1、丰台区20192020学年度第一学期期末练习 高三数学 2020.01第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，则（A）（B）（C）（D）2 命题“”的否定是（A）（B）（C）（D）3 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）4一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，则此四面体在坐标平面上的正投影图形的面积为（A）（B）（C）（D） 5已知菱形边长为1，则（A）（B）（C）（D）6双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D） 7已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成
2、等比数列，则（A）（B）（C）（D）8. 在的展开式中，常数项是（A）（B） （C）（D）9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为. 科学研究发现与成正比. 当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为. 当时，其耗氧量的单位数为（A）（B） （C）（D）10. 在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 （A）在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面 （B）存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面（C）若，当二面角为直二面角时， （D）在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记
3、为，的最大值为第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 复数的实部为 12. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦（用数字作答）13. 已知分别为内角的对边，且，则 14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；任意相邻的两项，满足.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（）若，则数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15已
4、知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 16定义域为的函数同时满足以下两条性质：存在,使得；对于任意，有.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.（i）若是增函数，则 ；（）若不是单调函数，则 .三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.（本小题共13分）已知函数.（）求的值；（）求在区间上的最大值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱中，平面，的中点为. （）求证：； （）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围
5、城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75，节省造纸能源消耗4050.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量（吨
6、）55.15.24.84.9塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望20.（本小题共13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆方程；（）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数.
7、（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）讨论函数的单调性；（）对于任意，都有，求实数的取值范围.22.（本小题共13分） 已知，给定个整点,其中. （）当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值； （）从上面个整点中任取个不同的整点，. （i）证明：存在互不相同的四个整点，满足,；（ii）证明：存在互不相同的四个整点，满足,（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区20192020学年度第一学期期末练习高三数学 参考答案及评分参考 202001一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案CCB BAABCDD二、填空题共6小题，每小题5分，共
8、30分11 1215 1314是；是 15； 16；(答案不唯一)注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共13分）解：（） . .4分（） . 因为，所以. 当，即时，取得最大值. .13分 18.（本小题共14分）证明：（）因为平面，平面，所以.因为，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以. .4分 （）由（）可知，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系 因为，所以，.因为平面，所以即为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为， 则 即 令，则.于是.所以.由题知二面角为锐角，所以其余弦值为.10分（）
9、假设棱上存在点，使得平面.由，又，故. 因为，为的中点，所以.所以.若平面，则，解得.又因为平面. 所以在棱上存在点，使得平面，且.14分 19（本小题共13分）解：（）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件. 由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以. .4分 （）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸， 所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. 的所有可能取值为0，1，2. ；.所以的分布列为:012 .13分20.（本小题共13分）解：（）因为以原点为圆心，椭圆
10、的短半轴长为半径的圆与直线相切， 所以半径等于原点到直线的距离，即. 由离心率，可知，且，得.故椭圆的方程为. .4分 （）由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在，则直线方程为，所以.则直线的方程为，直线的方程为. 令，得，. 所以两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在，设直线的方程为,由得，依题意恒成立.设， 则. 设，由题意三点共线可知，所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.所以. 综上，两点的纵坐标之积为定值. .13分 21（本小题共14分）解：（）当时，因为所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为. .4分（）因为，所以.令，解得或.若，当即或时，函数单调递增； 当即时，函数单调递减.
11、若，则，当且仅当时取等号，函数是增函数.若，当即或时，函数单调递增.当即时，函数单调递减.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.9分（） 令，解得或.当时，随变化， 变化情况如下表：由表可知，此时 ，不符合题意.当时，随变化， 变化情况如下表： 由表可得 ，且，所以只需 即 解得.当时，在恒成立，符合题意.当时，只需 即 解得. 当时，不符合题意.综上，实数的取值范围是. .14分22（本小题共13分）解:（）当时，4个整点分别为.所以的所有可能值. .3分 （）（i）假设不存在互不相同的四个整点，满足.即在直线中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为.而，与已知矛盾.故存在互不相同的四个整点，满足.（ii）设直线上有个选定的点.若，设上的这个选定的点的横坐标为，且满足.由，知中任意不同两项之和至少有个不同的值，这对于也成立.由于中任意不同两项之和的不同的值恰有个，而,可知存在四个不同的点，满足, .13分（若用其他方法解题，请酌情给分）
