1、 2020-2021 学年广东省云浮市高二（下）期末数学试卷学年广东省云浮市高二（下）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A（，） B（，） C（，） D（，） 2已知随机变量 XB（n，p），若 D（X）3，E（X）4，则 n，p 分别为（ ） An8，p Bn8，p Cn16，p Dn16，p 3函数 f（x）xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为（ ） A2xye0 Bx2y+e0 C2x+y3e0 Dx+2y3e0 4若 XN（5，），且 P（5X6）0.3，则 P（X4）（
2、 ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 5三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A729 B18 C216 D81 6（2+）（1x）10展开式中的常数项为（ ） A12 B8 C8 D12 7一边长为 18 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时，x（ ） A2 B3 C4 D6 8设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在（0，1）内增大时，（ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小
3、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列求导正确的是（ ） A若 f（x），则 f（x）lnx B若 f（x）3ex，则 f（x）3ex C若 f（x）x2+log2x，则 f（x）2x D若 f（x）sinx+cos，则 f（x）cosxsin 10已知（x）n展开式中各项的二项式系数和是 64，则（ ） An6 B展开式中所有项的系数和为1 C展开式中常数项为160 D展开式中含 x2项为60
4、x2 11已知双曲线 W：1（ ） Am（2，1） B若 W 的顶点坐标为（0，），则 m3 CW 的焦点坐标为（1，0） D若 m0，则 W 的渐近线方程为 xy0 12已知函数，则（ ） Af（x）是偶函数 Bf（x）在上的最大值为 1 Cf（x）在0，上为减函数 Df（x）在（0，）上有且仅有 1 个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的橫线上分把答案填在答题卡中的橫线上 13计算（43i）（54i） 14直线 l：xy10 被圆 C：x2+y22x4y0 截得的弦 AB 的长为 15 从 1， 3，5，7
5、，9 中任取三个数， 从 2，4，6，8， 中任取两个数，一共可组成 个没有重复数字的五位数 16某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作， 则部件正常工作 元件 1， 元件 2， 元件 3 正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）2x3+3x212x （1）求 f（x）的单调区间； （2）求 f（x）在0，3上的最值 18已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点
6、到准线的距离为 1 （1）求 p 的值及抛物线 C 的焦点 F 的坐标； （2）求抛物线 C 在 x1 处的切线方程 19从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高 x 和体重 y 数据如表所示 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 164 166 160 170 175 164 156 173 体重/kg 49 57 52 53 65 61 44 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 174cm 的女大学生的体重（结果精确到 0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算） 参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x
7、+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 20 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出， 永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足 4 千步的人为 “不健康生活方式者” ， 不少于 10 千步的人为 “超健康生活方式者” ，其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校 50 名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过 14 千步，按步数分为0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），12，14（单位：千步）七组，得
8、到如图所示的频率分布直方图 （1）求这 50 名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3 人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的 3 人中“超健康生活方式者”人数为 X，求X 的分布列和数学期望； （3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会打算对该校全体 1000 名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在10，12）内的教职工奖励一件 T 恤，价值 50元；步数在12，14内的教职工奖励一件 T 恤和一条运动裤，价值 100 元试判断 10000元的预算是否足够 21已知椭
9、圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 过点（2，0），离心率 e，O 为坐标原点，过 F2且不平行于坐标轴的动直线 l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M （1）求 C 的标准方程； （2）记直线 OM 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1k2为定值 （3）y 轴上是否存在点 P，使得ABP 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 22已知函数 f（x）2ex（ex2a）+4ax+a2 （1）讨论 f（x）极值点的个数； （2）若到 x1，x2是 f（x）的两个极值点，且 f（x1）+f（x2）t（x1+x2
10、）恒成立，求实数 t 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A（，） B（，） C（，） D（，） 【分析】直接化简已知的复数，从而得到其在复平面内对应点的坐标得答案 解：+i， 复数在复平面内对应的点的坐标为（，）， 故选：B 2已知随机变量 XB（n，p），若 D（X）3，E（X）4，则 n，p 分别为（ ） An8，p Bn8，p Cn16，p Dn16，p 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解 解：随机变量 XB（n，p），D（X）3，E（
11、X）4， D（X）np（1p）3，E（X）np4， n16，p 故选：D 3函数 f（x）xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为（ ） A2xye0 Bx2y+e0 C2x+y3e0 Dx+2y3e0 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 xe 处的导数，再求出 f（e）的值，利用直线方程的点斜式得答案 解：由 f（x）xlnx，得 f（x）lnx+1， 则 f（e）lne+12，又 f（e）elnee， 函数 f（x）xlnx 的图象在 xe 处的切线方程为 ye2（xe）， 即 2xye0 故选：A 4若 XN（5，），且 P（5X6）0.3，则 P（X4）（ ） A0.2 B0.3
12、C0.4 D0.6 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解 解：XN（5，），且 P（5X6）0.3， P（4X5）0.3， P（4X6）0.3+0.30.6， 故选：A 5三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A729 B18 C216 D81 【分析】每个班级都有 6 种选法，由分步乘法计数原理求解 解：每个班级都有 6 种选法，由分步乘法计数原理，得不同选法的种数是 666216 故选：C 6（2+）（1x）10展开式中的常数项为（ ） A12 B8 C8 D12 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出：（2+）（1x）10展开式中的常数项 解
13、：（2+）（1x）10展开式中的常数项为 2+（x）2108， 故选：C 7一边长为 18 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时，x（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】求出关于容积 V（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数取最大值时 x 的值即可 解：由题意得：无盖方盒的底面是边长为 182x 的 正方形，高为 x， 则无盖方盒的容积 V（x）（182x）2x4x372x2+324x（0 x9）， V（x）12x2144x+32412（x3）（x9）， 当 x（0，3）时，V（x）0，当 x（3，9）时，V（
14、x）0， 故 x3 时，方盒的容积最大， 故选：B 8设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在（0，1）内增大时，（ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 解：E（X）0+a+1， D（X）（）2+（a）2+（1）2 （a+1）2+（2a1）2+（a2）2（a2a+1）（a）2+ 0a1，D（X）先减小后增大 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合符
15、合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列求导正确的是（ ） A若 f（x），则 f（x）lnx B若 f（x）3ex，则 f（x）3ex C若 f（x）x2+log2x，则 f（x）2x D若 f（x）sinx+cos，则 f（x）cosxsin 【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可 解：，A 错误； （3ex）3ex，B 正确； ，C 正确； ，D 错误 故选：BC 10已知（x）n展开式中各项的二项式系数和是 64，则（ ） An6 B展开式中所有项的系数和为1 C展开式中常数项为1
16、60 D展开式中含 x2项为60 x2 【分析】由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论 解：（x）n展开式中各项的二项式系数和是 2n64，n6，故 A 正确； 令 x1，可得展开式中所有项的系数和为（12）61，故 B 错误； 在通项公式 Tr+1（2）rx62r 中，令 62r0，求得 r3， 可得展开式中常数项为（8）160，故 C 正确； 在通项公式 Tr+1（2）rx62r 中，令 62r2，求得 r2， 可得展开式中含 x2项为4x260 x2，故 D 错误， 故选：AC 11已知双曲线 W：1（ ） Am（2，1） B若 W 的顶
17、点坐标为（0，），则 m3 CW 的焦点坐标为（1，0） D若 m0，则 W 的渐近线方程为 xy0 【分析】根据双曲线的方程，分析顶点，焦点，渐近线方程 解：因为方程1 表示双曲线， 所以（2+m）（1+m）0， 解得 m1 或 m2，故 A 错误； 若 W 的顶点坐标为（0，），则m1（）2， 解得 m3，故 B 正确； 当 m1 时，c2（2+m）+（m+1）2m+3， 当 m2 时，c2（2+m）（m+1）2m3，故 C 不正确； 若 m0，则 W 的标准方程为y21，渐近线方程为 xy0，故 D 正确 故选：BD 12已知函数，则（ ） Af（x）是偶函数 Bf（x）在上的最大值为
18、1 Cf（x）在0，上为减函数 Df（x）在（0，）上有且仅有 1 个零点 【分析】对于 A：计算得 f（1）f（1），则 f（x）不是偶函数，即可判断 A 是否正确； 对于 B：求导得，设 g（x）（sinx+cosx）ex+xsinx+cosx，则 g（x）（x2ex）cosx，可得 g（x）的单调性，计算极值，端点处的函数值，即可判断 B 是否正确； 对于 C：函数 f（x）在0，上先减后增，即可判断 C 是否正确； 对于 D：又 f（0）1，再结合单调性，即可判断 D 是否正确 解：对于 A：因为， 所以 f（1）f（1）， 所以 f（x）不是偶函数，故 A 错误； 对于 B：， 设
19、g（x）（sinx+cosx）ex+xsinx+cosx， 则 g（x）（x2ex）cosx， 因为，所以 x2ex0， 当时，cosx0， 当时，cosx0， 所以 g（x）在上单调递减，在上单调递增， 因为，g（0）0，g（）e10， 所以函数 f（x）在上单调递增，最大值为 f（0）1，故 B 正确； 对于 C：函数 f（x）在0，上先减后增，故 C 错误； 对于 D：又 f（0）1，所以 f（x）在（0，）上为有且仅有 1个零点，故 D 正确 故选：BD 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的橫线上分把答案填在
20、答题卡中的橫线上 13计算（43i）（54i） 32i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：原式2012+15i16i32i， 故答案为：32i 14直线 l：xy10 被圆 C：x2+y22x4y0 截得的弦 AB 的长为 2 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解 解：将圆 x2+y22x4y0 的方程化成标准式方程（x1）2+（y2）25， 圆心坐标为（1，2），半径 r， 圆心到直线 l 的距离 d， 故答案为： 15从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8，中任取两个数，一共可组成 7200 个没有重复数字的五位数 【分析】先选后排，
21、根据分步计数原理即可求出 解：从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8，中任取两个数， 共有 C53C42A557200 个没有重复数字的五位数， 故答案为：7200 16某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作， 则部件正常工作 元件 1， 元件 2， 元件 3 正常工作的概率分别为， 则这个部件能正常工作的概率为 【分析】设“元件 1 正常工作”为事件 A，“元件 2 正常工作”为事件 B，“元件 3 正常工作”为事件 C， 则 P（A），P（B），P（C），再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解 解：设“元件 1 正
22、常工作”为事件 A， “元件 2 正常工作”为事件 B， “元件 3 正常工作”为事件 C， 则 P（A），P（B），P（C）， 这个部件能正常工作的概率为 P1P（ ）P（ ）P（A） 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）2x3+3x212x （1）求 f（x）的单调区间； （2）求 f（x）在0，3上的最值 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可 解：（1）
23、f（x）2x3+3x212x， f（x）6x2+6x126（x+2）（x1）， 令 f（x）0，解得：x1 或 x2， 令 f（x）0，解得：2x1， 故 f（x）在（，2）递增，在（2，1）递减，在（1，+）递增； （2）由（1）f（x）在0，1）递减，在（1，3递增， 而 f（0）0，f（1）7，f（3）45， 故 f（x）在0，3上的最小值是7，最大值是 45 18已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点到准线的距离为 1 （1）求 p 的值及抛物线 C 的焦点 F 的坐标； （2）求抛物线 C 在 x1 处的切线方程 【分析】（1）利用抛物线的标准方程可得，焦点到准线的距离为 p，从而
24、得到抛物线 C的标准方程； （2）利用导数的几何意义求切线方程 解：（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为 p，由题意可知，p1， 则抛物线 C 的方程 x22y，抛物线 C 的焦点 F 的坐标（0，） （2）由抛物线 C 的方程 x22y，可得 yx， 所以抛物线 C 在 x1 处的切线斜率为 k1， 因为切点为（1，）， 抛物线 C 在 x1 处的切线方程为 y1（x1），即 2x2y10 19从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高 x 和体重 y 数据如表所示 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 164 166 160 170 175 164 156 173 体重/kg
25、49 57 52 53 65 61 44 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 174cm 的女大学生的体重（结果精确到 0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算） 参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的公式，可得，再将 x174代入该方程中，即可求解 解：166， 55， 0.82， ， 女大学生的身高预报体重的回归方程为， 对 于 身 高 为174cm的 女 大 学 生 ， 由 回 归 方 程 可 以 预 报 其 体 重 为（kg）
26、20 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出， 永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足 4 千步的人为 “不健康生活方式者” ， 不少于 10 千步的人为 “超健康生活方式者” ，其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校 50 名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过 14 千步，按步数分为0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），12，14（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图 （1）求这 50
27、 名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3 人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的 3 人中“超健康生活方式者”人数为 X，求X 的分布列和数学期望； （3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会打算对该校全体 1000 名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在10，12）内的教职工奖励一件 T 恤，价值 50元；步数在12，14内的教职工奖励一件 T 恤和一条运动裤，价值 100 元试判断 10000元的预算是否足够 【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解
28、（2）由直方图可知，50 名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有 6人， X 的所有可能的值为 0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得 X 的分布列，并结合期望公式，即可求解 （3）分别计算出10，12），12，14内的教职工人数，并结合各自奖励的金额，即可求解 解：（1）由频率分布直方图可得，50 名教职工日行步数的样本平均数为 10.023+30.042+50.082 +70.222+90.082+110.052+130.0126.96 （2）由直方图可知，50 名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有 6人， X 的所有可能的值为 0，1，2，3， P（
29、X0），P（X1）， P（X2），P（X3）， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X） （3） 用样本估计总体， 可知全校教职工中任取 1 人为 “超健康生活方式者” 的概率为 0.12， “超健康生活方式者” 共有 0.121000120 人， 其中步数在10， 12） 内的教职工有 0.0521000100 人， 步数在12，14内的教职工有 0.012100020 人， 10050+20100700010000， 10000 的预算足够 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 过点（2，0），离心率 e，O 为坐标原点，过 F2且不平行于
30、坐标轴的动直线 l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M （1）求 C 的标准方程； （2）记直线 OM 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1k2为定值 （3）y 轴上是否存在点 P，使得ABP 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由椭圆 C 过点（2，0），离心率 e，列方程组，解得 a，b，c，即可得出答案 （2）由于+1，+1，两式相减，利用点差法可得，由 M 为 AB 的中点，得到 k1，即可得出 k1k2为定值 （3）设直线 l 的方程为 yk（x1），联立椭圆的方程，求出 x1+x2，x1x2，y1+y2，
31、由弦长公式可得|AB|，|MP|，进而得到 M 点坐标，由ABP 为等边三角形，得|MP|AB|，解方程，即可得出答案 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， （1）因为 a2，e，所以 c1， 所以 b， 所以椭圆 C 的标准方程为+1 （2）证明：因为+1，+1， 所以+0，即， 因为 M 为 AB 的中点，所以 k1， 所以 k1k2 （3）设直线 l 的方程为 yk（x1）， 联立，得（3+4k2）x28k2x+4k2120， 所以 x1+x2，x1x2， 所以 y1+y2k（x1+x2）2k， 所以 M 点的坐标为（，）， 因为ABP 为等边三角形，所以|MP|AB|， 所以|
32、AB|x1x2|， |MP|0|， 所以， 即 23k2+270，无解， 所以不存在这样的点 P 22已知函数 f（x）2ex（ex2a）+4ax+a2 （1）讨论 f（x）极值点的个数； （2）若到 x1，x2是 f（x）的两个极值点，且 f（x1）+f（x2）t（x1+x2）恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合二次函数的性质，求出极值点的个数即可； （2）求出 f（x1）+f（x2）的解析式，问题等价于4a+4alnatlna，得到 t4a，令 h（a）4a（a4），求出函数的导数，根据函数的单调性求出 t 的范围即可 解：（1）f（x）
33、2ex（ex2a）+2e2x+4a4（e2xaex+a）， 令 g（x）x2ax+a（x0）， 当 a0 时，a24a0 且 g（0）a0， 故 g（x）0 有 1 个正根，故 f（x）有 1 个极值点， 当即 0a4 时，g（x）0 恒成立，故 f（x）没有极值点， 当 a4 时，a24a0 且 g（0）a0， 故 g（x）0 有 2 个不相等的正根，故 f（x）有 2 个极值点， 综上，当 a0 时，f（x）有 1 个极值点， 当 0a4 时，f（x）没有极值点， 当 a4 时，f（x）有 2 个极值点； （2）由（1）知当 f（x）有 2 个极值点时，a4 且 x1，x2是方程 e2xaex+a0 的两根， 故+a，则 x1+x2lna， f（x1）+f（x2） 2（2a）+4ax1+a2+2（2a）+4ax2+a2 2（+）4a（+）+4a（x1+x2）+2a2 244a（+）+4a（x1+x2）+2a2 2a24a4a2+4alna+2a24a+4alna， f（x1）+f（x2）t（x1+x2），等价于4a+4alnatlna， lna0，t4a， 令 h（a）4a（a4）， h（a）0， h（a）在（4，+）上单调递增， h（a）h（4）16， t16，即 t（，16
