mm585961626364656667686
13、9707173合计合计件数件数11356193318442121100经计算经计算，样本的平均值样本的平均值65，标准差标准差2 . 2，以频率值作为概率的估计值以频率值作为概率的估计值(1)为评判一台设备的性能为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为记其直径为X，并根据以并根据以下不等式进行评判下不等式进行评判(P表示相应事件的概率表示相应事件的概率)：6826. 0XP；9544. 022XP；9974. 033XP.评判规则为评判规则为：若同时满足上述三个不等式若同时满足上述三个不等式，则设备等级则设备等级为甲为甲；仅满足其中两个
14、仅满足其中两个，则等级为乙则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级的性能等级(2)将直径小于等于将直径小于等于2或直径大于或直径大于2的零件认为是次品的零件认为是次品从设备从设备M的生产流水线上随意抽取的生产流水线上随意抽取 2 件零件件零件，计算其中次品个数计算其中次品个数Y的数学期望的数学期望 YE；从样本中随意抽取从样本中随意抽取 2 件零件件零件，计算其中次品个数计算其中次品个数Z的数学期望的数学期望 ZE21.21.( (本本小题小题 1212 分分) )设函数设函数
15、.01ln1xxxxf(1)若若 1xkxf恒成立，求整数恒成立，求整数k的最大值的最大值.(2)求证：求证： .1132121132 nenn请考生在请考生在 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( (本本小题小题 1010 分分) )在极坐标系中在极坐标系中， 曲线曲线C的方程的方程044sin222， 以极点以极点O为原为原点点，极轴为极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系轴正半轴建立平面直角坐标系xoy，直线直线0sincos:为参数，ttytxl(1)求曲线求曲线C的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)设直线
16、设直线l与曲线与曲线C相交于相交于BA,两点两点，求求OBOA 的取值范围的取值范围23.( (本本小题小题 1010 分分) )已知函数已知函数 321xxxf.(1)画出画出 xfy 的图象；的图象；(2)求不等式求不等式 1xf的解集的解集1哈尔滨市第九中学 2021-2022 学年度下学期开学考试高三数学理科答案1-12DAACBBACADCD32.16;34.15;4315.14;15, 8.1319.(1)由题意，得由题意，得 a2c，b 3c，则椭圆，则椭圆 E 为为x24c2y23c21。由由x24y23c2，x4y21，得得 x22x43c20。因为直线因为直线x4y21 与
17、椭圆与椭圆 E 有且仅有一个交点有且仅有一个交点 M，所以，所以44(43c2)0c21，所以椭圆所以椭圆 E 的方程为的方程为x24y231。(2)由由(1)得得 M1，32 ，因为直线，因为直线x4y21 与与 y 轴交于轴交于 P(0,2)，所以，所以|PM|254，2当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，|PA|PB|(2 3)(2 3)1，所以，所以|PM|2|PA|PB|45，当直线当直线 l 与与 x 轴不垂直时，设直线轴不垂直时，设直线 l 的方程为的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由由ykx23x24y2120(34k2)x216kx40，依题
18、意得，依题意得，x1x2434k2，且，且48(4k21)0，所以，所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)434k21134k254，所以，所以451134k2，因为，因为 k214，所以，所以451。综上所述，。综上所述，的取值范围是的取值范围是45，1。20.(1)依题意，62.8，67.2，260.6，269.4，358.4，371.6，由题表可知 P(0.682 6，P(2X2)941000.940.954 4，P(3X3)981000.980.997 4，该设备 M 的性能等级为丙(2)由题表知直径小于或等于2的零件有 2 件，大于2的零件有 4 件，共计 6 件从设备 M
19、的生产流水线上任取一件，取到次品的频率为6100350，依题意 YB2，350 ，故 E(Y)2350325.从 100 件样品中任意抽取 2 件，次品数 Z 的所有可能取值为 0，1，2.P(Z0)C60C942C10021 4571 650，P(Z1)C61C941C10021881 650，P(Z2)C62C940C100251 650，E(Z)01 4571 65011881 650251 6501981 650325.322.(1)由22 2sin4 40 得，22cos2sin40，所以 x2y22x2y40，即曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)26.(2)将直线 l 的
20、参数方程代入 x2y22x2y40 并整理得t22(sincos)t40，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t22(sincos)，t1t240.|OA|OB|t1|t2|t1t2|2(sincos)|2 2sin4 |，因为 0，所以4454，从而得22 2sin4 2 2.所以|OA|OB|的取值范围是0，2 2423.(1)f(x)x4，x1，3x2，132.yf(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5，故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为x|x5.所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5
