1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十二） 函数模型及应用 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 基本初等函数模型 1 (2018 贵州遵义期中 )某企业为节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 3 万元，该设备每年生产的收入均为 21 万元设该设备使用了 n(n N*)年后，盈利总额达到最大值 (盈利总额等于总收入减去总成本 )，则 n 等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 7 或 8 解析：选 B 盈利总额为 21n 9 ? ?2n 12 n n 32n2 412n 9.因为其对应的函数的图象的对称
2、轴方程为 n 416 ，所以当 n 7时取最大值，即盈利总额达到最大值故选 B. 2 (2018 湖北八校联考 )有一组试验数据如表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是 ( ) A y 2x 1 1 B y x2 1 C y 2 log2x D y x3 解析：选 B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项 C 不正确取 x 2.01，代入 A 选项，得 y 2x 1 14，代入 B 选项，得 y x2 13 ，代入 D 选项，得 y x38；取 x 3，代
3、入 A 选项，得 y 2x 1 1 15，代入 B选项，得 y x2 1 8，代入 D 选项，得 y x3 27，故选 B. 3 (2018 德阳一诊 )某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量 p(单位：毫克 /升 )不断减少，已知 p 与时间 t(单位：小时 )满足 p(t) p02t30，其中 p0为t 0 时的污染物数量又测得当 t 0,30时，污染物数量的变化率是 10ln 2，则 p(60) ( ) A 150 毫克 /升 B 300 毫克 /升 C 150ln 2 毫克 /升 D 300ln 2 毫克 /升 解析：选 C 因为当 t 0,30时，污染物数量的变化
4、率是 10ln 2，所以 10ln 212p0 p030 0 ，所以 p0 600ln 2，因为 p(t) p02t30， 所以 p(60) 600ln 22 2 150ln 2(毫克=【 ;精品教育资源文库 】 = /升 ) 4 (2018 开封质检 )用长度为 24 的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ( ) A 3 B 4 C 6 D 12 解析：选 A 隔墙的长为 x(01 时，甲走在最前面； 当 x1 时，乙走在最前面； 当 01 时，丁走在最后面； 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； 如果它们一直运动下去，最终走在最前面
5、的是甲 其中正确结论的序号为 _ 解析：甲、乙、丙、丁的路程 fi(x)(i 1,2,3,4)关于时间 x(x0) 的函数关系式分别为 f1(x) 2x 1， f2(x) x2， f3(x) x， f4(x) log2(x 1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数 型函数模型当 x 2 时， f1(2) 3，=【 ;精品教育资源文库 】 = f2(2) 4，所以 不正确；当 x 5 时， f1(5) 31， f2(5) 25，所以 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x 1 时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可
6、知，当 01 时，丁走在最后面，所以 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以 正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面 ，也不可能走在最后面，所以 正确 答案： 对点练 (二 ) 两类特殊函数的模型 1 (2018 嘉定模拟 )某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时 )的关系为 f(x) ? ?xx2 1 a 2a 23， x 0,24，其中 a 是与气象有关的参数，且 a ? ?0， 12 .如
7、果 以每天 f(x)的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为 M(a)，若规定当 M(a)2 时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时， a 的取值范围为 ( ) A.? ?0， 14 B.? ?0， 49 C.? ?14， 49 D.? ?49， 12 解析：选 B 设 t xx2 1，当 x0 时，可得 t 1x 1x ? ?0， 12 ，当 x 0 时， t 0，因而 f(x) g(t) |t a| 2a 23? t 3a 23， 0 t a，t a 23， a2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时， a 的 取值范围为 ? ?0， 4
8、9 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.某人准备购置一块占地 1 800 平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 米的小路 (如图阴影部分所示 )，大棚占地面积为 S平方米，其中 a b 1 2，若要使 S最大，则 y _. 解析：由题意可得 xy 1 800， b 2a，则 y a b 3 3a 3， S (x 2)a (x 3) b (3x 8)a (3x 8) y 33 1 808 3x 83 y 1 808 3x 83 1 800x 1 808 ? ?3x 4 800x 1 808 2 3x 4 800x 1 808 240 1 568，当且仅当3x 4
9、800x ，即 x 40 时取等号，所以当 S 取得最大值时， y 1 80040 45. 答案： 45 3 (2018 广西模拟 )某市用 37 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假 设以 v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长 400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 ? ?v202km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 _h(车身长度不计 ) 解析：设全部物资到达灾区所需时间为 t h，由题意可知， t 相当于最后一辆行驶了?36?v202 400 km 所用 的时间，因此， t36 ? ?v20 2 400v 12 ，当且仅当36v400400v ，即 v 20
10、03 时取等号故这些汽车以 2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为 12 h. 答案： 12 4一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里 /小时时，每 小时的燃料费是 6元若匀速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为 _海里 /小时时，总费用最小 解析：设每小时的总费用为 y 元，则 y kv2 96， 又当 v 10 时， k10 2 6，解得 k 0.06， 所以每小时的总费用 y 0.06v2 96，匀速行驶 10 海里所用的时间为 10v 小时，故总费用为 W 10vy
11、 10v(0.06v2 96) 0.6v 960v 2 0.6v 960v 48，当且仅当 0.6v 960v ，即 v 40 时等号成立故总费用最小时轮船的速度为 40 海里 /小时 答案： 40 大题综合练 迁移贯通 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2018 江西抚州七校联考 )食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元到甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿、乙大棚种黄瓜根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q与投入 a
12、(单位：万元 )满足 P 80 4 2a， Q 14a 120.设甲大棚的投入为 x(单位：万元 )，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元 ) (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解： (1)因为甲大棚投入 50 万元，所以乙大棚投入 150 万元 所以 f(50) 80 4 250 14150 120 200 77.5. (2)f(x) 80 4 2x 14(200 x) 120 200 14x 4 2x 50. 依题意得? x20 ，200 x20 ， 解得 20 x180 ， 所以 f(x) 14x 4 2x 50(2
13、0 x180) 令 t x 2 5， 6 5 ，则 f(x) g(t) 14t2 4 2t 50 14(t 8 2)2 82. 所以当 t 8 2，即 x 128 时， f(x)max 82. 所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 82 万元 2 (2018 山东德州期中 )某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克 /升 )满足 y mf(x)，其中 f(x)? x225 2， 05.当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克 /升 )时称为有效净化
14、；当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克 /升 )且不高于10(毫克 /升 )时称为最佳净化 (1)如果投放的药剂的质量为 m 5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为 m，为了使在 9 天 (从投放药剂算起包括 9 天 )之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)当 m 5 时， y? x25 10， 05.当 05 时，由 5x 952x 2 5 解得 55.当 05 时， y 40mx 20，且 a1) 图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳 (1)试求 p
15、 f(t)的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由 解： (1)当 t (0,14时，设 p f(t) c(t 12)2 82(c0)，将点 (14,81)代入得 c=【 ;精品教育资源文库 】 = 14， 当 t (0,14时， p f(t)14(t 12)2 82； 当 t (14,40时，将点 (14,81)代入 y loga(t 5) 83，得 a 13. 所以 p f(t)? 14 t 2 82， t ， 14，log13t 83， t ， 40.(2)当 t (0,14时， 14(t 12)2 8280 ， 解得 12 2 2 t12 2 2， 所以 t 12 2 2， 14； 当 t (14,40时， log13(t 5) 838
