1、专题02分解因式专题综述课程要求因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因
2、式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法课程要求初中课程要求1、大大弱化了十字相乘法的学习.一般只接触过二次项系数为1的十字相乘法2、初中重点学习了提取公因式法、公式法，针对ax2+bx+c（a0）的因式分解，只学习了二次项系数为1的因式分解高中课程要求1、有大量二次项系数不为1的十字相乘法，会拆分多项式，用十字相乘法因式分解2、对于项数比较多
3、的多项式，要综合使用提取公因式法、分组分解法、十宇相乘法、公式法来进行因式分解，还会接触到拆项法、添项法等.针对ax2+bx+c（a0）的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解知识精讲高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相
4、乘法在二次三项式(0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符
5、号语言：3.提公因式的步骤：（1） 确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4.注意事项：因式分解一定要彻底高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.典例剖析高中必备知识点1：十字相乘法【典型例题】阅读与思考：将式子x26x+8分解因式 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由x2+p+qx+pq=x+px+q得x+px+q=x2+p+qx+pq，；分析：这个式子的常数项8=(2)(4)，一次项系数6=(2)+(4)，所以x26x+8=x2+(2)+(4)x+(2)(4).解：
6、x26x+8=(x2)(x4).法二：配方的思想. x26x+8 =x26x+99+8=（x3）21=（x3+1）（x31）=（x2）（x4）.请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：x210x+21；（2）任选一种方法分解因式：(x26)22(x26)3.【答案】（1）（x3）（x7）；（2）(x25）(x+3)(x3)【解析】（1）法一：x210x+21=（x3）（x7）, 法二：x210x+21 =x210x+2525+21 =（x5）24 =（x5+2）（x52） =（x3）（x7） , （2）(x26)22(x26)3=(x26+1）(x263) =(x25）(x2
7、9) =(x25）(x+3)(x3). 或(x26)22(x26)3=(x26)22(x26)+113=(x261)24 =(x27)24=(x27+2)(x272) =(x25)(x29)=(x25）(x+3)(x3) .【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn（x+m）（x+n）例如：x2+5x+6x2+（2+3）x+23（x+2）（x+3）运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2x6；（3）x25xy+6y2；（4）请你结合上述的
8、方法，对多项式x32x23x进行分解因式【答案】（1）x+2x+4；（2）(x+2)(x3)；（3）x2yx3y；（4）x(x3)(x+1).【解析】解：(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4)；(2)x2x6=(x+2)(x3)；(3)x25xy+6y2=(x2y)(x3y)；(4)x32x23x=x(x3)(x+1)故答案为：(1)x+2x+4；(2)(x+2)(x3)；(3)x2yx3y；(4)x(x3)(x+1).【能力提升】由多项式的乘法：(xa)(xb)x2(ab)xab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2(ab)xab(xa)(xb)实例分解因
9、式：x25x6x2(23)x23(x2)(x3)(1)尝试分解因式：x26x8；(2)应用请用上述方法解方程：x23x40.【答案】(1) (x+2)(x4)；(2) x4或x1.【解析】(1)原式=(x+2)(x4)；(2)x23x4(x4)(x1)0，所以x40或x10，即x4或x1.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x
10、+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x1）；(3) (x1)【解析】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ x(x+1)2004，=（1+x）1+x+x（1+x）+ x(x+1)2003= =（1+x）2005，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ x(x+1)2004，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005（3）分解因式：1+x+x（x+
11、1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1故答案为：（x+1）n+1【变式训练】因式分解：（1）16a24b2（2）x32x2+x（3）（a22b）2（12b）2【答案】（1）4（2a+b）（2ab）；（2）x（x1）2；（3）（a24b+1）（a+1）（a1）【解析】解：（1）原式4（4a2b2）4（2a+b）（2ab）；（2）x32x2+xx（x22x+1）x（x1）2；（3）（a22b）2（12b）2（a22b+12b）（a22b1+2b）（a24b+1）（a+1）（a1）【能力提升】分解因式：（1）4ab8b2+10b （2）2(nm)2m(mn)（3
12、）15y(ab)23y(ba)（4）6(mn)312(nm)2（5）x2+3x+1=0，求2x2010+6x2009+2x2008的值【答案】（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）5a-5b+1；（4）6（n-m）2（m-n-2）；（5）0【解析】（1）4ab8b2+10b = -2b（2a+4b-5）； （2）2(nm)2mmn=2nm2+mnm=（n-m）（2n-m）；（3）15y(ab)23yba=15yab2+3yab=3yab5a5b）+1（4）6(mn)312(nm)2=6(mn)312(mn)2=6(mn)2(mn2)（5）2x2010
13、+6x2009+2x2008=2x2008x2+3x+1=0高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解【典型例题】因式分解：x2+2x27x2+2x8【答案】x2x+4x+12【解析】解：原式x22x8x22x1x2x4x12【变式训练】分解因式：x2x2+x2x6【答案】（x2-x+3）（x+1）（x-2）【解析】原式=（x2-x+3）（x2-x-2）=（x2-x+3）（x+1）（x-2）【能力提升】阅读材料：对于多项式x22axa2可以直接用公式法分解为(xa)2的形式但对于多项式x22ax3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x22ax3a2
14、中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变解题过程如下：x22ax3a2x22ax3a2a2a2(第一步)x22axa2a23a2(第二步)(xa)2(2a)2(第三步)(x3a)(xa)(第四步)参照上述材料，回答下列问题：(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法()A提公因式法 B平方差公式法C完全平方公式法 D没有因式分解(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：_；(3)请你参照上述方法把m26mn8n2因式分解【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m2n)(m4n)【解析】(1)C；(2)平方差公式法；(3)m26mn8n2m26
15、mn8n2n2n2m26mn9n2n2(m3n)2n2(m2n)(m4n)对点精练1对于：；其中因式分解正确的是（ ）ABCD【答案】D解：，此项错误；，此项正确；，此项错误；，此项正确故选D2代数式因式分解为（）ABCD【答案】A解：故选：A3若多项式可因式分解为，其中、均为整数，则的值是（ ）A1B7C11D13【答案】B解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故选：B4下列因式分解正确的是（ ）ABCD【答案】C解：A，该选项分解错误，故不符合题意；B，该选项分解错误，故不符合题意；C，该选
16、项分解正确，故符合题意；D，该选项分解错误，故不符合题意；故选：C5已知中，若，且，则（ ）ABCD【答案】Ba2ab2b20，（a2b）（a+b）0，a2b，或ab（不符合题意），RtABC中，C90，c2a2+b24b2+b25b2，cb，a：b：c2b：b：b2：1：故选：B6下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）ABCD【答案】A解：A原式不能分解，符合题意；B原式，不符合题意；C原式，不符合题意；D原式，不符合题意；故选：A7如图，中，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（ ）ABCD【答案】B，由平移可知，AD=b，的面积比的
17、大，.故选B.8若，则与的大小关系为（ ）ABCD无法确定【答案】A，=0，故选A9如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如42202，124222，206242，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）A56B60C62D88【答案】B解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；D、若4(2m+1
18、)=88，解得m=，错误；故选：B10某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有种方案：第一次提价,第二次提价；第一次提价,第二次提价；第一次、第二次提价均为.其中和是不相等的正数.下列说法正确的是( )A方案提价最多B方案提价最多C方案提价最多D三种方案提价一样多【答案】C解：设，则提价后三种方案的价格分别为：方案:；方案:；方案:，方案比方案提价多：，和是不相等的正数，方案提价最多故选：C11若，则代数式的值等于_【答案】-3解：ab=3，a+b=-1，a2b+ab2=ab（a+b）=3（-1）=-3故答案为：-312若，则_【答案】4解：，当，原式=故答案为：413分解因式：_
19、【答案】原式，故答案为：14边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，则的值为_【答案】25解：边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，2（a+b）=10，ab=5，故a+b=5，则a2b+ab2=ab（a+b）=25故答案为：2515已知，则代数式的值为_【答案】解：，故答案为：16已知，则的值是_【答案】由平方得：，且，则：，由得：，同理可得：，原式=故答案为：17已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx1，且=4求的值为_【答案】1解：=4，z（x21）（y21）+x（y21）（z21）+y（z21）（x21）=4xyz，x2y2zx2zy2z+z+xy2z2xy2xz2+x+x
20、2yz2yz2x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz1）（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，xyz（xy+yz+xz1）（x+y+z）（xy+yz+zx1）=0，xyz（x+y+z）（xy+yz+zx1）=0xy+yz+zx1，xy+yz+zx10，xyz（x+y+z）=0，xyz=x+y+z，即的值为1故答案为：118已知，那么_【答案】22100解：=42925=（2+1）（2-1）+（4-3）（4+3）+（6-5）（6+5）+（50-49）（50+49）=（2+1）+（4+3）+（6+5）+50+49=127542925+1275=4420044200
21、2=22100.19通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：_【答案】解：由面积可得：故答案为20=_【答案】解：=21已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)；（2）画图见解析，；（
22、3）266解：(1)用面积和差计算得：；用长方形面积公式计算得：；可得等式为：；(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，；(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则，解得，即，图1中小长方形的面积为24，则，则，；拼成的长方形面积是26622若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”例如（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；（2）若b是a的“十字点”，且a能被整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；（3）m的“十字点”为p，
23、n的“十字点”为q，当时，求的值【答案】（1）40，12；（2）4；（3）10解：（1）“十字点”为7的“十字数”， ，130的“十字点”为12；（2）b是a的“十字点”，（b2且为正整数），a能被整除，能整除2，b-1=1或b-1=2，b2，b=3，；（3）m的“十字点”为p，（p2且为正整数），n的“十字点”为q，（q2且为正整数）， ，p2，q2且p、q为正整数；pq，p+q4；p+q-13；18=36=29， 或；解得：（不合题意舍去），；23发现与探索：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上
24、4，则代数式大于等于4，则有最小值为4说明：代数式的最小值为请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值【答案】（1）（a-10）（a-2）；（a-8）（a-2）；（a-5b）（a-b）；（2）见解析；28解：（1）a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=（a-6）2-42=（a-10）（a-2）；（a-1）2-8（a-1）+7=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7=（a-5）2-32=（a-8）（a-2）；a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=（a-3b）2-4b2=（a-5b）（a-b）；（2）a2-12a+20=a2-12a+36-3
25、6+20=（a-6）2-16，无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，则代数式（a-6）2-16大于等于-16，则a2-12a+20的最小值为-16；无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，则代数式-（a+1）2+8小于等于8，则-（a+1）2+8的最大值为8，-a2+12a-8=-（a2-12a+8）=-（a2-12a+36-36+8）=-（a-6）2+36-8=-（a-6）2+28无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，则代数式-（a-6）2+28小于等于28，则-a2+12a-8的最大值为2824把下列多项式分解因式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1
26、）；（2）；（3）；（4）解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=25如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=88，mn=10，m
27、2+n2=44，（m+n）2=m2+2mn+n2，（m+n）2=44+20=64，m+n0，m+n=8，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=48cm26因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）解：（1）=；（2）=27因式分解：（1）； （2） （3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）=；（3），=，=；（4），28分解因式：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式29用因式分解法解一元二次方程x25x6，下列是排乱的解题过程：x10或x60，x25x60，x11，x26，（x1）（x6）0（1）解题步骤正确的顺序是 ；（2）请用因式分解法解方程：（x3）（x1）12【答案】（1）；（2）x15，x23解：（1）x25x6，x25x60，（x1）（x6）0，则x10或x60，解得x11，x26，故答案为：；（2）（x3）（x1）12，x22x150，则（x5）（x3）0，x50或x30，解得x15，x23.30先化简，再求值：（1），其中x3【答案】，解：（1）=，将x3代入，则原式
