1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四1第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法 第八章第八章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四2设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx的体积元素为的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd( )A x上连续上连续,复习复
2、习: 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四3牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 证证: 根据定理根据定理 2,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故故CxxfxFxad)()(,a
3、x 令, )(aFC 得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba记作记作)(xFab)(xFab定理定理 函数函数 , 则则返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四4定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1 设函数设函数, ,)(baCxf函数函数)(tx满足满足:1)2);)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t则则( ) ,t 在上有连续导数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四5定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理2 ( ), ( ) , ,u xv xa b设在上有连续导数则)()(
4、d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四6一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分xbad 曲顶柱体的底底为bxaxyxyxD)()(),(21任取0 , ,a bx 平面0 xx 故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为DyxfVd),(0021()()00()(, )dxxAf xyyx截面积截面积为2
5、1( )( )( , )dxxxfyyd( )baxAx截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD设曲顶柱体的顶顶为( , )0zf x yX型区域型区域返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四7ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(21( )( )( , )dyyf xxy21( )( )( , )dyyf xxydcydY型区域型区域返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四8oxyDyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,
6、必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四9),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然
7、有效 .由于Dyxyxfdd),(2当被积函数补充说明补充说明返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四10返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四11解法解法1 yyx d 21dddDDDyxyxyx 10dxxy 22 xy214oyxD 是是 X- 型区域，型区域，1D2D1x x yyx d 41dx2 xx 10d0 x 4122d2xxyxx845 例例3. 计算计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 2 xy及直线及直线返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四12解法解法2xyx
8、dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214oyx2y2y例例3. 计算计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 2 xy及直线及直线这是这是 Y- 区域，区域，画出积分区域的图形画出积分区域的图形先对先对 x 后对后对 y 积分积分,显然解法显然解法2比解法比解法1好好 ！返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四13例例4. 计算计算 ,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.OxyD xx
9、y 解解 画积分区域图形，画积分区域图形，因为因为 Dyxxxddsin 0dsinxx 0cos x 2 xyxxx00dsind x则则若先对若先对 x 积分，积分， yDxxxyyxxxdsindddsin0 xxsin的原函数不能用初等函数表示，因此的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有改用另一种顺序的累次积分，于是有 xyxxx00ddsin 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四140,x 例例5. 设设 D 是由直线是由直线 1y yx
10、及及围成的区域围成的区域(图图21-6), 试计算试计算: 22edyDIx 的值的值.yxyx216 图图1DO解解 若用先对若用先对 y、后对后对 x 的积分的积分, 则有则有 21120ded .yxIxxy由于由于 2ey 的原函数无法求得的原函数无法求得, 因此改用另一种顺序因此改用另一种顺序 的累次积分来计算的累次积分来计算: : 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四152211230001deded3yyyIyxxyy21101ee6y 21201d e6yyyxyx216 图图1DO 22112001e2 ed6yyyyy11.63e返回返回上页上页下页下
11、页目录目录2022年6月23日星期四1622802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y型区域型区域 , 则则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy例例6.6. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四17练习练习. . 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 )4(21440d),(dyyxyxfy yyxyxfyxyxfy
12、30312010d),(dd),(d(2)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四18例例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四19二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应
13、有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四20kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四21二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（1）Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)
14、()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d设设区域特征如图区域特征如图返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四22特别地特别地, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（2）区域特征如图区域特征如图返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四23AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二
15、次积分的公式（3）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四24思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四25222ln(1)d dln(1)d d ,DDxyx y 21200dln(1)d122100 (1)ln(1)2d (2ln21)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四261 yx122 yx si
16、ncosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四27,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下0:,02raD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.例例10 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四282221( , )|Dx yxyR解：2| ),(2222RyxyxD 0,
17、0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2注注:利用例利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式非常有用的广义积分公式2d02xex返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四29又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(4
18、22Re 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四30,41 I,42 I,4 I12,III222220(1)()(1);44RRxReedxe返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四3122224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2例例11 求球体2 cosra2a返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四32内容小结内容小结直角
19、坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四33Do)(1r)(2r)()(,),(21rrD( , )dDf x y则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为( cos , sin)Df rr)()(21d)sin,cos(drrrrfddrr
20、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四34课外练习课外练习P146-147 习题习题82 2(1)(3); 4(2)(4); 5; 6; 8(4); 10(2); 11(3). 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四35,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(2241. 计算思考与练习思考与练习返回
21、返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四36ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf2. 交换积分顺序返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四37axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax3. 给定的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy改变积分返回返回上页上页下页下页目录目录2022年
22、6月23日星期四383261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 roxy2436d4. 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2022年6月23日星期四395. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A
