1、第 1 页，共 13 页 惠州市惠州市 2023届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 1 【解析】RR0 ,20Ax xABxx ； 2 【解析】0.122130logloglo132 1,2022g,abc，所以10acb ； 3 【解析】62xx展开式的通项为：36621662C2CrrrrrrrTxxx ，令3602r，解得4r ，所以展开式的常数项为4462C240； 4 【解析】a在e上投影向量2132 3,3,322
2、a eaee； 5 【解析】0q ，由20212024aa，则420202020aqaq，310qq，2110qqqq ，得10qq，01q，又由20222023aa，则2320202020aqaq，23qq，210qq，1q且0q ，011qq 且0q ，即“20212024aa”是“20222023aa”的充分条件 6 【解析】圆22(1)(2)4xy的圆心为1, 2 ，依题意，点1, 2 在直线1 0ax by 上， 因此210ab ，即21ab0,0ab，5121222(2)baabababab 22529baab ，当且仅当22baab，即13ab时取“=”，所以12ab的最小值为9
3、. 7 【解析】定义域|0 x x ，排除 CD，由 55505eef排除 B，所以选 A 8 【解析】在事件1A发生的条件下，乙罐中有 5红 2 白 7个球，则25127C10|C21P B A ，A正确； 在事件2A发生的条件下，乙罐中有 4 红 3 白 7个球，则1132247C C124|C217P C A，B 正确； 因1253(), ()88P AP A，110|21P B A ，24272C6|C21P B A， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A A B A C 第 2 页，共 13 页 则 22115 1032(2)()617|821814PPBP B
4、 AP B AAP A ，C不正确； 因212|21P C A，1152217C C10|C42P C A ， 则 12215 103 1243|82184()()218P CP C AP C AP AP A ，D 正确. 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4小题，每小题满分小题，每小题满分 5分，共分，共 20分分在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求全部选对得全部选对得 5分，部分选对得分，部分选对得 2分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9 【解析】由折线图知，小组 A打分的 9个分值排序为：42,45,46,47,47,47
5、,50,50,55，小组 B 打分的 9 个分值排序为：36,55,58,62,66,68,68,70,75；对于 A：小组 A打分的分值的众数为 47，故选项 A正确；对于 B：小组 B 打分的分值第 80 百分位数为9 80%7.2，所以应排序第 8，所以小组 B 打分的分值第 80百分位数为 70，故选项 B 不正确；对于 C：小组 A打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平对评估相对波动较小，故小组 A更像是由专业人士组成，故选项 C正确；对于 D：小组 A打分的分值的均值约47.7，小组 B打分的分值均值为62，根据数据对离散程度可知小组 B 的方差较大，选项 D 不正确； 10 【解
6、析】121nnaa，可得1121nnaa ，数列1na 是等比数列，B 正确； 又11a ，则1111 2nnaa ，21nna ，C错误；则37a ，A正确； 12 1 2221 2nnnSnn ，故 D 错误 11 【解析】： f x的对称中心即为 f x的零点，则032sinf，A正确；50,12x，则 2,33 2x ，sinyx在 ,3 2单调递增，B不正确； f x在对称轴处取到最值，则2113122in2sf，C正确；将函数 f x的图像沿 x轴向左平移4个单位长度，将得到函数2sin 262sin 243xyx，D不正确 12对于 A，易知MN与1BD为异面直线，所以M，N，B
7、，1D不可能四点共面，故 A错误； 题号 9 10 11 12 全部正确选项 AC AB AC BCD 第 3 页，共 13 页 对于 B，连接1CD，CP，易得1/ /MNCD，所以1PDC为异面直线1PD与MN所成角， 设2AB ，则112 253CDDPPC，所以2221(2 2)( 5)310cos102 2 25PDC， 所以异面直线1PD与MN所成角的余弦值为1010，故 B 正确； 对于 C，连接1AB，1AM，易得1/ /ABMN，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形1MNBA，故 C 正确；对于 D，易得1/ /DPBN，因为1DP平面MNB，MN 平面MNB，所以1/DP平
8、面MNB，所111111 1 2323P MNBDMNBB MNDVVV ，故 D 正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20分分 132； 1434 15DMPC（或BMPC，OMPC ） 164，,4； 13 【解析】13i221 i2z，故答案为2 14 【解析】设经过点P的终边角度为02，由根据题意，利用任意角的三角函数的定义， 得：1cos =2，3sin=2，则2=3coscos33a，sinsin33b， 1213cossinsinsin3323234ab 15 【解析】由ABCD为菱形，则ACBD， PA 平面A
9、BCD，所以PABD，BD平面PAC，BDPC， 面PCD为固定平面，面DMB为运动平面，且运动平面中的固定直线BDPC， 所以只需在运动平面中增加一条与DB相交且垂直于PC的直线即可满足面DMB面PCD， 所以填DMPC，BMPC，OMPC，等，都满足要求。 16 【解析【解析 1】如图所示，过点Q作抛物线准线的垂线QE，垂足为点E，设PFO，则为锐角， 设抛物线28yx的准线与x轴的交点为M，则4MF ，由抛物线的定义可知QFQE，第 4 页，共 13 页 4coscosMFPF，cosQEQFPQPFQF， 所以1 coscosPFQF， 当点P的坐标为2,8 2时，2248 212PF
10、 ， 则1cos3MFPF，此时 1 cos4cosPFdFPQ； 当点,02Ptt时，若 40d PPFk恒成立， 则 4kd PPF， 4 1 cos444coscosd PPF，4k . 【解析【解析 2】由0 , 2,28 , 2FP ，得12PF，222:xylPF，联立xy82 整理得 0452 xx，解得 1x或4x（舍） 所以321FQ，所以 4FQPFpd 由0,0 , 2, 2tFtP ， 得162tPF 24:xtylPF，联立xy82，整理得 0412842222txtxt 解得 2221616322tttx或2221616322tttx（舍） 所以 164164216
11、16322222222ttttttFQ 所以 416422ttFQPFpd，所以 4164164222tttPFpd 所以 4k. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10分，其中第一小问 4分，第二小问 6分。 ） 【解析】 （1）选时： 【解法【解法 1】由12nnaa可知数列 na是以公差2d 的等差数列，1分 又55a 得51+ 5 1aad， 2分 第 5 页，共 13 页 得13a ，3分 故3 21nan ，即25nan*nN4 分 【解法【解法 2】由
12、12nnaa可知数列 na是以公差2d 的等差数列， 1分 又55a 得55naand，2 分 则552nan ，3分 即25nan*nN4 分 选时： 由12nnaa可知数列 na是以公差2d 的等差数列， 1分 由24S 可知124aa ，即1224a 2分 得13a ，3分 故3 21nan ，即25nan*nN4 分 【备注】【备注】选这两个条件无法确定数列，不给分。 （2）1(25) 23)25211111(23nnnbaannnn2分 111111111=()()()311()1 1522323nTnn4分 2113231=n5分 61164n 所以69=nnTn6分 18 （本小
13、题满分 12分，其中第一小问 7分，第二小问 5分） （1）【解法【解法 1】11213333ADABBDABBCABACABABAC2分 222221421233999ADABACABAB ACAC 4分 22421121 3 cos1203999 5分 第 6 页，共 13 页 796分 故73AD 7分 【解法【解法 2】在ABC中，2222cosBCABACAB ACBAC 22132 1 3 cos120 1分 所以13BC 2分 2222221133cos22 113ABBCACABCAB BC 3分 55 13262 134分 在ABD中，2222cosADABBDAB BDAB
14、D 213135 1312 19326 5分 79 6分 故73AD 7分 【解法【解法 3】在ABC中，2222cosBCABACAB ACBAC 22132 1 3 cos120 1 分 所以13BC 2分 2222223131cos22 313ACBCABACBAC BC 3分 57 13262 134分 在ACD中，2222cosADACCDAC CDACD 24 132 137 1332 39326 5分 第 7 页，共 13 页 79 6分 故73AD 7分 【解法【解法 4】在ABC中，BACACABACABBCcos2222 120cos3123122 1 分 所以13BC 2
15、 分 因为 0coscosADCADB 3 分 所以 022222222DCADACDCADBDADABBDAD 5 分 即02331321313222222ADAD 6 分 解得37AD 7 分 （2）【解法【解法 1】因为cosAD ACDACADAC 1分 2212133337733ABACACAB ACAC3分 22111 333237 4分 2 77 5分 【解法【解法 2】由（1）解法 3可得 222cos2ACADDCDACAC AD 1分 22272 1333372 33 4分 第 8 页，共 13 页 42 772 75分 19 （本小题满分 12分，其中第一小问 5分，第二
16、小问 7分） 【解析】 （1）零假设为0H：学生对课后延时服务的兴趣与性别无关， 1分【注：【注：无无零假设零假设不不得得分分】 则2210035 20 15 3050 50 65 352分 1001.09991 3分 0.1001.0992.706x4分 根据小概率值0.100的独立性检验，没有充分的证据推断0H不成立， 因此认为学生对课后延时服务的兴趣与性别无关5分 （2）【解法【解法 1】按分层抽样的方式选出 5人， 则兴趣较大、兴趣一般的女生入选人数分别为 3 人和 2人，1分 则的可能取值为 0、1、2，2分 且33351010CPC，221335315C CPC， 12323532
17、10C CPC.4分【注：任意一个正确得【注：任意一个正确得 1分分，全部正确得，全部正确得 2分分】 分布列为： 0 1 2 P 110 35 310 5分 所以数学期望 13301210510E 6分【注：【注：无无1010不不得得这这 1分分】 65.7分 【解法【解法 2】按分层抽样的方式选出 5 人， 则兴趣较大、兴趣一般的女生入选人数分别为 3 人和 2人，1分 由题服从超几何分布且2M ，5N （也可表示为3,2,5H）2分 所以的分布列为32335()kkCCPkC，0,1,2k 5 分 第 9 页，共 13 页 所以数学期望 M nEN2 356分 65 即数学期望为657分
18、 20 （本小题满分 12分，其中第一小问 5分，第二小问 7分） 【解析】 （1）证明：取PC的中点F，连接,EF BF 因为AE是等边ADP的中线，所以AEPD1分 因为E是棱PD的中点，F为PC的中点， 所以EFCD，且12EFCD2分 因为1,2ABCD ABCD，所以EFAB，且EFAB， 所以四边形ABFE是平行四边形，所以AEBF3 分 因为,BCBP F为PC的中点，所以BFPC，从而AEPC4 分 又PCPDP，且PC平面PCD，PD 平面PCD， 【注：【注：无本行三个条件扣无本行三个条件扣 1分分】 所以AE平面PCD5分 （2） 【解法【解法 1】由（1）知AECD，又
19、ADCD，=ADAE A，且AD、AE 平面ADP， 所以CD平面ADP，从而EF 平面ADP 以E为坐标原点，,EP EA EF的方向分别为, ,x y z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz1分 则2 2,0,0 ,0,2 6,2 ,2 2,0,4PBC ， 所以2 2,2 6,2PB 4 2,0,4PC 2分 设平面PBC的法向量为, ,mx y z， 由0,0,PB mPC m得2 22 620,4 240,xyzxz3分【注：【注：有方程组可得分有方程组可得分】 令1x，则0,2yz，所以1,0, 2m4分 又平面PAD的一个法向量为0,0,1n，5分 A B E D
20、 C P F 第 10 页，共 13 页 所以26cos,33m nm nm n，6分 即平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为637分【注：【注：无结论不得分无结论不得分】 【解法【解法 2】由（1）知AECD，又ADCD，=ADAE A，且AD、AE 平面ADP， 所以CD平面ADP，从而BA 平面ADP 所以PBC在平面PAD上的投影为PAD1分 在Rt PBC中，222224 26PBABPA 222244 24 3PCCDPD2分 取PC中点F，连结BF， 则222262 22 6BFPBPF3分 所以114 3 2 612 222PBCSPC BF4分 238 34PADSPA5分
21、记平面PBC与平面PAD所成夹角为，8 36cos312 2PADPBCSS6分 即平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为637分【注：【注：无结论不得分无结论不得分】 【解法【解法 3】延长CB交DA延长线于点Q，连结PQ，1分【注：【注：作出图形可得分作出图形可得分】 因为ABCD且12ABCD，所以DAAQ 则PAD为直角三角形，DPPQ2分 由（1）知AECD，又ADCD， =ADAE A，且AD、AE 平面ADP， 所以CD平面ADP，从而CDPQ 3分 由二面角定义知：面PBC与面PAD所成夹角为DPC，4分【注：【注：指出平面角可得分指出平面角可得分】 在Rt PDC中，22224
22、4 24 3PCCDPD5 分 4 26cos34 3PDDPCPC6 分 即平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为637分【注：【注：无结论不得分无结论不得分】 ABEDCPF Q A B E D C P 第 11 页，共 13 页 21 （本小题满分 12分，其中第一小问 4分，第二小问 8分） 【解析】 （1）由已知得12ca，所以22222131124bcaa ，1 分 又点31,2在该椭圆上，所以221914ab，2 分 所以224,3ab， 3 分 所以椭圆 C的标准方程为22143xy4 分 （2）由于BN的斜率为k，设直线BN的方程为2yk x，1分 联立方程组222143yk
23、xxy，整理得2222431616120kxk xk，2分 所以22161243BNkx xk，所以228643Nkxk， 从而21243Nkyk，即2228612,4343kkNkk，3分 同理可得：由于AM的斜率为3k，则直线AM的方程为32yk x， 联立方程组2232143yk xxy，可得2222363144144120kxk xk， 即2222121484840kxk xk ，所以22484121AMkx xk，所以22242121Mkxk， 从而212121Mkyk，即22224212,121121kkMkk，4 分 当12k 时，222222241214341212128642
24、12143MNkkkkkkkkkkk ，5分 所以直线MN为222212486434143kkkyxkkk 整理得24141kyxk6分 第 12 页，共 13 页 即直线MN过定点1,0P ， 当MNxx，即12k 时，直线MN的方程为1x，也过点1,0P ，7分 综上可得，直线MN过定点1,0P .8分 【注：【注：5-8分段可按下面方法表达分段可按下面方法表达】 当MNxx，即12k 时，直线MN的方程为1x，过点1,0P ，5 分 当12k 时，22222012412124212341121121PMkkkkkkkkk ， 6分 22222120124438612341143PNkkk
25、kkkkkk ， 即PMPNkk，所以直线MN过定点1,0P ， 7分 综上可得，直线MN过定点1,0P .8分 22 （本小题满分 12分，其中第一小问 6分，第二小问 6分） 【解析】 （1）由题得 112212eexxxfxaxaxa1 分 当0a时，12e0 xa，令 0fx则1x， 故当,1x 时， 0fx， f x单调递增； 当1,x时， 0fx， f x单调递减；2分 当0a时，令 0fx则11x ，2ln2xa： 当ln21a，即12ea时， 当, ln2xa 和1,时， 0fx， f x单调递增； 当ln2 ,1xa 时， 0fx， f x单调递减； 3 分 当ln21a，即
26、12ea时， 0fx， f x在 R 上单调递增；4分 第 13 页，共 13 页 当ln21a，即102ea时， 当,1x 和ln2 , a时， 0fx， f x单调递增； 当1, ln2xa时， 0fx， f x单调递减；5 分 综上所述，当0a时， f x在,1上单调递增，在1,上单调递减； 当102ea时， f x在,1和ln2 , a上单调递增，在1, ln2a上单调递减； 当12ea时， f x在 R上单调递增； 当12ea时， f x在, ln2a 和1,上单调递增， 在ln2 ,1a上单调递减；6分【注：【注：除处，除处，区间端点可开可闭】区间端点可开可闭】 （2）由题，即证3ln2243, 1,0)exxaxaax ，即233ln22e2xxxaxax， 得232lne2xxaxaxxx. 1分 由（1）可得当 1,0)a 时 22exxf xaxax f x在,1上单调递增，在1,上单调递减2分 故21111221eeeexxaxaxaaa ，当且仅当1x时取等号.3分 设 3ln2h xxx，则 312xh xx， 故在0,1上 0h x， h x单调递减；在1,上 0h x， h x单调递增.4分 故 312h xh，即33ln22xx，5分 故213321lnee22xxaxaxxx ， 故232lne2xxaxaxxx即得证6分
