1、专题专题 0404 二次函数二次函数 y yax2ax2bxbxc c 的图象和性质的图象和性质专题综述确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶
2、点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求熟悉了二次函数的定义和解析式，掌握了二次函数的图象画法高中课程要求掌握二次函数在一个闭区间上的最值求法，会求二次函数的解析式，会通过图象分析性质知识精讲高中必备知识点高中必备知识点 1：二次函数图像的伸缩变换：二次函数图像的伸缩变换问题函数函数 yax2与与 yx2的图象之间存在怎样的关系？的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y12x2，y2x2的图象
3、，通过这些函数图象与函数 yx2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的图象之间所存在的关系先画出函数 yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图象可以由函数 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y12x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx2的图象之间的关系通过
4、上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函二次函数数yax2(a0)的图象可以的图象可以由由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的图象各点的纵坐标变为原来的的a倍得到倍得到 在二次函在二次函数数yax2(a0)高中必备知识点高中必备知识点 2：二次函数图像的平移变换：二次函数图像的平移变换函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地， 我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系 同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象（如图 22 所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2的图象向左平移一个单位， 再向上平移一个单位， 就可以得
5、到函数 y2(x1)21 的图象 这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数二次函数 ya(xh)2k(a0)中中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右决定了二次函数图象的左右平移，而且平移，而且“h 正左移，正左移，h 负右移负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，正上移，k 负下移负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y
6、ax2bxc(a0)的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba224()24bbaca xaa，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当）当 a0 时，函数时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线，对称轴为直线 x2ba；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而减小的增大而减小；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而增大的增大而增大；当当 x2ba时
7、时，函数取最小值函数取最小值 y244acba（2） 当当 a0 时时， 函函数数 yax2bxc 图象开口向下图象开口向下； 顶点坐标为顶点坐标为24(,)24bacbaa， 对称轴为直对称轴为直线线 x2ba；当当 x2ba时，时，y 随着随着 x 的增大而增大；当的增大而增大；当 x2ba时，时，y 随着随着 x 的增大而减小；当的增大而减小；当 x2ba时，函数取时，函数取最大值最大值 y244acba典例剖析高中高中必备知识必备知识点点 1：二次函数：二次函数图像的伸缩图像的伸缩变换变换【典型例题】二次函数 y ? ax? bx ? c?a ? ?的图象如图所示，有下列结论：abc
8、? ?；a ? b ? c ? ?；a ?；b ? ?，其中正确的结论个数是?A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】C【解析】由图象可得，a ? ?，b ? ?，c ? ?，? abc ? ?，故错误，当 x ? ? 时，y ? a ? b ? c ? ?，故正确，当 x ? ? 时，y ? a ? b ? c ? ?，由 a ? b ? c ? ? 得，a ? c ? ? ? b，则 a ? b ? c ? ?a ? c? ? b ? ? ? b ? b ? ?，得 b ? ?，故正确，?b?a? ?，a ? ?，得 a ?b?，故正确，故选：C【变式训练】下列说法错误的是()A二次函数
9、y=2x2中，当 x=0 时，y 有最大值是 0B二次函数 y=4x2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大C在三条抛物线 y=2x2，y=0.5x2，y=x2中，y=2x2的图象开口最大，y=x2的图象开口最小D不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-20，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确；B、二次函数 y=4x2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|-1|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论 a 是正数还
10、是负数，抛物线 y=ax2（a0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确故选 C【能力提升】抛物线 y=?x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是（）Ay=?x2By=3x2Cy=x2Dy=2x2【答案】A【解析】二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，抛物线 y=?x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是 y=?x2，故选 A高中高中必备知识必备知识点点 2：二次函数：二次函数图像的图像的平移变换平移变换【典型例题】如图，已知抛物线 C1：yx2+4，将抛物线 C1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 C2（1）求出抛物线
11、 C2的函数表达式；（2）现将抛物线 C1向左平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A，B；将抛物线 C2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x 轴交点从左到右依次为 D，E在平移过程中，是否存在以点 A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）yx24（2）当 m3 时，以点 A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形【解析】（1）抛物线 C1的顶点为（0，4） ，沿 x 轴翻折后顶点的坐标为（04） ，抛物线 C2的函数表达式为 yx24；（2）存在连
12、接 AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（m，4） ，N（m，4） ，M，N 关于原点 O 对称 OMON，原 C1、C2抛物线与 x 轴的两个交点分别（2，0） ， （2，0） ，A（2m，0） ，E（2+m，0） ，A，E 关于原点 O 对称，OAOE四边形 ANEM 为平行四边形，AM222+4220，ME2（2+m+m）2+424m2+8m+20，AE2（2+m+2+m）24m2+16m+16，若 AM2+ME2AE2，20+4m2+8m+204m2+16m+16，解得 m3，此时AME 是直角三角形，且AME90，当 m3 时，以点 A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形【变式训练】
13、如图， 抛物线? ? ? ? 与 ? 轴的负半轴相交于点 ?， 将抛物线?平移得到抛物线? ? ? t? ? ?，?与?相交于点 ?，直线 ? 交?于点 ?h，?，且 ? ? ?.(1)求点 ?，?，? 的坐标；(2)写出一种将抛物线?平移到抛物线?的方法；(3)在 ? 轴上找点 ?，使得 ? ? ? 的值最小，求点 ? 的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将?向右平移 5 个单位，再向上平移 5 个单位得到?；(3)P(0，?).【解析】（1）M1：y=x2-4 与 x 轴的负半轴相交于点 A，A（-2，0） ，AB=BC，C（8，m） ，? ?，设
14、AB 直线解析式为 y=kx+b? ? ?t? t? ?t? tt ?t ? ? ? ?，y=x2-4 与 ? ? ?相交于点 A 和 B，? ? ? ? ? ? ? ? ?m=10，B（3，5） ，C（8，10） ；（2）抛物线 M1平移得到抛物线 M2，a=1，B（3，5） ，C（8，10）在抛物线 y=x2+bx+c 上，? ? l ? ?t? ? ? ? ht ? ?t ? ? ? ?y=x2-10+26=（x-5）2+1，由 M1平移得到抛物线 M2先向右平移 5 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度；（3）作点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 CB与 y 轴的交点即为 P，B
15、（-3，5） ，设直线 BC 的直线解析式为 y=mx+n，? ? ?t? t? ? ht ? t?t ?t ? ? ? ? ? ?.【能力提升】已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 B（1，0）和点 C（2，3） （1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（2，1） ，试确定平移的方向和平移的距离【答案】 （1）yx2+2x+3； （2）将抛物线向上平移 4 个单位【解析】（1）把 B（1，0）和点 C（2，3）代入 yx2+bx+c 得? ? ? t ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ?，解得t ? ? ? ?，所以抛物线解析式为 yx2+2x+3；（2）把 x2
16、 代入 yx2+2x+3 得 y44+35，点（2，5）向上平移 4 个单位得到点（2，1） ，所以需将抛物线向上平移 4 个单位对点精练1点( , )P a b在抛物线2(1)1yx 上，若01a，关于 a，b 的数量关系，下列描述正确的是（）AabBbaCbaD无法确定【答案】A解：( , )P a b在2(1)1yx 上，2(1)1ab ，a b2(1)1aa2aa(1)a a，01a10a ，(1)0a a ，0ab，ab故选 A2若 a、b 是关于 x 的方程 x22tx+t22t+40 的两实根，则（a+2） （b+2）的最小值为（）A7B10C14D16【答案】D解：方程 x22
17、tx+t22t+40 有实数根，（2t）241（t22t+4）0，t2.a、b 是关于 x 的方程 x22tx+t22t+40 的两实根，a+b2t，abt22t+4，（a+2） （b+2）ab+2a+2b+4ab+2（a+b）+4t22t+4+4t+4t2+2t+8（t+1）2+7.10，t2，当 t2 时， （a+2） （b+2）的值随 t 的增大而增大，当 t2 时， （a+2） （b+2）取得最小值，最小值（2+1）2+716.故选：D.3如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线22:()nCyxnn（n为正整数） ，若1C和nC的顶点的连线平行于直线10yx，则该条抛物线对应的n的
18、值是（）A8B9C11D10【答案】B解：当 x=1 时，抛物线 C1的顶点坐标为（1,1）1C和nC的顶点的连线平行于直线10yx，设直线1CnC的解析式为10yx+b，将点 C1的坐标（1,1）代入，得 10+b=1，解得 b=-9，直线1CnC的解析式为10yx-9，将抛物线 Cn的顶点坐标为（n，2n）代入，得2109nn，解得 n=1 或 n=9故选：B4关于抛物线21yxbx，有以下结论：当1b 时，抛物线过原点；抛物线必过点0,1；顶点的纵坐标最大值为 1；若当1x 时，0y ，当2x 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是24b 错误结论的序号是（）ABCD【答案】A解：当1
19、b 时，21yxx，当 x=0，y=1, 抛物线不过原点，故不正确；当 x=0 时，200 1 1yb ，抛物线必过点0,1；故正确；21yxbx=22124bbx,顶点的纵坐标214b104，开口朝下，有最大值为 1，顶点的纵坐标最大值为 1，故正确；当1x 时，0y ，2110b ，即2b ，当2x 时，y随x的增大而减小，22b ，4b ，b的取值范围是24b 故正确故选择 A5对于二次函数212yx的图象，下列说法正确的是（）A开口向下B对称轴是直线1x Cy有最大值为 2D当1x时，y随x增大而增大【答案】D解：Aa=1，故函数开口向上，故错误；B对称轴是直线 x=1，故错误；Cx=
20、1 时，y 有最小值 2， ，故错误；Dx1 时，为对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，故正确；故选 D6已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；4a2b+c y2 y3解：y=-（x+1）2+3，图象的开口向下，对称轴是直线 x=-1，A（-2，y1）关于直线 x=-1 的对称点是（0，y1） ，012，y1 y2 y3故答案为：y1 y2 y314设12,Ay，21,By，32,Cy是抛物线2(1)yxk上的三点，则1y，2y，3y的大小关系为_【答案】231yyy解：抛物线 y=-（x+1）2+k，对称轴为 x=-1，A
21、（-2，y1） ，A 点关于 x=-1 的对称点 A（0，y1） ，a=-10，在 x=-1 的右边 y 随 x 的增大而减小，A（0，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3） ，012，y1y2y3，故答案为：231yyy15若 A（m-2，n） ，B（m+2，n）为抛物线2()2020yxh 上两点，则 n=_【答案】2016解：A（m-2，n） ，B（m+2，n）是抛物线2()2020yxh 上两点，抛物线2()2020yxh 的对称轴为xh，m-2+m+2=2h，解得 m=h，A（h2，n） ，B（h2，n） ，当 xh2 时，n（h2h）220202016，故答案为：201616函
22、数22421234yxxxx的最小值是_【答案】5解：如图，平面直角坐标系中，点 A 坐标为, a b，点 B 坐标为, c d，作直线 ACy 轴，作 BCx 轴交于点 C，则点 C 坐标为, a d，在 RtABC 中，2222ABBCACacbd，此公式表示已知平面直角坐标系两点坐标，即可求出这两点的距离222222242221234=2102yxxxxxxxx，y 表示的几何含义为抛物线 yx2上的一点 P（x，x2）到点 A（2，1）和点 B（0，2）的距离之和，即 yAP+PBAB，如图，当且仅当 A、P、B 三点共线时，y 取得最小值222012AB =5故答案为：517 已知点
23、A B、都在二次函数20yaxa上，A B、的横坐标分别为0mnmn、， 过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为MN、，当点A在线段MN上时，mn的值为_【答案】512解：过点A作AEOM，过 B 作BNy轴于 N，BMx轴于 M，因为点A在线段MN上，所以AEMMBN，2AEam， EMnmBNn，2BMan22nmamnan，化简得：220mmnn，化为210mmnn ，152mn （舍负） ，512mn故答案为：51218定义符号min a,b的含义为：当ab时，min a,bb；当ab时，min a,ba.如：min 1, 33，min4, 2 =4.则2minx2, x的最大值是_
24、【答案】512解：在同一坐标系 xOy 中，画出函数二次函数 y=-x2+1 与正比例函数 y=-x 的图象，如图所示,设它们交于点 A、B，令-x2+1=-x，即 x2-x-1=0解得:x=152或512A（152,51 2）,B（512,51 2） ，观察图象可知：当 x152时，min-x2+1，-x=-x2+1，函数值随 x 的增大而增大，其最大值为512，当152x512时，min-x2+1，-x=-x，函数值随 x 的增大而减小，没有最大值；当 x512时，min-x2+1，-x=-x2+1，函数值随 x 的增大而减小，最大值为152 综上所示，min-x2+1，-x的最大值是51
25、2，故答案为：51 219已知当 x=m 和 x=n 时，多项式 x24x+1 的值相等，且 mn，则当 x=m+n3 时多项式 x24x+1 的值为_【答案】2x=m 和 x=n 时，多项式 x24x+1 的值相等，y=x24x+1 的对称轴为直线 x=2mn=42 1，解得：m+n=4，x=m+n3=43=1，x24x+1=1241+1=2故答案为220如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM45，点 F 在射线AM 上，且 AF2BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EF、EG则下列结论：ECF45；AEG的周长为（1+
26、22）a；BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值是18a2；当时 BE13a，G 是线段 AD 的中点其中正确的结论是_【答案】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EHBEBH，EBH90，EH2BE，AF2BE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS） ，EFEC，AEFECB，ECH+CEB90，AEF+CEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH（SAS） ，ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH
27、，GCEGCH（SAS） ，EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误，AEG 的周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误，设 BEx，则 AEax，AF2x，SAEF12（ax）x12x2+12ax12（x2ax+14a214a2）12（x12a）2+18a2，120，x12a 时，AEF 的面积的最大值为18a2故正确，当 BE13a 时，设 DGx，则 EGx+13a，在 RtAEG 中，则有（x+13a）2（ax）2+（23a）2，解得 x2a，AGGD，故正确，故答案为：21已知函数 y（k2）245kkx是关于 x 的二次
28、函数，求：（1）满足条件的 k 的值；（2）当 k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？（3）当 k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当 x 为何值时，y 与 x 的增大而减小？【答案】 （1）1213kk， ； （2）k1，最高点为（0，0） ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； （3）k3，最小值为 0，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小解： （1）函数 y（k2）245kkx是关于 x 的二次函数，k 满足245 2kk ，且 k20，解得：1213kk， ；（2）抛物线有最高点，图象开口向下，即 k20，结合（1
29、）所得，k1，最高点为（0，0） ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大（3）函数有最小值，图象开口向上，即 k20，k3，最小值为 0，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小22定义新运算：对于任意实数 m，n 都有2mnmmnn ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：2323322 17 - - -根据以上知识解决问题：（1）若3 1x ，求 x 的值；（2）求抛物线21yx的顶点坐标；（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180，写出得到的新的抛物线解析式【答案】 （1）121,2xx； （2）顶点坐标（52，54） ； （3）255()24yx 解： （1）根据题意，得23
30、3 1xx-，移项、合并同类项，得232 0 xx-，整理，得(1)(2)0 xx，解得：1212xx，；（2）根据题意知，2(2)(2)( 1)( 1)yxx 整理得：225555()24yxxx所以，顶点坐标（52，54） ；（3）根据题意知，新的抛物线解析式为225555()=()2424yxx 23 （1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数2yx=和21yx的图象；x-3-2-101232yx=_21yx_（2）分别写出它们顶点坐标【答案】 （）见解析； （2）二次函数2yx=的顶点坐标为(0,0)，2(1)yx的顶点坐标为( 1,0)解： （1）列表：x-3-2-101232y
31、x=941014921yx41014916在同一直角坐标系中画出二次函数2yx=和21yx的图象如图：（2）二次函数2yx=的顶点坐标为(0 )0，2(1)yx的顶点坐标为( 10) ，；24已知二次函数 yx22x3（1）求该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标（2）当1x5 时，则 y 的范围是y（直接写出答案） 【答案】 （1）二次函数的图象与 x 轴的交点坐标是（3，0） 、 （1，0） ； （2）4；12（1）二次函数 yx22x3（x3） （x+1）该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标是(3，0)、(1，0)；（2）由二次函数 yx22x3（x1）24 知，该抛物线的顶点坐标是(1，
32、4)且开口方向向上该抛物线的大致图象如下：当 x5 时，y12当 x1 时，y4所以当1x5 时，则 y 的范围是4y12故答案是：4；1225如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是_；（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜这个游戏公平吗？请说明理由【答案】 （1）12； （2）不公平，见解析（1）卡片 A
33、 上的函数为12yx ，为减函数，y随x的增大而减小；卡片 B 上的函数为10yxx ，为增函数，y随x的增大而增大；卡片 C 上的函数为230yxx，为增函数，y随x的增大而增大；卡片 D 上的函数为5yx，为减函数，y随x的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率为2142（2）不公平理由如下，根据题意列表得：卡片 A卡片 B卡片 C卡片 D卡片 AABACAD卡片 BABBCBD卡片 CACBCCD卡片 DADBDCD卡片 A，卡片 D 上的函数为减函数，卡片 B，卡片 C 上的函数为增函数，由表可知总共有 12 中等可能的结果，抽出的两张卡片
34、上的函数增减性相同的概率为41123；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是82123，2133，不公平26在平面直角坐标系中，已知抛物线2:21(0)C yaxxa和直线 l:y=kx+b，点 A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线 l 上（1）若抛物线 C 与直线 l 有交点，求 a 的取值范围；（2）当 a=-1，二次函数221yaxx的自变量 x 满足 mxm+2 时，函数 y 的最大值为-4，求 m 的值；（3）若抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点，请直接写出 a 的取值范围【答案】 （1）a98且 a0； （2）m=-3 或 m=3； （3）4998a或 a-2；解：
35、（1）点3, 3A ，1, 1B代入ykxb，133kbkb ，1232kb ，1322yx；联立221yaxx与1322yx，则有22310axx ，抛物线C与直线l有交点，980a ，a98且 a0；（2）根据题意可得，221yxx ，0a ，抛物线开口向下，对称轴1x ，2mxm时，y有最大值，当4y 时，有2214xx ，1x 或3x ，在1x 左侧，y随x的增大而增大，21xm 时，y有最大值4，3m ；在对称轴1x 右侧，y随x最大而减小，3xm时，y有最大值4；综上所述：m=-3 或 m=3；（3）0a 时，1x 时，1y ，即2a ；0a 时，3x 时，3y ，即49a ，直线
36、AB的解析式为1322yx，抛物线与直线联立：2132122axxx ，231022axx，9204a，98a，a的取值范围为4998a或 a-2.27已知抛物线224yxxc与x轴有两个不同的交点.(1)求c的取值范围；(2)若抛物线224yxxc经过点2,Am和点3,Bn，试比较m与n的大小，并说明理由.【答案】(1)c的取值范围是2c； (2)mn. 理由见解析.(1)2244816 8baccc .由题意，得240bac，16 80cc的取值范围是2c.(2)mn. 理由如下:抛物线的对称轴为直线1x ，又20a ，当1x时，y随x的增大而增大.23，mn.28已知抛物线22yxbxc
37、= -+经过点01A,、1, 5B（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成22yxmk 的形式，并写出顶点坐标与对称轴【答案】 （1）2241yxx ； （2）2213yx ，顶点坐标为：1,3，对称轴为：直线1x 解： （1）由抛物线22yxbxc= -+经过点01A,、1, 5B两点可得：125cbc 解得：41bc ；抛物线的解析式为：2241yxx ；（2）2241yxx 2213x ；2213yx ，顶点坐标为：1,3，对称轴为：直线1x 29已知二次函数21722yxx（1）用配方法把该二次函数的解析式化为2ya xmk的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴
38、，并说明函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况【答案】 （1）21142yx ； （2）开口向下，顶点1,4，对称轴直线1x ，x-1 时，y随x增大而增大；x-1 时，y随x增大而减小解:(1)22171214222yxxx （2）二次函数开口方向向下，顶点坐标1,4，对称轴直线1x ，x-1 时，y随x增大而增大；x-1 时，y随x增大而减小30已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，且过点 C（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）若这条抛物线平移后的顶点落在 x 轴上，请写出一种平移的方法，并写出平移后的抛物线的表达式【答案】 （1）yx2+4x3； （2）向下平移 1 个单位；yx2+4x4解： （1）由题意可设抛物线的解析式为：ya（x1） （x3） ，把 C（0，3）代入，可得 3a3，解得：a1，抛物线的解析式为：y（x1） （x3）x2+4x3；（2）由（1）得 yx2+4x3，化为顶点式为 y（x2）2+1，将抛物线向下平移 1 个单位，即得到顶点落在 x 轴上的抛物线，新的抛物线的解析式为：y（x2）2，即 yx2+4x4
