1、高中数学函数图象及其变换理梓原创，盗版必究2022-6-22初等函数的图像性质是理解初等函数的重要途径，图像可以直观的反应函数的奇偶性，单调性，最值。图像的基本变换问题是解决函数方程，函数不等式等的一个重要途径，图像问题不仅可以作为独立的考题，也可以解决数形结合的相关问题，是重要的数学思想。l 本节课程在本学科中的地位地位课程介绍课程介绍2022-6-22l 本节课程的意义意义及作用作用理解图像变换与初等函数图像性质可以解决：函数零点问题，函数与方程的解，不等式问题，函数最值的数形结合教学目标教学目标2022-6-22l图像基本变换（平移）( )()yf xyf xa左加右减，函数图像纵坐标不
2、变，横坐标左右平移sinyxsin()yxa知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（平移）( )( )yf xyf xa上加下减，函数图像横坐标不变，纵坐标上下平移sinyxsin( )yxa知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（对称）( )()yf xyfx函数图像关于y轴对称2( )2f xxx2()2fxxx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（对称）( )( )yf xyf x 函数图像关于x轴对称2( )2f xxx2( )2f xxx 知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（对称）( )()yf xyfx 函数图像
3、关于原点对称2( )2f xxx2()2fxxx 知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（翻折）( )0( )()()0f xxyf xyfxfxx2( )2f xxx2()2fxxx原图像y轴右侧不动，左侧的图像擦去，右侧图像翻折到左侧，使新的图像自身关于y轴对称知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（翻折）( )( )0( )( )( )( )0f xf xyf xyf xf xf x2( )2f xxx2( )2f xxx原图像x轴上侧不动，下侧的图像翻折到上侧知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（缩放）( )()(0)yf xyf kx
4、 k函数图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍1ksinyxsin()ykx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（缩放）( )( )(0)yf xykf x k函数图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍ksinyxsinykx2022-6-22l 平移缩放变换（途径一）( )()( ,0)yf xyf kxa k a( )yf x()yf xa()yf kxa( )sinf xx()sin()22f xx(2)sin(2)22fxxa 图像向左平移 个单位1k 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍2 图像向左平移个单位12 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍知识点讲解知识点讲解2022-6
5、-22l平移缩放变换（途径二）( )()( ,0)yf xyf kxa k a( )yf x()yf kx()yf kxa( )sinf xx(2 )sin(2 )fxx(2)sin(2)22fxxak 图像向左平移 个单位1k 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍4 图像向左平移个单位12 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 平移翻折变换( )()(0)yf xyfxa a ( )yf x()yfx()yfxa ( )sinf xx()sin()fxx()sin()22fxx a 图像向右平移个单位 图像与原图像关于y轴对称2 图像向右平移个单位 图像与原图像关
6、于y轴对称知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 平移翻折变换( )()(0)yf xyfxa a( )yf x()yf xa()yfxa( )lgf xx(2)lg(2)f xxa 图像向左平移个单位2 图像向左平移 个单位y 轴右侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称y 轴右侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称(2)lg(2)f xx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 平移翻折变换( )()(0)yf xyfxaa( )yf x()yf x()yfxa( )lgf xx()lg()fxxa 图像向左平移个单位2 图像向左平移 个单位y 轴右侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称y 轴右
7、侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称(2)lg(2)f xx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 平移翻折变换( )()(0)yf xyfxa a( )yf x()yfxa()yfxa a 图像向右平移个单位y 轴右侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称 图像与原图像关于y轴对称()yfx2 图像向右平移个单位y 轴右侧图像维持不动，图像自身关于y轴对称 图像与原图像关于y轴对称( )lg( )f xx()lg()fxx()lg(2)fxx (2)lg(2)fxx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 图像基本变换（复合变换）( )()yf xymf kxabcd函数图像变换遵行先做 作用
8、法则内的图像变换，顺序为从外往里画再画 作用法则外，顺序为从里网外画()f()f( )yf x()yf xb()yfxb()yfxab()yf kxab()ymf kxab()ymf kxabc()ymf kxabc()ymf kxabcd知识点讲解知识点讲解2022-6-22l基础训练已知 ，作出下列函数图像sin()( 10)( )(01)xxf xxx (1) 1yf x(2)2yf x(3) yf x(4)yfx(5)yfx(6) yf x(7) yfx(8)yfx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 基础训练2( 10)( )(01)xxxf xxx 解：先画出原图像(1) 1y
9、f x(2)2yf x(3) yf x(4)yfx(5)yfx(6) yf x(7) yfx(8)yfx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l 基础训练函数 的图像大致为（A）( )log1(01)af xxa函数 的图像大致使（A）3log3xy 确定原函数 ( )logag xx写出变化函数 ( )()1f xg x写出变化步骤 ( )()()1g xg xg x根据步骤画出图像去绝对值成分段函数 33log3log33log0( )3log0 xxxf xx根据步骤画出图像化简 1( )101xxf xxx知识点讲解知识点讲解2022-6-22l函数零点与方程的解函数中含参数求零点或方
10、程的解的个数，可以参变分离，利用函数图像求解关于 的方程 有三个不等的实根，求 x243xxaxa参变分离写出分段函数，并画图 22253,13,( )43331,3xxxf xxxxxxx 由图像得 314aa 或知识点讲解知识点讲解2022-6-22l函数零点与方程的解已知函数 ，讨论 的零点的个数 ( )3()f xxaxaR( )yf x( )0f x 令 ，参变分离3xax写出分段函数，并画图310( )310 xxf xxx 由图像得 1,1, 11,aa 两个零点一个零点知识点讲解知识点讲解2022-6-22l能力训练若关 的方程 在 内恰有三个相异实数根，则求实数 的取值范围5
11、4(4)5xxmxxx0,m由图像得 416,510m写出分段函数：9492 5,50,5( )( )1412 59,509,05xxxxxxxf xf xxxxxxxx 习题训练习题训练2022-6-22l 能力训练已知函数 ，若方程 恰有四个互异的实数根，则求实数 的取值范围2( )3 ,f xxx xR( )10f xa xa参变分离 231xxax换元 221(0)(1)3(1)5445txtttttatttt由于图像的复杂性，可以利用换元法使得图像简单化注意: *参变分离时除数为零时要在原式中查看 *换元的变量与原变量之间不单调时，需要画两个函数图像习题训练习题训练2022-6-22
12、l 复合函数零点与方程的解已知方程 ，求方程解的个数( ( )f g xa换元令( )tg x画两个函数图像( ),( )tg x af t观察图像，注意横纵坐标的转换注意换元后写出相应的换元范围习题训练习题训练2022-6-22l 复合函数零点与方程的解参变分离22(1)1kxx 换元21,0,txt已知关于 的方程 ，求方程解的情况x222(1)10 xxk画两个函数图像 221,(0)txktt t 由图像得12121,411421110,0,142200,101kktkttkttkt 无解四解八解五解两解习题训练习题训练2022-6-22l 能力训练定义域和值域均为 (常数 )的函数
13、和 的图像如下所示，给出下列四个命题：, a a0a ( )yf x( )yg x(1)方程 有且仅有三个解 (2)方程 有且仅有三个解 (3)方程 有且仅有九个解 (4)方程 有且仅有一个解 ( )0f g x( )0g f x( )0ff x( )0g g x其中正确命题的个数是（ B ）A 1 B 2 C 3 D 4B习题训练习题训练2022-6-22l 能力训练函数 的定义域为 ,图像如图1所示；函数 的定义域为 ，图像如图2所示 则 中元素的个数为（ C ）1,1( )f x( )g x1,2( ( )0 ,( ( )0Ax f g xBx g f xABA 1 B 2 C 3 D
14、4xy-1O121图2xy-1O11-1图1( )f x( )g x C 习题训练习题训练2022-6-22l 能力训练求关于 的方程 解的个数 x121233210 xxaa 参变分离1212112(31)3131231xxxxaa 换元131,0,1xtt 画两个函数图像 1231112(0,1 )222(0,1 )xttattattt 由图像得5252525125250,12aaaataat 无解一解两解习题训练习题训练2022-6-22l 图像与不等式问题若函数 是定义在 上的奇函数，当 时 若对任意的 , 则求实数 的取值范围( )f xR0 x 2221( )(23)2f xxaxaa,(1)( )xR f xf xa画出函数( )f x平移图像 找到极限位置( )f x 由图像可知平移极限26661,66aa 习题训练习题训练2022-6-22l 能力训练2,1( )2,1xxf xxxx已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则求 的取值范围aRx( )f xxaRa画出函数( )f x平移图像 找到极限位置xa 由图像可知平移极限2,2a 习题训练习题训练2022-6-22课程小结课程小结2022-6-22
