1、第 1页，共 4页莱芜四中莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测数学试题级高二下学期第一次质量检测数学试题一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分）1.下列导数运算正确的是()A.(?)= ?B.(?)=1?C.(3?)= 3?D.(1?)=1?22.已知曲线? =12?2 2 上一点?(1, 32)，则在点?处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.1653.设曲线? = ?2+ ? 2 在点?处的切线斜率为 3，则点?的坐标为()A.(0, 2)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)4.如图所示，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不
2、经过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A.6，8B.6，6C.5，7D.6，25.已知?2= 15，那么?2= ()A.20B.30C.42D.726.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有()A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个7.3 名男生和 2 名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有()排法A.120B.24C.48D.968.某高中期中考试需要考查九个学科(语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理)，已知语文考试必须安排在首场， 且物理考试与英语考试不能相
3、邻， 则这九个学科不同的考试顺序共有()A.?88种B.?22?77种C.?66?72种D.?66?82种二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）9.下列等式中，成立的有()A.?=?!?!B.?1+ ?= ?+1?C.?= ?D.?= ?1?110. (多选题)已知函数?(?) = ?，则下列说法正确的是()A.?(?)的单调递增区间为(?, + )B.?(?)在(0,1?)上是减函数C.当? (0,1时，?(?)有最小值1?D.?(?)在定义域内无极值11. 函数? = ?(?)的导函数? = ?(?)的图象如图所示，以下命题正确的是()A. 4 是函数? = ?(?)的最小值点
4、B.0 是函数? = ?(?)的极值点C.? = ?(?)在区间( 4,1)上单调递增D.? = ?(?)在? = 1 处切线的斜率大于零12. 设函数?(?) =13? ln?(? 0)，则? = ?(?)()A.在区间1?,1 内无零点，在区间(1,?)内有零点；B.在区间1?,1 ，(1,?)内均有零点；C.在区间 3,?2内有零点；D.函数? = ?(?)有且仅有两个零点。三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 若?3= 6?4，则?的值为14. 如图，从? ?有_种不同的走法15. ?(?) = ?3 3? + ?有 3 个不同的零点，则?的取值范围是_16. 当前
5、新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化.为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有种第 2页，共 4页四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. （10 分）已知曲线?(?) =13?3(1)求曲线在点?(2,83)处的切线方程;(2)若曲线上某点的切线过点?(0, 23)，求该点坐标以及该点处的切线方程18.已知函数?(?) = 2?3 6?2 18? + 5()求函数?(?)的单调区间；()若函数?(?) = ?(?) +
6、 ?至多有两个零点，求实数?的取值范围19.已知函数? ? = ln? +2?()求? ? 的极小值；()已知函数? ? = ? ? +3? 2?22?，其中?为常数且? 0，若函数? ? 在区间1,2上为单调增函数，求实数?的取值范围20.已知函数(1)求函数?(?)的极值;(2)若函数，求证：当? 2 时，?(?) ?(?)21.已知函数?(?) = 2?ln?，?(?) =3?e?5e，其中?是自然对数的底数()求函数?(?)在区间?,4上的最小值；()求证：对任意?，? (0, + )，都有?(?) ?(?)成立22.设函数?(?) = 1 ?()证明：? ?，?(?) ?；()令(?
7、) = ?(1 ?(?)(?)求(?)的最大值；(?)如果?1 ?2，且(?1) = (?2)，证明：?1+ ?2 2xexxf1)()4()(xfxg第 3页，共 4页莱芜四中莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测 数学试题答案级高二下学期第一次质量检测 数学试题答案1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?8.?9.?10.?11.?12.?13.714.615.( 2,2)16.3617.解：(1)由题意，得?(?) = ?2，所以?(2) = 4，从而曲线在点?(2,83)处的切线方程为? 83= 4(? 2)，整理得? = 4? 163(2)设切点为?(?0,13?03)，则点?
8、处的切线方程为? 13?03= ?02(? ?0)，整理得? = ?02 ? 23?03，再将点?(0, 23)代入方程，解出?0= 1，从而切点的坐标为(1,13)，该点处的切线方程为? = ? 23【解析】本题考查利用导数求解切线方程属于基础题(1)由题意，得?(?) = ?2，在把? = 2 代入后求出切线方程斜率，在根据点?(2,83)得出切线方程即可，(2)先设?(?0,13?03)，再利用导数相关知识求解出点?处的切线方程为? 13?03= ?02(? ?0)，再将点?(0, 23)代入方程，解出?0即可18.解答：()依题意：?(?) = 6?2 12? 18 = 6(? 3)(
9、? + 1)故当? ( , 1)时，?(?) 0，当? ( 1,3)时，?(?) 0所以函数?(?)的单调增区间为( , 1)和(3, + )，单调减区间为( 1,3)()令?(?) = 0,得? = ?(?)因为?( 1) = 15，?(3) = 49，所以函数?(?) = ?(?) + ?至多有两个零点可转化为曲线? = ?(?)与直线? = ?至多有两个交点。结合图象可知，?15 或? 49，即实数?的取值范围为( , 15 49, + )【解析】本题考查利用导数求解函数的单调区间以及零点问题，属于简单题()求 f(x)及函数 f(x)的定义域，由 f(x) 0 及 f(x) 0，则?
10、2，令?(?) 0，则 0 ? 0)，因为?(?)在区间1,2上是增函数，所以在区间1,2上?(?) 0 恒成立，即3? 4? +1? 0 在区间1,2上恒成立，即3? 4? 1?在区间1,2上恒成立，即3? (4? 1?)?，其中 1 ? 2令(?) = 4? 1?(1 ? 2)，易知函数(?)在区间1,2上单调递增，所以(?)?= (2) = 4 2 12=152，所以3?152，所以 0 2 时，2? 4，从而，?(?)在(2, + )上是增函数当? 2 时，?(?) ?(?)成立【解析】本题考查利用导数研究函数的极值及利用导数证明不等式成立，考查计算求解能力，属于中档题目(1)求出 f
11、(x)，判断出 f(x)的单调性，得出 f(x)的极值；(2)令，求导得出 F(x)的单调性，故，即可得证不等式成立21.【答案】解：(?)由题意得，函数?(?)的定义域为(0, + )，?(?) = 2(ln? + 1)令?(?) 0，解得 0 ? 0，解得? 1?，函数?(?)在(0,1?)上单调递减，在(1?, + )上单调递增，函数?(?)在?,4上单调递增，又?(?) = 2?，函数?(?)在区间?,4上的最小值为 2?(?)由(?)知函数?(?)在? =1?处取得最小值，即?(?)min= ?(1?) =2?， ?(?) 2? ?(?) =3?5?，则?(?) =33?易得函数?(
12、?)在(0,1)上单调递增，在(1, + )上单调递减，函数?(?)在? = 1 处取得最大值，即?(?)max= ?(1) =2?， ?(?) 2?，对任意?，? (0, + )，都有?(?) ?(?)成立【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力()由 f(x) = 2xlnx，得 f(x) = 2lnx + 2.由此能求出函数 f(x)在区间e,4上的最小值()由 f(x) = 2xlnx(x (0,+ )在 x =1e时取得最小值， 知 f(m) 2e.由 g(x) =3xex5e， 得 g(x) =33xex.所以函数 g(x)(x 0)
13、在 x = 1 时取得最大值2e，由此能够证明对任意 m，n (0,+ )，都有 f(m) g(n)成立22.【答案】证明：()要证明? ?，?(?) ?，只要证 1 ? ?，只要证 1 ? ?，只要证 1 + ? ?，构造函数：?(?) = ? ? 1，则对?(?)求导得：?(?) = ? 1当? 0 时，?(?) 0，?(?)是增函数，当? 0 时，?(?) 1 时，(?) 0，(?)单调递减；当? 0，(?)单调递增；所以(?) =?在( ,1)内是增函数，在(1, + )内是减函数，? = 1 是函数(?)的唯一极大值点则(?)max= (1) =1?；方法二：结论代换法，由()知：1
14、 + ? ?，则 1 + ? 1 ?，即?1?恒成立，(?)max=1?；(?)因为?1 ?2，且(?1) = (?2)，所以由(?)图像可知不妨设 0 ?1 1 1)，则?2= ?1 ?1+ ?2= ln?，所以?1=ln?1,?2=?ln?1，则?1+ ?2=?+1 ln?1，要证?1+ ?2 2，只要证 ln? 2(?1)?+1 0(? 1)，构造新函数?(?) = ln? 2(?1)?+1(? 1)，则?(?) =1?4(?+1)2=(?1)2?(?+1)2 0，所以?(?)在(1, + )上单调递增，因此当? 1 时，ln? 2(?1)?+1 ?1 0 = 0 恒成立，所以?1+ ?2 2 得证【解析】本题考查利用导数研究单调性、最值以及恒成立问题，属于难题()要证明 x R，f(x) x，只要证 1+ x ex恒成立，构造函数，利用导数证明即可；()(i)方法一：得到 (x)的解析式，利用导数求出 (x)的最大值即可；方法二：利用()的结论直接求解即可；(ii)构造新函数，则只需证明 m(t) = lnt 2(t1)t+1 0(t 1)即可
