1、专题03一元二次方程专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.
2、而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求初中课程要求能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理高中课程要求熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左
3、边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有(1)当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；（3）当0时，方程没有实数根高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根，则有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2
4、这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2(m1)x+2m1=0，其根的判别式为16，求m的值【变式训练】已知关于x的一元二次方程mx2(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1
5、，求m的值【能力提升】方程（x5）（2x1）=3的根的判别式b24ac= 高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请问一元二次方程x26x+80是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2）若一元二次方程x2+bx+c0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值【变式训练】求方程x22x20的根x1，x2（x1x2），并求x12+2x2的值【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m20有两根，(1)求m的取值范围；(2)若+0求m的值对点精
6、练1若直线yn截抛物线yx2+bx+c所得线段AB4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A1B2C25D42若实数a（a0）满足ab3，a+b+10，则方程ax2+bx+10根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有两个实数根3已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0x11，1x22，与y轴交于点（0，2）下列结论：2a+b1；3a+b0；ab2；a1其中正确结论的个数为（）A4B3C2D14如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第行有个点，前行的点数和不能是以下哪个结
7、果 （ ）A741B600C465D3005如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC2OB则下列结论： ； ，其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个6对于函数，我们定义（，为常数）例如：，则已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）A0BCD17若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABC且D且8已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的取值范围是（ ）ABCD9若关于x的一元二次方程x2+5x+m0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（）A5个B6个C7个D8个10已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，
8、且，则的值是（ ）A或BCD11如图，在矩形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示，则边的长为_12在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DEMN，cosAED，则BN的长为_13如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：BE+DFEF；CECF；AEB75；四边形面积2+，其中正确的序号是_14已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_（填序号）该二次函数的图象一定过定点；若该函数图象开口向
9、下，则m的取值范围为：；当且时，y的最小值为；当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：15已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则_，_16关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是_17若实数a、b满足a28a+50，b28b+50，则a+b的值_18已知、是方程x22x10的两个根，则22_19若，且，则（1）的值为_；（2）的值为_20关于x的一元二次方程x2+（k3）x+1k0的根的情况是_21已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N（不妨设点M在点N的左侧）当时
10、，求线段的长；当时，若，求a的值；当时，若，直接写出a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在yx的图象上运动（不与O重合），连接AP过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标23在二次函数的复习课中，关于x的二次函数（），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）当时，则，；请判断上述结论是否正确，
11、并说明理由24已知关于x的一元二次方程（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，和和，试求的值25阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2材料二：对于实数a，b，若，则完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足求的最大值26已知关于的方程有两个实数根、（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值27已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解28已知关于x的方程有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根29解方程（1）（2）（3）解方程：30已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a0的两个实数根（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b+50，试求代数式x13+10x22+5x2b的值
