1、拓展题型创新题型推荐回归教材1. (2019柳州)平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形请你证明这个判定定理已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC.求证：四边形ABCD是平行四边形证明：第1题图函数的实际应用2. (2019徐州)如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A.甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行，设出发x min时，甲 、乙两人与点A的距离分别为y1m，y2m.已知y1，y2与x之间的函数关系如图所示第2题图(1)求甲、乙两人的速度；(2)当x取何值时，甲、乙两
2、人之间的距离最短？实践活动性问题3. (2019山西)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).第3题图课题测量旗杆的高度成员组长： 组员： ， ， 测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度ACBD1.5 m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离
3、可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上测量数据测量项目第一次第二次平均值GCE的度数25.625.825.7GDE的度数31.230.831A，B之间的距离5.4 m5.6 m任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是_m；任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度；(参考数据：sin 25.70.43，cos 25.70.90，tan 25.70.48, sin 310.52，cos 310.86，tan 310.60)任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆
4、的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)反比例函数综合题4. (2019泰州)已知一次函数y1kxn(n0)和反比例函数y2(m0，x0)(1)如图，若n2，且函数y1、y2的图象都经过点A(3，4)求m、k的值；直接写出当y1y2时x的范围；(2)如图，过点P(1，0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3(x0)的图象相交于点C.若k2，直线l与函数y1的图象相交点D，当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求mn的值；过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E.当mn的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离
5、之和d始终是一个定值，求此时k的值及定值d.第4题图正多边形的判定探究问题5. (2019台州)我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3)，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形(1)已知凸五边形ABCDE的各条边都相等如图，若ACADBEBDCE，求证：五边形ABCDE是正五边形；如图，若ACBECE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由；(2)判断下列命题的真假(在括号内填写“真”或“假”)如图，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等若ACCEEA，则六边
6、形ABCDEF是正六边形；()若ADBECF，则六边形ABCDEF是正六边形()第5题图阅读理解问题6. (2019山西)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理下面就是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2R22Rr.如图，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆，I与AB相切于点F，设O的半径为R，I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OId，则有d2R22Rr.第6题图
7、 下面是该定理的证明过程(部分)：延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN.DN，DMINAI(同弧所对的圆周角相等)，MDIANI.IAIDIMIN. 第6题图 如图，在图(隐去MD，AN)的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF.DE是O的直径，DBE90.I与AB相切于点F，AFI90.DBEIFA.BADE(同弧所对的圆周角相等)，AIFEDB.IABDDEIF.任务：(1)观察发现：IMRd，IN_(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子和式子，并利用任务(1)、(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证
8、明的剩余部分；(4)应用：若ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则ABC的外心与内心之间的距离为_ cm.统计与概率结合7. (2019福建)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三
9、年使用期内的维修次数，整理得下表：维修次数89101112频数(台数)1020303010(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；(2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务？函数过程探究型8. (2019江西)数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图，将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图是示意图活动一如图，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合第8题图数学
10、思考(1)设CDx cm，点B到OF的距离GBy cm.用含x的代数式表示：AD的长是_ cm，BD的长是_ cm；y与x的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_活动二(2)列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格；x(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.58_2.4734.295.08_描点：根据表中数据，继续描出中剩余的两个点(x，y)；在图中连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象数学思考(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论第8题图利用函数探究几何图形的性质9. (2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB10 cm
11、，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒(1)求证：CEEF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求BEF面积的最大值 第9题图 备用图抛物线几何性质探究10. (2019福建)已知抛物线yax2bxc(b0)与x轴只有一个公共点(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式；(2)设A为抛物线上的一个定点，直线l：ykx1k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y1，垂足为
12、D.当k0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ABC是等腰直角三角形求点A的坐标和抛物线的解析式；证明：对于每个给定的实数k，都有A，C，D三点共线主题学习型探究问题11. (2019兰州)通过对下面数学模型的研究学习，解决第(1)题、第(2)题【模型呈现】如图，在RtABC中，ACB90，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABCDAE，进而得到ACDE，BCAE.我们把这个数学模型称为“K型”推理过程如下：第11题图【模型应用】(1) 如图，RtABC内接于O，ACB90，BC2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DEAC于点E
13、，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F.求证：AD是O的切线；连接FC交AB于点G，连接FB.求证：FG2GOGB.第11题图【模型迁移】(2)如图，二次函数yax2bx2的图象交x轴于A(1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC.设运动的时间为t秒求二次函数yax2bx2的表达式；连接BD，当t时，求DNB的面积；在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；当t时，在直线MN上存在一点Q，使得AQCOAC90，求点Q的坐标第11题
14、图参考答案拓展题型创新题型推荐1. 解：如解图，连接BD，第1题解图在ABD与CDB中，ABDCDB(SSS)12，34.ABCD，ADBC.四边形ABCD是平行四边形2. 解：(1)设甲行驶的速度为a m/min，乙行驶的速度为b m/min .由题意得解得答：甲行驶的速度为240 m/min，乙行驶的速度为80 m/min；(2)设甲乙两人之间的距离为d m，由(1)得当甲到达A点时，所用时间为5 min.则分以下两种情况讨论：当0x5时，d2(1200240x)2(80x)264000(x)2144000，此时x4.5 时，d2最短为144000，即d最短约为379 m；当x5时，d2(
15、240x1200)2(80x)264000(x)2144000，此时x5时，d2最短为160000，即d最短为400 m；综上所述，当x 4.5时，d最短即x取4.5 min时，甲乙两人之间的距离最短3. 解：任务一：5.5；【解法提示】A，B之间的距离的平均值为5.5 m.任务二：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，EHAC1.5 m，CDAB5.5 m.设EGx m.在RtDEG中，DEG90，GDE31，tan 31，DE.在RtCEG中，CEG90，GCE25.7，tan25.7，CE.CDCEDE，5.5.x13.2.GHGEEH13.21.514.7 m.答：旗杆G
16、H的高度约为14.7 m.任务三：没有太阳光旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难(答案不唯一)4. 解：(1)当n2时，一次函数的解析式为y1kx2，代入点A(3，4)，有43k2，解得k2.把点A(3，4)代入y2，解得m12.m12，k2；当x3时，y1y2；(2)当k2，直线的解析式为：y12xn，P点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(1，m)，D点的坐标为(1，2n)，C点的坐标为(1，n)，当D在BC的延长线上时，BDBC，2nmmn，mn1；当D在BC之间时，BDDC，m2n2nn，mn4 ，当D在BC的延长线上时，BCDC，mnn2n2，而m0，n0，故不合题意；mn1或
17、4；由可知B(1，m)，C(1，n)，对于直线ykxn，令ym，解得x，当点E在B点的左边时，BE1，BCmn，根据题意有1mnd，(1)(mn)1d，要使mn取不大于1的任意实数，d的值为定值，只能使10，此时k1，d1.当点E在B点的右边时，BE1，BCmn，根据题意有1mnd，整理，得(1)(mn)1d，要使mn取不大于1的任意实数，d的值为定值，只能使10，即k1，d1(不合题意，舍去)k1，d1.5. (1)证明：ABBCCDDEEA，ACADBEBDCE，ABCBCDCDEDEAEAB(SSS)ABCBCDCDEDEAEAB.五边形ABCDE是正五边形；解：五边形ABCDE是正五边
18、形理由：如解图，设1，记AC与EB的交点为O.ABBCCDDEEA，ACECEB，ABCCDEEAB.ABCDEAB，123456.OAOB，OCOE.7823.EBEC，9482.ABCBCDDDEAEAB3.五边形ABCDE是正五边形第5题解图(2)假；假6. (1)解：Rd；【解法提示】观察图可知INONOIRd.(2)解：BDID.理由如下：点I是ABC的内心，BADCAD，CBIABI.DBCCAD，BIDBADABI，DBIDBCCBI，BIDDBI.BDID；(3)证明：由(2)知：BDID，IAIDDEIF.又IAIDIMIN，DEIFIMIN.2Rr(Rd)(Rd)R2d22
19、Rr.d2R22Rr.OId，OI2R22Rr；(4).【解法提示】由(3)d2R22Rr可知ABC的外心与内心之间的距离.7. 解：(1)“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10203060(台)，P(这100台机器在三年使用期内维修次数不大于10)0.6，答：“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率约为0.6；(2) 若每台都购买10次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数y1(240001024500202500030300003035
20、00010)27300.若每台都购买11次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数y2(26000102650020270003027500303250010)27500.y1y2，购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务8. 解：(1)(6x)，(6x)；y，0x6；【解法提示】AB12且C为AB的中点，ACBC6.CDx，ADACCD6x，BDBCCD6x.BGOF，BGAE.BGDAOD.则有.依题意得AOAC6，代入得.y，此时自变量x的取值范围是0x6.
21、(2)补全表格：x(cm)6543.53y(cm)00.551.21.582x(cm)2.5210.50y(cm)2.4734.295.086描点如解图：画出该函数的图象，如解图：第8题解图(3)y随着x的增大而减小；图象关于直线yx对称；函数y的取值范围是0y6.(写出答案即可，答案不唯一)9. (1)证明：如解图，过点E分别作AB、BC的垂线，垂足为点G、H，四边形ABCD 是正方形，ABBC.BD是正方形ABCD的对角线，BD所在直线是正方形的对称轴CEAE，EGEH.EFAE，AEFABF90.AEGGEF90，FEHGEF90，AEGFEH.AGEFHE90，AGEFHE(ASA)A
22、EEF.CEEF；第9题解图(2)解：在RtBCD中，BD10，0x5，由(1)知：AEEFEC，分两种情况：当0x时，如解图，EFEC，EHBC，FHHC.EHB是等腰直角三角形，BE2x，EHBHx.HC10x.FHHC10x.FBFHBH102x.yFBEH(102x)x2x25x(0x)；当x5时，如解图，过点E作ENBC于点N，ENBNx，FNCN10x，BFBC2CN102(10x)2x10，yBFEN(2x10)x2x25x，综上，y与x之间的函数表达式为y.第9题解图(3)解：当0x时，y2x25x2(x)2，当x时，y有最大值是；当x5时，y2x25x2(x)2，当x时，y随
23、x增大而增大，当x5时，y有最大值是50.综上，BEF面积的最大值为50.10. (1)解：依题意得，(4a)24ac0，a0，c4a，即a，c满足的关系式为c4a；(2)解：当k0时，直线l为y1，它与y轴的交点为(0，1)直线y1与x轴平行，等腰直角ABC的直角顶点只能是点A，且点A是抛物线的顶点如解图，过A作AMBC，垂足为点M，则AM1，第10题解图BMMCAM1，故点A坐标为(1，0)，抛物线的解析式可改写为ya(x1)2，抛物线过点(0，1)，1a(01)2，解得a1.抛物线的解析式为y(x1)2；证明：如解图，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，1)由得x2(k2)
24、xk0，(k2)24kk240，由抛物线的对称性，不妨设x1x2，则x1，x2，x11x2.设直线AD的解析式为ymxn(m0)，则有解得直线AD的解析式为yx.y2(x2)(x21)2(x21)(x11)(x21)1(x21)(1)0.即y2x2，点C(x2，y2)在直线AD上故对于每个给定的实数k，都有A、C、D三点共线第10题解图说明：本参考答案仅给出一种解法供参考11. (1)证明：DAEABC，ABCBAC90.DAEBAC90.BAD180(DAEBAC)90.OA是O的半径，AD是O的切线；如解图，OAAB，ADAB，.又OADACB90，OADACB.AODCAB.BFGCAB
25、，AODBFG.又BGFFGO，OFGFBG.FG2OGBG.第11题解图(2)解：将A(1，0)、B(4，0)分别代入yax2bx2中，得解得抛物线的解析式为yx2x2；由得C(0，2)，又B(4，0)，直线BC的函数解析式为yx2.由题意得A(1，0)，AM2t，OM2t1，BM4(2t1)2t5.当t时，BM252，M(2，0)，N(2，1)，D(2，3)SDNBSDMBSNMBBM(DMNM)2(31)2；易得BC2.PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形，CPBPBC2.如解图，过点P作x轴的平行线交y轴于点G，过B作y轴的平行线交GP延长线于点H，根据已知模型，可得PCGBPH，P
26、GBHPMOM.PM2t1.又BM2t5，在RtBPM中，由勾股定理得PM2BM2BP2，即(2t1)2(2t5)2()2，解得t11，t22.当t1时，D(1，3)，当t2时，D(3，2)；第11题解图A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)，AB5，AC，BC2.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形，且ACB90.OCAOCB90.AQCOAC90，OCAOAC90，OCBABC90，AQCOCAABC.当t时，M(，0)，易得抛物线的对称轴为直线x，且A、B两点关于此对称轴对称此时直线MN与抛物线的对称轴重合如解图，以AB为直径画圆，交抛物线对称轴分别于点Q1，Q2.由圆周角定理知，AQ1CAQ2CABC.点Q1，Q2符合要求MQ1MQ2AMAB，Q1(，)，Q2(，)综上，点Q的坐标为(，)或(，)第11题解图
