1、专题15 集合的概念学习目标1、通过实例，了解集合的含义2、理解元素与集合的“属于”关系3、针对具体问题，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.知识精讲高中必备知识点1：集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等知识点拨集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一(2)
2、互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合1,2,3与2,3,1表示同一集合高中必备知识点2：元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A知识点拨符号“”和“”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换高中必备知识点3：集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法例如：小于3的实数组成的集合(2)字母表示法：用一个大写
3、拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法典例剖析高中必会题型1：集合与元素的含义1下列各对象的全体，可以构成集合的是_（填序号）高一数学课本中的难题； 与1非常接近的全体实数；高一年级视力比较好的同学； 高
4、一年级中身高超过1.70米的同学【答案】因为所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而符合集合的概念.故答案为：2集合中元素的三大特征是_【答案】确定性、互异性、无序性一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性故答案为：确定性、互异性、无序性3判断（正确的打“”，错误的打“”）（1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.（_）（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.（_）（3）由1，1，1组成的集合中有3个元素.（_）【答案】 （1）因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定
5、性，所以不能构成集合.（2）根据集合相等的定义知，两个集合相等.（3）因为集合中的元素要满足互异性，所以由1，1，1组成的集合有2个元素1，1.故答案为：（1）； （2）； （3）.4下列每组对象能构成一个集合是_(填序号).（1）某校2019年在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5）的近似值的全体.【答案】（2）（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合.（2）任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；（4）“一
6、些点”无明确的标准，因此不能构成集合；（5）“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：（2）5下列说法中能构成集合的是_(填序号)2019年参加江苏高考的所有学生；2019年江苏高考数学试题中的所有难题；美丽的花；与无理数无限接近的数【答案】因为未规定“难”的标准，所以不能构成集合；同理“美丽”、“无限接近”都没有规定标准，所以不能构成集合；由于中的对象具备确定性、互异性，所以能构成集合故答案为：本题主要考查集合的概念，属于简单题.高中必会题型2：元素与集合的关系1用符号“”或“”填空（1）_， _， _（2）_Q（3）_【答案】 （1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然
7、数，则；（2）是有理数，则；不是有理数，则；（3）故答案为：（1），；（2），；（3）2给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：集合为闭集合；正整数集是闭集合；无理数集是闭集合；集合为闭集合.其中正确的是_.（填序号）【答案】中取，则，故不成立；中取，此时，不是正整数，故不成立；中取，则，不是无理数，故不成立；中取，则，故成立.故答案为：3集合A中的元素y满足yN且yx21，若tA，则t的值为_【答案】0或1因为,所以y=0或y=1,所以A=0,1，又tA，得到t=0或1；故答案为：0，1.4集合A中含有三个元素2,4,6，若aA，且6aA，那么a_.【答案】2或4
8、若a2，则624A；若a4，则642A；若a6，则660A.故a2或4.故答案为：2或45用适当的符号填空： _ ； 0 _ ； _ ； _【答案】 或 ； 0 ； 或； 故答案为：，或，高中必会题型3：集合中元素特性的简单应用1已知，求实数的值.【答案】因为所以或或解得或由集合元素的互异性可知且所以，2设A是由一些实数构成的集合，若aA，则 A，且1A，（1）若3A，求A.（2）证明:若aA，则.【答案】（1）;（2）证明见解析.(1)因为3A，所以，所以，所以，所以.(2)因为aA，所以，所以.3已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.（1）若-3是集合A中的元素，试求实数a的值；（2）
9、-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.【答案】（1）实数a的值为0或-1；（2）-5不能为集合A中的元素；答案见解析.（1）因为-3是集合A中的元素，所以-3=a-3或-3=2a-1.解得或，当a=0时，此时集合A含有两个元素-3，-1，符合要求；当a=-1时，此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合要求.综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.（2）若-5为集合A中的元素，则a-3=-5，或2a-1=-5.当a-3=-5时，解得a=-2，此时2a-1=2(-2)-1=-5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a-1=-5时，解得a=-2，此时a-3=-
10、5，显然不满足集合中元素的互异性.综上，-5不能为集合A中的元素.4集合A中共有3个元素4，2a1，a2，集合B中也共有3个元素9，a5，1a，现知9A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由【答案】存在，a3.9A，2a19或a29，若2a19，则a5，此时A中的元素为4，9，25；B中的元素为9，0，4，显然4A且4B，与已知矛盾，故舍去若a29，则a3，当a3时，A中的元素为4，5，9；B中的元素为9，2，2，B中有两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去当a3时，A中的元素为4，7，9；B中的元素为9，8，4，符合题意综上所
11、述，满足条件的a存在，且a3.5已知，求的值【答案】由已知条件得：若a0，则集合为0，1，1，不满足集合元素的互异性，a0；若a10，a1，则集合为1，0，0，显然a1；若a210则a1，由上面知a1不符合条件；a1时，集合为1，2，0；a1高中必会题型4：列举法表示集合1用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）解：用列举法表示下列集合（1）大于1且小于6的整数，；（2）；所以（3），由解得，故表示为，2用列举法表示下列集合：(1)满足2x2且xZ的元素组成的集合A；(2)方程(x2)2(x3)0的解组成的集合M；(3)方程组 的解组成的集
12、合B；(4)15的正约数组成的集合N.【答案】(1) 2，1,0,1,2(2) M2,3(3) B(x，y)|(3,2) (4) N1,3,5,15(1)，；(2)解方程和是方程的根，；(3)解方程组得；(4)的正约数有四个数字，3用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合（2）方程的所有实数解组成的集合【答案】（1）；（2）.（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合为；（2）解方程得，所以方程的所有实数解组成的集合为.4用列举法表示方程的解集为_.【答案】由得或，所以方程的解集为.故答案为：5已知Pa,b，又P的所有子集组成集合Q，用列举法表示Q，则Q_.【答案】，
13、a，b，a，b由Pa,b的子集为：，a，b，a,b；即集合Q，a，b，a,b.故答案为：，a，b，a，b高中必会题型5：描述法表示集合1用描述法表示下列集合：（1）抛物线yx22x+2的点组成的集合；（2）使有意义的实数x的集合【答案】（1）；（2）（1）抛物线yx22x+2的点组成的集合： （2）使有意义的实数x的集合：2用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合（2）坐标平面内第一象限内的点的集合（3）大于4的所有偶数【答案】（1）；（2）；（3）（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；（3）大于4
14、的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：3用描述法表示下列集合（1）小于10的所有有理数组成集合；（2）所有奇数组成集合；（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.【答案】（1）；（2）；（3）.（1）小于10的所有有理数组成集合；（2）所有奇数组成集合；（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.4用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为_【答案】(x，y)|0x2且0y1【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.故答案为且.5用描述法表示被4除余3的正整数集合：_【答案】x|x4n+3，nN设该数为x，则该数x满足x4n+3，nN；所求的正整数集合为x|x4n
15、+3，nN故答案为：x|x4n+3，nN高中必会题型6：集合表示的综合问题1（1）用描述法表示下图中阴影部分(含边界)的点构成的集合；（2）用列举法表示集合AxN|N.【答案】（1）(x，y)|1x3，0y3；（2）A1，7，9.解：（1）阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为1x3，纵坐标y的取值范围为0y3.故阴影部分的点构成的集合为(x，y)|1x3，0y3.（2）因为xN，N，当x1时，1；当x7时，3；当x9时，9.所以A1，7，9.2把下列集合用另一种方法表示出来：（1）；（2）；【答案】（1）且；（2）.（1）因为集合中的元素都是偶数，所以且；（2）.3若集合A=x中只有
16、一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【答案】实数k的值为0或1，当时，；当，解：由集合A=x中只有一个元素，即方程只有一个解，当时，方程为，解得，即；当时，方程只有一个解，则，即，即方程为，解得，即，综合可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.4已知集合为小于6的正整数，为小于10的素数，集合为24和36的正公因数（1）试用列举法表示集合且；（2）试用列举法表示集合且【答案】(1) ；（2）.由题意，.（1）.（2）.且5用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合（2）24的正因数组成的集合（3）自然数的平方组成的集合（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全
17、部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析（1）用描述法表示为x|2x5且xQ（2）用列举法表示为1，2，3，4，6，8，12，24（3）用描述法表示为x|x=n2，nN（4）用列举法表示为0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201对点精练1若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（ ）A0B2019C1D0或2019【答案】C若集合M中有两个元素，则a22 019a.即a0且a2 019.故选：C.2下面有四个语句:集合N*中最小的数是0;-aN，则aN;aN，bN，则
18、a+b的最小值是2;x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】A因为N*是不含0的自然数，所以错误;取a=，则-N， N，所以错误;对于，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以错误;对于，解集中只含有元素1，故错误.故选：A3，对任意的，总有（ ）A B C D 【答案】B解：将代入得显然成立，故将代入不等式得，即 ，显然成立，；所以故选：B.4若集合，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】D因为，所以中元素全是整数，因为，所以，故选：D5若集合A(1,2)，(3,4)，则集合A中元素的个数是()A1B2C3D4【答案】B【解析】集合
19、A(1,2)，(3,4)中有两个元素，(1,2)和(3,4)故选B.6现有以下说法，其中正确的是接近于0的数的全体构成一个集合；正方体的全体构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合；不大于3的所有自然数构成一个集合ABCD【答案】D在中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故错误；在中，正方体的全体能构成一个集合，故正确；在中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故错误；在中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故正确故选D7下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）Ax|x1Bx|x10Cx1D1【答案】C通过观
20、察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x1；C中的集合不同于另外3个集合故选：C8下列说法中正确的是（ ）A班上爱好足球的同学，可以组成集合B方程x（x2）20的解集是2，0，2C集合1，2，3，4是有限集D集合x|x2+5x+60与集合x2+5x+60是含有相同元素的集合【答案】C班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x2）20的所有解的集合可表示为2，0，2，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合1，2，3，4中有4个元素，所以集合1，2，3，4是有限集，选项C正确；集合x2+5x+60是列举法，表示一个方程的集合，x|x
21、2+5x+60表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确故选：C9设，集合，则等于（ ）AB1CD2【答案】D两个集合相等，则集合中的元素相同， ，所以，则，那么，和，所以.故选：D10已知集合，则a与集合A的关系是（ ）ABCD【答案】A解：，故选：11用表示集合A中的元素个数，若集合，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（ ）A3B2C1D4【答案】A由题意，可得的值为1或3，若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意 若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，综上，实数
22、a的所有可能取值构成集合，故 故选：A12已知集合A满足条件:若aA,则A,那么集合A中所有元素的乘积为()A-1B1C0D1【答案】B由题意，当时，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.13，中共有_个元素【答案】6，故集合中共有6个元素.故答案为：6.14已知集合A是由a2，2a2+5a，12三个元素组成的，且3A，求a=_.【答案】解：由3A，可得3=a2，或3=2a2+5a，由3=a2，解得a=1，经过验证a=1不满足条件，舍去.由3=2a2+5a，解得a=1或，经过验证：a=1不满足条件，舍去.a=.故答案为：.15用列举法表示集合：_.【答案】，.此时，即.16设a，若集合，则_.
23、【答案】2由易知，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解综上可知，故.故答案为：217用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程+|y2|0的解集；（3）由二次函数y3x2+1图象上所有点组成的集合.【答案】（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312；（2）；（3）（x，y）|y3x2+1，xR.解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32
24、；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：，解得，因此该方程的解集为（，2）.（3）首先此集合应是点集，是二次函数y3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x，y）|y3x2+1，xR.18求数集中的元素应满足的条件.【答案】由于实数集合，则实数x满足：且且，解得，所以满足的条件是.19已知1x|x2+px30，求p的值与集合中的所有元素.【答案】p2；集合中的所有元素为：3，1.解
25、：x1是集合x|x2+px30中的元素，当x1时，x2+px30，故p2；当p2时，集合x|x2+px30x|x2+2x303，1.综上所述，p2，集合中的所有元素为：3，1.20已知集合.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.（1）若A是空集，则方程ax23x+20无解此时 9-8a0即a所以的取值范围为（2）若A中只有一个元素则方程ax23x+20有且只有一个实根当a0时方程为一元一次方程，满足条件当a0，此时98a0，解得：aa0或a当时，；当时，（3）若A中至多
26、只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.21下列三个集合：x|yx21；y|yx21；(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【答案】(1)它们是不相同的集合(2)见解析【解析】(1)它们是不相同的集合(2)集合是函数yx21的自变量x所允许的值组成的集合因为x可以取任意实数，所以x|yx21R.集合是函数yx21的所有函数值y组成的集合由二次函数图像知y1，所以y|yx21y|y1集合是函数yx21图像上所有点的坐标组成的集合22已知集合A含有两个元素a3和2a1，aR.(1)若3A，试求实数a的值；(2)若aA，试求实数a的值【答案】（1）0或1； （2）1 .(1)因为3A，所以3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意若32a1，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.(2)因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立；当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2,1，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为1.
