1、专题专题 0606 二次函数的简单应用二次函数的简单应用专题综述二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求要求会通过图象发现些信息，但只停留在会识图的基础之上，而不是应用图
2、象解决问题高中课程要求会灵活应用各种函数的图象，如利用函数图象求值域、解方程、求根的个数、解不等式等知识精讲高中必备知识点高中必备知识点 1：平移变换：平移变换问题 1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可高中必备知识点高中必备知识点 2：对称变换：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象
3、平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题高中必备知识点高中必备知识点 3：分段函数：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数分段函数典例剖析高中高中必备知识必备知识点点 1：平移变换：平移变换【典型例题】如图，抛物线 y ? ax? bx ? ? 经过 A? ? 1,0?，B?,0?两点，顶点为 D?1?求 a 和 b 的值；?将抛物线沿 y 轴方向上下平移
4、，使顶点 D 落在 x 轴上求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿 x 轴方向左右平移得到新抛物线，若 1 ? x ? ? 时，新抛物线对应的函数有最小值 2，求平移的方向和单位长度【答案】 ?1? b ? ?a?1；?y ? x? ?x ? 1，将抛物线 y ? ?x ? 1?向左平移 ?个单位长度或向右平移1 ?个单位长度【解析】?1?将 A? ? 1,0?，B?,0?代入 y ? ax? bx ? ?，得： ?s ? ?b ? ? ? 0a?b?0，解得： b ? ?a?1? ? y ? x? ?x ? ? ? ?x ? 1? ?，?抛物线顶点 D 的坐标为?1, ? ?
5、将抛物线沿 y 轴平移后，顶点 D 落在 x 轴上，?平移后的抛物线的顶点坐标为?1,0?，?平移后的抛物线为 y ? ?x ? 1?，即 y ? x? ?x ? 1若将抛物线 y ? ?x ? 1?向左平移 k?k ? 0?个单位长度，则新抛物线的解析式为 y ? ?x ? 1 ? k?，? 当 1 ? x ? ? 时，新抛物线对应的函数有最小值 2，?新抛物线必过点?1,?，? ? ? ?1 ? 1 ? k?，解得：k1?，k?舍去?；若将抛物线 y ? ?x ? 1?向右平移 k?k ? 0?个单位长度，则新抛物线的解析式为 y ? ?x ? 1 ? k?，? 当 1 ? x ? ? 时
6、，新抛物线对应的函数有最小值 2，?新抛物线必过点?,? ? ? ? ? 1 ? k?，解得：k1? ? 1，k? ? 1?舍去?将抛物线 y ? ?x ? 1?向左平移 ?个单位长度或向右平移 1 ?个单位长度【变式训练】已知抛物线 ? ?1?，把它向上平移，得到的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，若? ?th是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移 3 个单位【解析】由题意知，? ?th 必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为 ? ?1? ?，则 h?0,?，? ? ?,0?，t?,0?，代?,0?入抛物线方程得：0 ?1? ?，? ? ?
7、0?舍去?，? ? ?所以向上平移 3 个单位【能力提升】已知抛物线 yx（x2）+2（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成 ya（x+m）2+k 的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线 yx（x2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式【答案】 （1）y（x1）2+1，它的顶点坐标为： （1，1） ； （2）图象向下平移 1 个单位得到：y（x1）2【解析】（1）y=x（x2）+2=x22x+2=（x1）2+1，它的顶点坐标为： （1，1） ；（2）将抛物线 y=x（x2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，图象向下平移 1 个单位得到：y=（x1）2高中高中必备知识
8、必备知识点点 2：对称：对称变换变换【典型例题】如图，抛物线 y=ax-2x+c(a0)与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，C 三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点 D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，第四象限的抛物线上有一点 P，将EB 直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标；【答案】(1)y=x22x8；D(1，9)；(2)P(1? ?，1? ?)【解析】(1)将点 A、点 C 的坐标代入抛物线的解析式得：?a? ? ? r ? 0r ? ?，解得：a=1，c=8抛物
9、线的解析式为 y=x22x8y=(x1)29，D(1，9)(2)将 y=0 代入抛物线的解析式得：x22x8=0，解得 x=4 或 x=2，B(4，0)y=(x1)29，抛物线的对称轴为 x=1，E(1，0)将?EBP 沿直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，EP 为BEF 的角平分线BEP=45设直线 EP 的解析式为 y=x+b，将点 E 的坐标代入得：1+b=0，解得 b=1，直线 EP 的解析式为 y=x+1将 y=x+1 代入抛物线的解析式得：x+1=x22x8，解得：x=1? ?或 x=1? ?点 P 在第四象限，x=1? ?y=1? ?P(1? ?，1?
10、?)【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与 y 轴交于（0,?）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若 pq5,判断 m 和 n 的大小.【答案】（1）y=1?(x-3)2-2.（2）mn.【解析】(1)由题意设函数的解析式为 y=a(x-3)2-2,根据题意得 9a-2=?解得 a=1?，所以函数解析式是 y=1?(x-3)2-2.(2)因为 a=1?0,所以抛物线开口向上,又因为二次函数的对称轴是直线 x=3.所以当 x3 时,y 随 x 增大而增大,因为 pq53,所以 mn.【能力提升】已知抛物线 ? ? a? ? ? ? 经
11、过点（1，-2） （1）求 a 的值；（2）若点 A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1与 y2的大小【答案】 （1）a=-1； （2）y1y2【解析】(1)、抛物线 ? ? a? ? ? ? 经过点（1，-2） ， ? ? ? a?1 ? ? ?，解得 a=-1；(2)、函数 ? ? ? ? ? ? 的对称轴为 x=3， A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）在对称轴左侧，又抛物线开口向下， 对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大， mn3， y1y2高中高中必备知识必备知识点点 3：分段函数：分段函数【典型例题】函数1( )01xf xx)0()0()
12、0(xxx，则)1 ( ff的值是_【答案】0【解析】函数 f（x）100010 xxxxx， ， ，f（1）110，f（f（1） ）f（0）0故答案为：0【变式训练】已知函数 ? ? ? 1,? ? 1? a?,? ? 1，若 ?0? ? ?，则 a ?_【答案】? 1【解析】? 0 ? 1，? 1 ? 1 ? a ? ?，故 a ? 1，填? 1【能力提升】函数 ? ? ? ? 1, ? 1 ? ? ? ?,? ? ? ? ,? ? ?,则 ? ? ?_【答案】1.【解析】由题意得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 1 ? 1 ? 1故答案为：1对点精练1
13、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，4AC ，8BD ，点N在BO上运动过点N作/EFAC交AB于E， 交BC于点F， 将BEF沿EF翻折得到EFG， 若ONx，EFG与ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）ABCD【答案】A解：分情况讨论：当翻折后点 G 在点 O 的左侧时（如图） ，即 2x4，EFAC，BEF=BAC，BFE=BCA，BEFBAC，1BNBOEFAC，即 BN=EF=4-x，由四边形 ABCD 是菱形，BDAC，又EFAC，EFBD，翻折后，重叠部分2211(4)48(24)22EFGBEFySSxxxx；当翻折后点 G 在点 O
14、 的右侧时（如图） ，即 0 x2，翻折后，重叠部分 y=S梯形HIEF，ON=x，BN=4-x，GN=BN=4-x，OG=4-2x，又EFAC，同理可得GHIGEF，HI=OG=4-2x，213(4)(42 )4(02)22yxxxxxx，综上所述，2234(02)2148(24)2xxxyxxx，故选：A2如图，在ABC中，90 ,30 ,2,ABCACBABBD是AC边上的中线，将BCD沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为B C D ，设B C D 与ABD重叠部分的面积为y，平移运动的时间为x，当点C与点B重合时，B C D 停止运动，则下列图象能反映y与x之
15、间函数关系的是（）ABCD【答案】A当1x 时 ，平移了3个单位长度，即3CC 90 ,30 ,2,ABCACBAB24ACAB，2=2 3tan3033ABBC3BCCC，112 2 32 322ABCSAB BC 112 3322ABDABCSSABC中，90ABC是AC边上的中线122BDACADCDBCD与BC DV是等腰三角形BCD沿射线CB方向平移后的三角形记为B C D /AC C D3BCCCD E是ABD的中位线1=2D EAD1133444BD EABDSS即1x 时，34BD ES，故可得 C、D 错误，故舍去当1x，如图：/AC C DBHEBAD2 332 3BCxB
16、C22 33=2 3xSSABDBHE22 33=32 3x23=334xx可见当1x时，23=334SxxBHE，函数图像为开口向上的抛物线，则 A 符合题意，B 为一次函数不符合题意故选 A3如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点 E 是边 AB 上的一动点，一直角边过点 D，另一直角边与 BC 交于 F，若 AE=x，BF=y，则 y 关于 x 的函数关系的图象大致为（）ABCD【答案】A解：如图，连接DF，设AEx，BFy，则2226DEx，222(10)EFxy，222(6)10DFy；DEF为直角三角形，222DEEFDF，即2222226(10)(
17、6)10 xxyy，解得2215125(5)6366yxxx ，根据函数关系式可看出A中的函数图象与之对应故选：A4一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A10mB8mC6mD5m【答案】A解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为 y=2(6)a x+3将（0，0）代入解析式得 a112，抛物线解析式为 y=21(6)312x，当 x10 时，y215(106)3123，532.44，满足题意，故选：A5如图，矩形OABC中，3 0
18、A ,，0,2C，抛物线221yxmm 的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（ ）A30m B31m C12m D10m 【答案】D解：抛物线221yxmm 的顶点坐标 M 为（m，-m1） ，3 0A ,，0,2C，30012mm ，-1m0，故选：D6如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 2.5m，那么水面宽度为（）mA3B6C8D9【答案】B解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 A
19、B 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，设顶点式 yax2+2，把 A 点坐标(2，0)代入得 a0.5，抛物线解析式为 y0.5x2+2，当水面下降 2.5 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y2.5 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y2.5 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y2.5 代入抛物线解析式得出：2.50.5x2+2，解得：x3，水面宽度为 3(3)6（m） 故选：B7已知二次函数14ym xx的图象与x轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，顶点 C，点 C 关于x轴的对称点为 D 点，若四边形ACBD为正方形，则m的值为
20、（）A23B23C23D32【答案】C解：二次函数14ym xx的图象与x轴交于 A、B 两点，()1,0A，4,0B，抛物线的对称轴为直线4 1522x，设顶点 C 的坐标为5( , )2a，四边形ACBD为正方形，32a ，5 3( , )2 2C或53( ,)22C，把 C 点的坐标代入得：35514222m或35514222m，解得：23m ，故选：C8在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式为21381055yxx ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A85米B8 米C10 米D2 米【答案】B解：当
21、 y0 时，即21381055yxx 0，解得：x12（舍去） ，x28，所以小宇此次实心球训练的成绩为 8 米，故选：B9已知Rt ABC中，90 ,2 2CACBC，正方形EFGH中，2,EFAB和EF在同一直线上，将ABC向右平移， 则ABC和正方形EFGH重叠部分的面积 y 与点 B 移动的距离 x 之间的函数图象大致是（）ABCD【答案】C依题意可得当 0 x2 时，ABC和正方形EFGH重叠部分为等腰直角EBCBE=xy=212x当 2x4 时，ABC和正方形EFGH重叠部分为五边形 CMEFN，如图所示由题意可得 SCHM=2122x，SCGN=2142x，S五边形CMEFN=2
22、2-2122x-2142x=266xx当 4x6 时，AF=6-x，y=2162xy= 222102266 2416462xxxxxxx 故函数图象如下图所示：故选 C10如图，正方形ABCD的边长为 a，点 E 在边AB上运动（不与点 A，B 重合） ，45DAM，点 F在射线AM上，且2AFBE，CF与AD相交于点 G，连接EC、EF、EG、则下列结论：45ECF；AEG的周长为()21a2；222BEDGEG；EAF的面积的最大值是218a；当13BEa时，G 是线段AD的中点其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【答案】B解：如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EHBEB
23、H，EBH90，EH2BE，AF2BE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS） ，EFEC，AEFECB，ECHCEB90，AEFCEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH（SAS） ，ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS） ，EGGH，GHDGDH，DHBE，EGBEDG，故错误，AEG 的周长AEEGAGAEAHADDHAEAEEBADABAD2a，故错误，设 BEx，则 AEax，AF2x，
24、SAEF12（ax）x12x212ax12（x2ax14a214a2）12（x12a）218a2，120，x12a 时，AEF 的面积的最大值为18a2故正确，当 BE13a 时，设 DGx，则 EGx13a，在 RtAEG 中，则有（x13a）2（ax）2（23a）2，解得：x2a，AGGD，故正确，正确，正确结论的个数是 3 个，故选 B11飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是2601.5stt，飞机着陆后滑行_米才能停下来【答案】600解：由函数解析式是2601.5stt可化为21.520600st ，当 t=20 时，滑行距离 s 最大，最大距离
25、为 600，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来；故答案为 60012如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园 ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米篱笆，若 a=30 米，则矩形菜园 ABCD 面积的最大值为_【答案】1050 平方米解：设 BC=x 米，则S=12x(100-x)=12(x-50)2+1250（0 x30） ，102，对称轴为 x=50，x=a=30 时，S 的最大值是 1050答：当 a=30 米时，矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1050 平方米故答案为：1050 平方米13如图，抛物线 y14x24
26、 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ，则线段 OQ 的最小值是_【答案】32解：连接 BP，如图，当 y0 时，14x240，解得 x14，x24，则 A（4，0） ，B（4，0） ，Q 是线段 PA 的中点，OQ 为ABP 的中位线，OQ12BP，当 BP 最小时，OQ 最小，连接 BC 交圆于 P 时，PB 最小，BC22345，BP 的最小值523，线段 OQ 的最小值为32故答案为：3214如图，在 RtACB 中，ACB90，ACBC2，D 是 AB 上的一个动点，连接 CD，将BCD 绕点 C顺
27、时针旋转 90得到ACE，连接 DE，则ADE 面积的最大值等于_【答案】12解：如图，BCD 绕点 C 顺时针旋转 90得到ACE，BDCAEC，B=CAE，BC=AC=2，ABC 为等腰直角三角形，B=CAE=BAC=45，DAE=BAC+CAE=90，在 RtABC 中，由勾股定理 AB=22222242BCAC，设 BD=AE=x，则 AD=（2-x） ，221111 2212222Sxxxxx ，102a ，函数开口向下，函数有最大值，当 x=1 时，12maxS故答案为：1215如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点是坐标原点，点 A 的坐标是0,6，点 C 在 x 轴上，点
28、10,1D在边 BC 上，将ABD沿 AD 折叠，得到AED，若抛物线212341yaxaxa（0a 且a 为常数）的顶点落在ADE的内部（不含边界） ，则 a 的取值范围是_【答案】312a 且0a 折叠可知：BD=ED，AB=AE在矩形 OABC 中，A(0， 6).D(10， 1)AE=AB=10，BD=ED=5，B=E=90过点 E 作 EF 垂直于 y 轴于 G，交 BC 的延长线于点 FAEG+DEF=90，AEG+GAE=90 GAE=DEF，又AGE=F=90 AGE EFD2AEGEDEDF设 GE=x，则 EF=10-x，DF=12x由勾股定理得：DE2=DF2+EF222
29、215102=xxx=10(舍去）或 x=6E(6，-2)抛物线的对称轴是 x=12622baaa =6设直线 AD 的解析式为 y=kx+b.将 A(0， 6)、D(10， 1)代入得：6101bkb解得126kb 直线 AD 的解析式为：y=12x+6将 x=6 代入 得：y=3直线 x=6 与直线 AD 的交点坐标为（6，3）由2212341=621yaxaxaa xa因为抛物线顶点在AED 中，所以-2-2a+13解得：312a ，且 a016如图，在第一象限内作与 x 轴的夹角为 30的射线 OC，在射线 OC 上取点 A，过点 A 作 AHx 轴于点 H，在抛物线 yx2（x0）上
30、取一点 P，在 y 轴上取一点 Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与AOH 全等，则符合条件的点 A 有_个【答案】4解：当POQ=OAH=60，若以 P，O，Q 为顶点的三角形与AOH 全等，那么 A、P 重合；由于AOH=30，设 A 坐标为（a，b） ，在直角三角形 OAH 中，tanAOH=tan30=33=ba，设直线 OA 的方程为 y=kx，把 A 的坐标代入得 k=ba=33，直线 OA 的解析式： y=33x，联立抛物线的解析式，得：233yxyx，解得00 xy，3313xy；A（33，13） ；当POQ=AOH=30，此时POQAOH；易知POH=60，则直线 OP：
31、y=3x，联立抛物线的解析式，得：23yxyx，解得00 xy，33xy；P（3，3） ，即可得 A（3，3） ；当OPQ=90，POQ=AOH=30时，此时QOPAOH；易知POH=60，则直线 OP：y=3x，联立抛物线的解析式，得：23yxyx，解得00 xy，33xy；P（3，3） ，OP=23，QP=2，OH=OP=23，AH=QP=2，A（23，2） ；当OPQ=90，POQ=OAH=60，此时OQPAOH；此时直线 OP：y=33x，联立抛物线的解析式，得：233yxyx，解得00 xy，3313xy；P（33，13） ，QP=2 33，OP=23，OH=QP=2 33，AH=O
32、P=23，A（2 33，23） 综上可知：符合条件的点 A 有四个，且坐标为： （33，13） ， （3，3） ， （2 3，2） ， （233，23） 故答案为：417某游乐园有一圆形喷水池（如图） ，中心立柱 AM 上有一喷水头 A，其喷出的水柱距池中心 3 米处达到最高，最远落点到中心 M 的距离为 9 米，距立柱 4 米处地面上有一射灯 C，现将喷水头 A 向上移动 1.5 米至点 B（其余条件均不变） ，若此时水柱最高处 D 与 A，C 在同一直线上，则水柱最远落点到中心 M 的距离增加了_米【答案】3 2162解：如图，以地面为 x 轴，中心立柱为 y 轴建立平面直角坐标系根据题意
33、可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限） 由题意可知 C 点坐标为(-4，0)喷水头 A 喷出的水柱距池中心 3 米处达到最高，故该抛物线的对称轴为3x 设该抛物线解析式为2(3)(0)ya xb a，又水柱最远落点到中心 M 的距离为 9 米，该抛物线又经过点(9，0)20(93)ab，即36ba ，该抛物线解析式为2(3)36ya xa当 x=0 时，2(03)3627yaaa 故点 A 坐标为(0，-27a)由题意可知将喷水头 A 向上移动 1.5 米至点 B，即将抛物线向上平移 1.5平移后的抛物线为2(3)361.5ya xa点 D 坐标为(3，361.5a)设经过点 A、C 的直线
34、解析式为ykxm，0427kmam ，解得27427kama 即经过点 A、C 的直线解析式为27274yaxa 又该直线经过点 D27361.53274aaa 解得：215a 故平移后的抛物线解析式为222(3)36 () 1.51515yx ，整理得：22(3)6.315yx 当0y 时，即22(3)6.3015x，解得：1263 2163 2122xx，（舍） 移动后最远落点到中心 M 的距离为63 212米，移动后水柱最远落点到中心 M 的距离增加了63 213 219622（米） 故答案为：3 216218如图，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 A(-2，0)点 B(1
35、，0)，抛物线 y=x2-4x+m 与正方形有两个交点时，则 m 的取值范围是_【答案】126mA(-2，0)，B(1，0)，四边形 ABCD 是正方形AB=1-(-2)=3C 点坐标为(1，3)根据题意可知抛物线在点 A 和点 C 之间时符合题意当抛物线经过点 A 时，即将 A 点坐标代入24yxxm中，得：20( 2)4 ( 2)m ，解得：12 m当抛物线经过点 C 时，即将 C 点坐标代入24yxxm中，得：2314 1 m ，解得：6m 综上，126m故答案为：126m19如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是21251233yxx 则他
36、将铅球推出的距离是_m【答案】10解：当 y=0 时，212501233xx解得，x1=10，x2=-2（负值舍去） ，该男生把铅球推出的水平距离是 10m20竖直上抛物体时，物休离地而的高度h m与运运动时间 t s之间的关系可以近似地用公式2005htv th 表示，其中0hm是物体抛出时高地面的高度，0m /sv是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为_m【答案】21.5解：由题意得：h5t2+20t+1.55（t2）2+21.5，a50，当 t2 时，h 取得最大值，此时 h21.5故答案为：21.521如图，一
37、小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系2520yxx ，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【答案】 （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s； （2）在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m解： （1）2520yxx ，令0y ，得20520 xx ，解得10 x ，24x ， 404 s，在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s（2）2520yxx 25
38、220 x ，当2x 时，y取得最大值，最大值为 20.在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m22如图，在平面直角坐标系中，抛物线2yxbxc 经过点1,0A 和点0,3B，动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点F的右侧，/EF x轴分别过点E，点F作EHx轴于点H，FGx轴于点G（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE、点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为1h，点P到OE的距离记为2h，当12263hh，直接写出点P的坐标；将CFE沿射线C
39、F平移，平移后的三角形记为CFE，在平移过程中，当CF E 三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离【答案】 （1）抛物线的表达式为2yx2x3 ，顶点C的坐标为1,4； （2）10； （3）4, 21P ；24 2解： （1）将点1,0A ，0,3B代人2yxbxc ，得013bcc 解得23bc抛物线的表达式为2yx2x3 ，222314yxxx 顶点C的坐标为1,4；（2）EHx轴，FGx轴，90FGHEHG ，/EF x轴，180EFGFGH，1801809090EFGFGH ，四边形EFGH是矩形，EFGH，EHFG，设点2,23E aaa，点22,23Faaa，22EFa
40、，223EHaa ，2222822210LEFEHaaa ，20 ，L的最大值是 10；（3）如图，连接 PF，CP，OP，PE，过点 P 作 PNEF 交 EF 的延长线于 N，过点 C 作 CMPN 于 M，连接 BM设 P（x0，y0） 由（2）可知，a=2，E（2，3） ，F（0，3） ，C（1，4） ，CF=2，OE=13，SPCF=SPCM-SPMB-SCMB=12（x0-y0+3）SPCF=111222CF hh，h1=0032xy，同法 h2=003213xy，12263hh，且 y020 x+2x0+3，如图，x03 或 x0-1，y00，解得：00421xy ，P（-4，-
41、21） 令 x=-4 代入 lCF：y=x+3 中，y=-1，（-4，-21）不过点 P，若直线 CE 平移后过点 P，设平移后直线解析式为：y=-x+b，代入（-4，-21） ，得 b=-25，此时平移距离为225(25)152，若直线 EF 平移后过点 P，设 F（f，-21） ，代入 lCF：y=x+3 中，得 f=-24，平移距离为2224 +24 =24 2，直线最后一次经过点 P 时，平移的距离为 24223天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为 10 元/件试营销阶段发现：当销售单价是 13元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 1
42、0 件，设该商场销售这种文具每天的销售量为 y 件，销售单价为 x 元/件(3)1x （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为 w（元） ，若每天销售量不少于 150 件，求商场每天的最大利润【答案】 （1）10380yx ； （2）1950 元解： （1）当销售单价是 13 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件，销售量y件，销售单价x元/件(13)x之间的关系为：25010(13)10380yxx ；（2）每天销售量不少于 150 件，150y ，即10380 150 x，解得23x，商场每天的销售利润2(10)
43、(10) ( 10380)10(24)1960wxyxxx ，w关于x的抛物线对称轴为24x ，而100，开口向下，当23x时，图象在对称轴左侧，w随x的增大而增大，23x 时，w最大，且w最大值为 1950，若每天销售量不少于 150 件，则商场每天的最大利润是 1950 元24如图，抛物线22yaxbx交x轴于点( 3,0)A 和点(1,0)B，交y轴于点C已知点D的坐标为( 1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接,AP PC CD（1）求这个抛物线的表达式（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M在平面内，当CDMV是以CM为斜边的等腰直
44、角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当45MNC时，求出满足条件的所有点N的坐标【答案】 （1）224233yxx ； （2）174； （3）( 3,1)或(1, 1)，( 1,5)或( 1,5)或( 1,5)解： （1）抛物线22yaxbx交x轴于点( 3,0)A 和点(1,0)B，抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23ya xxa xxaxaxa，即32a，解得：23a ，故抛物线的表达式为：224233yxx ；（2）连接OP，设点224,233P xxx，则 111222APOCPOODCPPADCPSSSSSAOyOCxCO OD四边形
45、2212411322 ()1 23223322xxxxx ，10 故S有最大值，当32x 时，S的最大值为174；（3）如图 2，若点M在CD左侧，连接AM，90 ,90MDCMDACDO ，且90CDODCO，MDADCO，且2,ADCOMDCD，(),90MADDOC SASAMDOMADDOC ，点M坐标( 3,1)，若点M在CD右侧，同理可求点(1, 1)M；如图 3，抛物线的表达式为：2224282(1)3333yxxx ；对称轴为：直线1x ，点D在对称轴上，,90MDCDM DMDCM DC ，点D是MM的中点，4590,MCDM CDMCM ，点M，点C，点M在以MM为直径的圆
46、上，当点N在以MM为直径的圆上时，45M NCM MC ，符合题意，点(0,2)C，点( 1,0)D ，5,5DCDNDN，且点N在抛物线对称轴上，点( 1,5)N ，点( 1,5)N ，延长M C交对称轴与N，点(1, 1)M，点(0,2)C，直线M C解析式为：32yx ，当1x 时，5y ，点N的坐标( 1,5)，点N的坐标( 1,5)，点(1, 1)M，点(0,2),10CN CM C，且90MCM，10N CM C，45MM CMN C ，点( 1,5)N符合题意，综上所述：点N的坐标为：( 1,5)或( 1,5)或( 1,5)25某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为 30
47、元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为2140, 406080. 6070 xxyxx （1）当售价为 60 元/件时，年销售量为_万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于 750 万元，直接写出x的取值范围【答案】 （1）20； （2）当售价为 50 元/件时，年销售利润最大，最大为 800 万元； （3）4555x（1）=6080608020 xyxy 当时，代入中，得（2）设销售该产品的年利润为W万元，当60 x40时，2302140250800Wxxx 20，当50 x 时，800W最大当6070 x时，
48、2308055625Wxxx 10 ，6070 x当60 x 时，600W最大800600，当50 x 时，800W最大当售价为 50 元/件时，年销售利润最大，最大为 800 万元（3）4555x理由如下：由题意得3021407504555xxx解得：26某商场销售每件进货价为 40 元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系202600yx （1）商场每月想从这种商品销售中获利 36000 元，该如何给这种商品定价？（2）市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于 60 元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【
49、答案】 （1）商品可定价为每件 70 元或 100 元； （2）售价定为每件 60 元可获得最大利润，最大利润是 28000 元解： （1）由题意得：(40)( 202600)36000 xx，解得，1x70，2100 x 这种商品可定价为每件 70 元或 100 元（2）由题意得：该商品的每件售价不得高于 60 元，每件售价不低于进货价 40 元，4060 x设利润为w元，则2(40)( 202600)203400104000wxxxx ，200a ，对称轴为直线85x ，当85x时，w随x的增大而增大，当60 x 时，w取得最大值，此时28000w 售价定为每件 60 元可获得最大利润，最
50、大利润是 28000 元27某书店销售一本畅销的小说，每本进价为 20 元根据以往经验，当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本（1）请求出书店销售该小说每天的销售量 y（本）与销售单价 x 元）之间的函数关系式；（2）书店决定每销售 1 本该小说，就捐赠 2 元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？【答案】 （1）10500yx ； （2）小说每本售价 36 元时，每天扣除捐赠后获得的利润最大，最大利润为 1960 元（1）销售量 y（本）与销售单价 x（元）之间的函数关系式
