1、广东省佛山市2020届高三数学上学期教学质量检测试题（一）理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合Ax|x2x20，Bx|x|1，则AB（）A（2，1）B（1，1）C（0，1）D（1，2）3（5分）已知x，yR，且xy0，则（）Acosxcosy0Bcosx+cosy0Clnxlny0Dlnx+lny04（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与yex关于y轴对称，则f（x）（）Aex+1Bex1Cex1De
2、x+15（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）ABCD6（5分）已知等比数列an满足a1a236，a1a324，则使得a1a2an取得最大值的n为（）A3B4C5D67（5分）已知为锐角，cos，则tan（+）（）ABC2D38（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的
3、两条渐近线交于A，B两点，若OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）Ay21Bx21C1D19（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结论是（）A截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B10年来全球新增装机容量连年攀升C10年来中国新增装
4、机容量平均超过20GWD截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10（5分）已知函数f（x）+2x+1，且f（a2）+f（2a）3，则a的取值范围是（）A（，3）（1，+）B（，2）（0，+）C（2，0）D（1，3）11（5分）已知函数f（x）sinx+sin（x），现给出如下结论：f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f（x）的最大值为2其中正确结论的个数为（）A1B2C3D412（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若MNQ为直角三
5、角形，则MNQ面积的最大值为（）A3BCD3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种（用数字作答）14（5分）在ABC中，AB2，AC3，P是边BC的垂直平分线上一点，则 15（5分）函数f（x）lnx和g（x）ax2x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 ；设点A（，0），则|PO|+|PA|的最小值为 三、解答题：本大题共5小
6、题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调
7、研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBbsin（A）（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若ADBD2，CD3，求ADC的面积19（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过
8、椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：ykx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|MN|，求此时|MN|的长度20（12分）如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，APBACB90，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心（1）证明：GF平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC的余弦值21（12分）已知函数f（x）1+x2sinx，x0（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）e2x请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号选修4
9、-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|PB|PM|PN|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x1|（1）若f（a）2，求a的取值范围；（2）当xa，a+k时，函数f（x）的值域为1，3，求k的值2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中
10、，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解：，在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知集合Ax|x2x20，Bx|x|1，则AB（）A（2，1）B（1，1）C（0，1）D（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1或x1，AB（1，2）故选：D【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一
11、元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题3（5分）已知x，yR，且xy0，则（）Acosxcosy0Bcosx+cosy0Clnxlny0Dlnx+lny0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，ycosx在（0，+）上不是单调函数，故cosxcosy0不一定成立，A错误；对于B，当x，y时，cosx+cosy10，B不一定成立；对于C，ylnx在（0，+）上为增函数，若xy0，则lnxlny，必有lnxlny0，C正确；对于D，当x1，
12、y时，lnx+lnyln0，D不一定成立；故选：C【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题4（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与yex关于y轴对称，则f（x）（）Aex+1Bex1Cex1Dex+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可【解答】解：yex关于y轴对称的函数为yex，然后向右平移一个单位得到f（x），得ye（x1），即f（x）ex+1，故选：A【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键比较基础5（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个
13、“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）ABCD【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，故选：B【点评】几何概型的概率估算公式中的“
14、几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解6（5分）已知等比数列an满足a1a236，a1a324，则使得a1a2an取得最大值的n为（）A3B4C5D6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求【解答】解：等比数列an满足a1a236，a1a324，解可得，q，a127，an，若使得a1a2an取得最大值，则n应该是偶数，且n4时，|an|1，故当n4时，a1a2an取得最大值故选：B【点评
15、】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键7（5分）已知为锐角，cos，则tan（+）（）ABC2D3【分析】求出tan，从而tan，由此能求出tan（+）的值【解答】解：为锐角，cos，sin，tan，解得tan，或tan2，tan（+）3故选：D【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）Ay21Bx21C1D1【分析】求出双曲线的渐近线方
16、程，令xa，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bxay0和bx+ay0，由xa与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，b），OAB是边长为2的等边三角形，即有2b2，即b1，且a2，可得双曲线的方程为y21故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题9（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了
17、100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结论是（）A截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B10年来全球新增装机容量连年攀升C10年来中国新增装机容量平均超过20GWD截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+1
18、3+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1197.7，则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D【点评】本题考查频率直方图，属于基础题10（5分）已知函数f（x）+2x+1，且f（a2）+f（2a）3，则a的取值范围是（）A（，3）（1，+）B（，2）（0，+）C（2，0）D（1，3）【分析】设F（x）f（x）+2x+1+2x，分析函数F（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）3，转化为F（a2）F（2a），即可解出答案【解答】解：根据题意，设F（x）f（x）+2x+1+2x，则F（0）f（0）0，又由F（x）+2（x）（+2x）F（x），即函数F
19、（x）为奇函数；又由F（x）0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）3，则f（a2），f（a2）f（2a），F（a2）F（2a），F（a2）F（2a），所以a22a，解得，a2或a0，故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题11（5分）已知函数f（x）sinx+sin（x），现给出如下结论：f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f（x）的最大值为2其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据函数奇偶性定义进行判断，用反证法推出函数的函数无周期，f（x）sinx+sin（x）2sincos
20、，函数的零点为方程sin0或cos0，x或x，x（0，），进而得出结论，用反证法推出函数的函数最大值不是2【解答】解：因为f（x）sin（x）+sin（x）sinxsin（x）f（x），所以f（x）是奇函数，正确假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（x+T）sinx+sinx，sin（x+T）sinxsin（x+T）sinx，所以sincossincos，存在x0R，使得cos0，而cos0，将x0R，sincos0，由于，故sin0，所以sin0，sin0，k，m，k，mZ，所以km，矛盾，所以函数f（x）sinx+sin（x），没有周期，错误f（x）sinx+sin（x）2sinco
21、s，函数的零点为方程sin0或cos0，x或x，x（0，）x，或，所以f（x）在区间（0，）上有三个零点；故正确假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，x0且x0，（kZ）即x0且x0，所以，k，与kZ矛盾，故错误故选：B【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题12（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则MNQ面积的最大值为（）A3BCD3【分析】不妨设N在B处，AMh，CQm，则有MB2h2+4，BQ2m2+4，MQ2（hm）2+4由MB2BQ2+MQ2m2hm+2
22、0h280h28，且h4，可得S21+h2，就可求出S最大值【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AMh，CQm，则有MB2h2+4，BQ2m2+4，MQ2（hm）2+4由MB2BQ2+MQ2m2hm+20得hm+h280h28，且h4，即8h216，S，S2|MQ|2|BQ|2（hm）2+4（m2+4）把代入得S2（m+m）2+4（m2+4）+4（m2+4）5+5+（+m）241+（+m）21+h2，所以S21+h29，17，S2max17，Smax，故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）从进入决赛
23、的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60种（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有60种方法故答案为：60【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题14（5分）在ABC中，AB2，AC3，P是边BC的垂直平分线上一点，则【分析】取BC的中点D，（ +）（+）+），再利用两个向量垂直的性质及向量的
24、运算法则，可得结果【解答】解：取BC的中点D，由条件得 （ +）（ ）（+）+）（ ）+0，故答案为：【点评】此题是基础题本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质15（5分）函数f（x）lnx和g（x）ax2x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为yx1【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0ax02x0，结合f（x0）g（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程【解答】解：f（x）lnx的导数为f（x），g（x）ax2x的导数为g（x）2ax1，设
25、P（x0，y0），则lnx0ax02x0，f（x0）g（x0），即2ax01，化简得12ax02x0，联立消a得，lnx0，令（x）lnx，（x）+0，易知（x）在（0，+）上单调递增，又（1）0，所以（x）lnx有唯一解1，即x01，则y0f（1）0，a1故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为yx1故答案为：yx1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题16（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，1）；设点A（，
26、0），则|PO|+|PA|的最小值为【分析】设P（x，y），P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值【解答】解：设P（x，y），P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|，化简得y22x+1，令x0，y1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，1），A（，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|，故答案为：（0，1）；【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答
27、须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费
28、意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05100.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客
29、的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元（2）设降价x元，则0x15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.70.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为： Y1 155 P
30、0.3 0.7E（Y1）150.350.71（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05100.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为： Y2 55 P 0.8 0.2E（Y2）50.850.23（元），则5000个游客的平均利润为5000315000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元（2）设降价x元，则0x15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.70.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为： Y 15x5 P 0.3+0.05x
31、0.70.05xE（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2，当x7时，E（Y）有最大值3.45元，当定价为13元时，日平均利润取最大值为50003.4517250元【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBbsin（A）（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若ADBD2，CD3，求ADC的面积【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA，结合范围A（0，），可求A的值（2）设B，由题意
32、可得BAD，ADC2，DAC，ACD，在ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sincos，可求sin，cos，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2，进而根据三角形的面积公式可求SADC的值【解答】解：（1）由正弦定理可得asinBbsinA，则有bsinAb（sinAcosA），化简可得sinAcosA，可得tanA，因为A（0，），所以A（2）设B，由题意可得BAD，ADC2，DAC，ACD，在ADC中，则，所以，可得sincos，又因为sin2+cos21，可得sin，cos，则sin22sincos，所以SADCsinADC【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应
33、用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：ykx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|MN|，求此时|MN|的长度【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值【解答】解：（1）由题意得：e，+1，b2a2c2，解得：a24，b23，所以椭
34、圆的方程：1；（2）由题意直线l2的方程：ykx，代入椭圆中整理：（3+4k2）x212，解得x，令M的坐标（，k）|OP|MN|，由对称性可知，点P为OM的中点故P的坐标（，），由P在直线l1：x+y0，所以+0，解得：k0或k，故M的坐标为（2，0），或（，），所以|OM|2，或，所以|MN|的长度为4或【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题20（12分）如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，APBACB90，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心（1）证明：GF平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC的余弦值【分析】（1）连结
35、EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DEAC，EFAP，从而DE平面PAC，EF平面PAC，进而平面EFG平面PAC，由此能证明GF平面PAC（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OFPE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BAPC的余弦值【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，DEAC，EFAP，DE，EF平面PAC，AC，AP平面PAC，DE平面PAC，EF平面PAC，DE，EF平面EFG
36、，DEEFE，平面EFG平面PAC，GF平面EFG，GF平面PAC（2）解：连结PE，PAPB，E是AB的中点，PEAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PE平面PAB，PE平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OFPE，OF平面ABC，FGO是GF与平面ABC所成角，FGO60，在RtFGO中，设GF2，则OG1，OF，OC3，PE2，AB4，CE2，OE，OE2+OC2CE2，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，3，0），C（3，0，0），P（0，2），（3，3，0），（0，2），设平面PA
37、C的一个法向量（x，y，z），则，取z1，得（），平面PAB的法向量（1，0，0），设二面角BAPC的平面角为，则cos，二面角BAPC的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知函数f（x）1+x2sinx，x0（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）e2x【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，利用导数容易得证【解答】解：（1）f（x）12cosx，令f（x）0，得，故在区间0，上，
38、f（x）的唯一零点是，当时，f（x）0，f（x）单调递减；当时，f（x）0，f（x）单调递增，故在区间0，上，f（x）的极小值为，当x时，f（x）的最小值为；（2）要证x0时，f（x）e2x，即证x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，g（x）2（1+x2sinx）e2x+（12cosx）e2x（3+2x4sinx2cosx）e2x，令h（x）xsinx，x0，则h（x）1cosx0，即h（x）是（0，+）上的增函数，h（x）h（0）0，即xsinx，3+2x4sinx2cosx3+2sinx4sinx2cosx32（sinx+cosx），g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x0
39、，即g（x）是（0，+）上的增函数，g（x）g（0）1，故当x0时，f（x）e2x，即得证【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|PB|PM|PN|【分析】（1）由y4m，
40、得m，代入x4m2，求出C的普通方程为y24x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线（2）设直线l1的倾斜角为，直线l2的倾斜角为，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y24x联立，得t2sin2+（2y0sin4cos）t+y024x00，由此能证明|PA|PB|PM|PN|【解答】解：（1）解：由y4m，得m，代入x4m2，得y24x，曲线C的普通方程为y24x，C的普通方程为y24x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线（2）证明：设直线l1的倾斜角为，直线l2的倾斜角为，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y24x联立，得t2sin2+（2y0sin4cos）t+y024x
41、00，设方程的两个解为t1，t2，则t1t2，|PA|PB|t1|t2|，|PM|PN|，|PA|PB|PM|PN|【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x1|（1）若f（a）2，求a的取值范围；（2）当xa，a+k时，函数f（x）的值域为1，3，求k的值【分析】（1）f（a）|a1|2，即可得a的取值范围是（1，3）；（2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性【解答】解：（1）f（a）|a1|2，得2a12即1a3，所以a的取值范围是（1，3）（2）当a1时，函数f（x）在区间a，a+k上单调递增则f（x）minf（a）a11，得a2，f（x）maxf（a+k）a+2k13，得k1当a1时，f（x）则f（x）minf（a）1a1，得a0，f（x）maxf（a+k）a+2k13，得k2综上所述，k的值是1或2【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题
