1、 20212022 学年上学期佛山市普通高中教学质量检测学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学高二数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 与向量21,7a=平行，且经过点()4, 4的直线方程为（ ） A. 23677yx= B. 22077yx= C. 7182yx= D. 7102yx= + 2. 高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，
2、则参加图书馆活动的概率为（ ） A. 18 B. 14 C. 38 D. 12 3. 已知等边三角形的一个顶点在椭圆 E 上，另两个顶点位于 E的两个焦点处，则 E的离心率为（ ） A. 13 B. 12 C. 22 D. 32 4. 已知()4,3,1M，记 M到 x轴的距离为 a，到 y轴的距离为 b，到 z轴的距离为 c，则（ ） A. abc B. cab C. cba D. bca 5. 已知 F 是双曲线 C：2213xy=的一个焦点，点 P在 C的渐近线上，O是坐标原点，2OFPF=，则OPF的面积为（ ） A. 1 B. 32 C. 22 D. 12 6. 某家庭准备晚上在餐馆
3、吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（ ） 网站评价人数 网站好评率 网站评价人数 网站好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A. 餐馆甲 B. 餐馆乙 C. 餐馆丙 D. 餐馆丁 7. 在四面体DABC中，点 G是ABC的重心，设DAa= ，DBb= ，DCc=，则DG =（ ） A. 122333abc+ B. 111333abc+ C. 222333abc+ D. 221333abc+
4、8. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点直线 l：280 xy+=与椭圆 C：2211612xy+=相切于点 P，椭圆 C的焦点为1F，2F，由光学性质知直线1PF，2PF与 l的夹角相等，则12FPF的角平分线所在的直线的方程为（ ） A. 210 xy = B. 10 xy+ = C. 210 xy+ = D. 10 xy = 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得
5、5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9. 已知圆1C：221xy+=和圆2C：()()22230 xyrr+=，以下结论正确的是（ ） A. 若1C和2C只有一个公共点，则2r = B. 若1r =，则1C和2C关于直线32x =对称 C. 若12r，则1C和2C外离 D. 若23上一点()0,2M x与焦点 F的距离为MFp= （1）求0 x和 p的值； （2）直线 l：1yx=与 C相交于 A，B 两点，求直线 AM，BM的斜率之积 20. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD=，底面 ABCD为直角梯形，其中/
6、BC AD，ABAD，222ADABBC=，12PFFD= （1）求证：/ /PB平面 ACF； （2）在线段 PB上是否存在一点 H，使得 CH 与平面 ACF 所成角的正弦值为66？若存在，求出线段 PH的长度；若不存在，请说明理由 21. 已知椭圆 C经过()0,1A，32,3B两点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l与 C交于 P，Q两点，M是 PQ的中点，O 是坐标原点，OMPM=，求证：OPQ的边PQ 上的高为定值 22. 如图，在三棱锥DABC中，12ADCDAECEBC=，CDAD，记二面角DACB的平面角为 （1）若3=，2BC =，求三棱锥DABC的体积； （2
7、）若 M为 BC 的中点，求直线 AD与 EM所成角的取值范围 20212022 学年上学期佛山市普通高中教学质量检测学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学高二数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 与向量21,7a=平行，且经过点()4, 4的直线方程为（ ） A. 23677yx= B. 22077yx= C. 7182yx= D. 7102yx= + 【答案】A 【解析】 【分析】利用点斜式求得直线方程. 【详解】
8、依题意可知，所求直线的斜率为27， 所以所求直线方程为()2447yx+=，即23677yx=. 故选：A 2. 高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ） A. 18 B. 14 C. 38 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】对 4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答. 【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为 A，B，C，D， 从 4个单位中任选两个的试验有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 个基本事件，它们等可能， 其中有参加图书馆活动的事件有 AC，BC，C
9、D，共 3 个基本事件， 所以参加图书馆活动的概率3162P =. 故选：D 3. 已知等边三角形的一个顶点在椭圆 E 上，另两个顶点位于 E的两个焦点处，则 E的离心率为（ ） A. 13 B. 12 C. 22 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得, a c的关系式，从而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意可知3bc=， 所以222222114,42ccabccaa=+=. 故选：B 4. 已知()4,3,1M，记 M到 x轴的距离为 a，到 y轴的距离为 b，到 z轴的距离为 c，则（ ） A. abc B. cab C. cba D. bca 【答案】C 【解析】
10、【分析】分别求出点 M在 x 轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答. 【详解】设点 M 在 x 轴上的投影点1( ,0,0)Mx，则1(4,3,1)M Mx=，而 x 轴的方向向量1(1,0,0)n = ， 由11nM M得：1140n M Mx= ，解得4x =，则221|3110aM M=+=， 设点 M 在 y 轴上的投影点2(0, ,0)My，则2(4,3,1)M My= ，而 y 轴的方向向量2(0,1,0)n = ， 由22nM M 得：2230nM My= ，解得3y =，则222|4117bM M=+=， 设点 M 在 z 轴上的投影点3(0,0,
11、)Mz，则3(4,3,1)M Mz=，而 z轴的方向向量3(0,0,1)n = ， 由33nM M 得：3310nM Mz= = ，解得1z =，则223|435cM M=+=， 所以cba. 故选：C 5. 已知 F 是双曲线 C：2213xy=的一个焦点，点 P在 C的渐近线上，O是坐标原点，2OFPF=，则OPF的面积为（ ） A. 1 B. 32 C. 22 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出POF，再利用余弦定理求出|OP即可计算作答. 【详解】 双曲线 C：2213xy=中，| 2OF =， 其渐近线33yx= ， 它与 x轴的夹角为30， 即30POF=，
12、 在OPF中，22OFPF=，由余弦定理得：222|2| |cosPFOPOFOPOFPOF=+， 即2221|22| 2cos30OPOP=+，整理得：2|2 3 | 30OPOP+ =，解得|3OP =， 所以OPF的面积为113| |sin32 sin30222OPFSOPOFPOF= =. 故选：B 6. 某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（ ） 网站评价人数 网站好评率 网站评价人数 网站好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90
13、% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A. 餐馆甲 B. 餐馆乙 C. 餐馆丙 D. 餐馆丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答. 【详解】餐馆甲的总好评率为：1000 95% 1000 85%90%1000 1000+=+， 餐馆乙的总好评率为：1000 100%2000 80%86.67%10002000+， 餐馆丙的好评率为：1000 90% 1000 90%90%1000 1000+=+， 餐馆丁的好评率为：2000 95% 1000 85%91.67%2000 1000+， 显然91.67%90%86.67%，所以
14、餐馆丁的总好评率最高. 故选：D 7. 在四面体DABC中，点 G是ABC的重心，设DAa= ，DBb= ，DCc=，则DG =（ ） A. 122333abc+ B. 111333abc+ C. 222333abc+ D. 221333abc+ 【答案】B 【解析】 【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案. 【详解】设E是BC中点， 23DGDAAGDAAE=+=+ ()()211323DAABACDAABAC=+=+ ()()11233DADBDADCDADADBDCDA=+=+ 111111333333DADBDCabc=+=+ . 故选：B 8. 圆锥曲线具有丰富的光学性质
15、，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点直线 l：280 xy+=与椭圆 C：2211612xy+=相切于点 P，椭圆 C的焦点为1F，2F，由光学性质知直线1PF，2PF与 l的夹角相等，则12FPF的角平分线所在的直线的方程为（ ） A. 210 xy = B. 10 xy+ = C. 210 xy+ = D. 10 xy = 【答案】A 【解析】 【分析】先求得P点坐标，然后求得12FPF的角平分线所在的直线的方程. 【详解】()2228022,3311612xyxPxyy+=+=， 直线l的斜率为12， 由于直线1PF，2PF与 l的夹角相等，则12F
16、PF的角平分线所在的直线的斜率为2， 所以所求直线方程为()322 ,210yxxy= =. 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9. 已知圆1C：221xy+=和圆2C：()()22230 xyrr+=，以下结论正确的是（ ） A. 若1C和2C只有一个公共点，则2r = B. 若1r =，则1C和2C关于直线32x =对称 C. 若12r，
17、则1C和2C外离 D. 若23r且1C和2C的公共弦长为3，则7r = 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆1C的圆心为()10,0C，半径为11r =. 圆2C的圆心为()23,0C，半径为2rr=. 圆心距123C C =. 当4r =时，2112rrC C=，两圆内切，1C和2C只有一个公共点，A选项错误. 当1r =时，两个圆的半径相等，1C和2C关于直线32x =对称，B选项正确. 当12r+，1C和2C外离，C选项正确. 当23r，()1213,4rrr+= + ，()2111,2rrr= ， 所以211212rrC
18、Crr， 即相交弦所在直线方程为2106rx=， 所以公共弦长为()222102 1372,36rr=，D选项正确. 故选：BCD 10. 睡眠很重要，教育部关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知中强调“小学生每天睡眠时间应达到 10小时，初中生应达到 9小时，高中生应达到 8 小时”某机构调查了 1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（ ） A. 高三年级学生平均学习时间最长 B. 中小学生的平均睡眠时间都没有达到通知中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准 C. 大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间 D. 与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡
19、眠 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误. 根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到通知中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确. 学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比516.睡眠时间长于学习时间的占比1116，C选项正确. 从高三到大学一年级，学习时间减少9.655.713.94=，睡眠时间增加8.527.90.62=，所以 D选项错误. 故选：BC 11. 对于一个古典概型的样本空间和事件 A， B， C， 其中( )
20、24n =，( )12n A =，( )4n B =，( )8n C =，()()16n ABn AC=，则（ ） A. 事件 A与 B 互斥 B. 事件 A 与 B相互独立 C. 事件 A 与 C互斥 D. 事件 A与 C 相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件求出()n AB，()n AC可判断 A，C；计算概率结合相互独立事件的意义判断 B，D作答. 【详解】因()( )( )()n ABn An Bn AB=+，由已知得：()124 160n AB =+=，AB = ，即事件 A与 B 互斥，A正确； 因()()0( )n ABP ABn=，( )121( )( )24
21、2n AP An=，( )41( )( )246n BP Bn=，()( )( )P ABP A P B，事件 A 与 B不独立，B不正确； 因()( )( )()n ACn An Cn AC=+，由已知得：()128 164n AC =+ =，AC ，即事件 A 与 C不互斥，C不正确； 因()41()( )246n ACP ACn=，( )121( )( )242n AP An=，( )81( )( )243n CP Bn=，有()( )( )P ACP AP C=，事件 A 与 C相互独立，D正确. 故选：AD 12. 如图，在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，M 为1D
22、D的中点，连接 BM，设 BM 的中点为 E，动点 N在底面正方形 ABCD内（含边界）运动，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在无数个点 N 满足0AN BM= B. 若2ANNC=，则1A，E，N 三点共线 C. 若2 3NBND+=，则1AN的最大值为7 D. 若 MN 与平面 ABCD所成的角为3，则点 N 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量逐一分析各选项，计算判断作答. 【详解】在正方体1111ABCDABC D中，连接,AC BD交于点 O，取正方形1111DCBA中心1O，连1OO， 则1OO 平面ABCD，而A
23、CBD，建立如图所示的空间直角坐标系， 1(0,2,0), ( 2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(0,2,2)ABCDMA， 则线段 BM 中点1(0,0, )2E，设( , ,0)(22N x yx且22)y， 对于 A，( ,2,0)ANx y=+，( 2 2,0,1)BM = ，由0AN BM= 得0 x =，而22y， 所以存在无数个点 N满足0AN BM= ，A 正确； 对于 B，因2ANNC=，即24 2(0,0)33ANAC=，则2(0,0)3N，13(0,2,)2AE =， 114 24(0, 2)33ANAE= ，所以1A，E，N三点共线，B正确
24、； 对于 C， 因2 32 2|NBNDBD+=， 则点 N的轨迹是以点 B， D为焦点， 长轴长为2 3的椭圆(在正方形ABCD及内部)， 方程为22261(|)34xyy+=， 22221(2)433(2)4ANxyyy=+=+22222 292()102yyy=+=+， 所以当且仅当264y+=时，1AN取最大值362 32+，C不正确； 对于 D，(2, , 1)MNxy=+ ，平面ABCD的法向量(0,0,1)n =，依题意， 22|13sin|cos,|32|(2)1n MNn MNn MNxy= =+ ，整理得：221(2)3xy+=， 所以点 N 的轨迹为圆的一部分，D不正确.
25、 故选：AB 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 双曲线2212yx =的离心率为_ 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：21,123,3,3.caccea= += 考点：双曲线离心率 14. 圆心在 x轴上且过点()1,3的一个圆的标准方程可以是_ 【答案】22(1)9xy+= 【解析】 【分析】确定 x 轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】以 x轴上的点(1,0)为圆心
26、，则半径3r =， 所以圆的标准方程为：22(1)9xy+=. 故答案为：22(1)9xy+= 15. 机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试，采用全国统一的考试科目内容及合格标准，包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试，考生应依次参加四项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考据公安部门通报，佛山市四项考试的合格率依次为34，12，12，45，且各项考试是否通过互不影响，则一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为_ 【答案】147400 【解析】 【分析】至多需要补考一次，分
27、 5种情况分别计算后再求和即可. 【详解】不需要补考就通过的概率为31143422520=； 仅补考科目一就通过的概率为331143(1)4422580=； 仅补考科目二就通过的概率为311143(1)4222540=； 仅补考科目三就通过的概率为311143(1)4222540=； 仅补考科目三就通过的概率为311443(1)42255100=， 一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为3333314720804040100400+=. 故答案为：147400 16. 已知圆 C：()()22424xy+=和点()4,4M，若点 N 为圆 C 上一动点，点 Q为平面上一点且90M
28、QN=，则 Q点纵坐标的最大值为_ 【答案】92 【解析】 【分析】设出点 N 的坐标，探求出点 Q 的轨迹，再求出轨迹上在 x 轴上方且距离 x 轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答. 【详解】圆 C：()()22424xy+=的圆心(4,2)C，半径2r =，圆 C与 x轴相切， 依题意，点 M在圆 C上，设点00(,)N xy，则()()2200424xy+=，线段 MN 中点0044(,)22xy+，004y上一点()0,2M x与焦点 F 的距离为MFp= （1）求0 x和 p的值； （2）直线 l：1yx=与 C相交于 A，B 两点，求直线 AM，BM的斜率之积 【答案】
29、 （1）01,2xp= （2）2 【解析】 【分析】 （1）结合抛物线的定义以及M点坐标求得p以及0 x. （2）求得,A B的坐标，由此求得直线 AM，BM 的斜率之积. 【小问 1 详解】 依题意抛物线 C：()220ypx p=上一点()0,2M x与焦点 F 的距离为MFp=， 根据抛物线的定义可知02px =， 将M点坐标代入抛物线方程得20222,12pppx=. 【小问 2 详解】 由（1）得抛物线方程为24yx=，()1,2M，不妨设 A 在 B 下方 ()()2132 2,22 2 ,32 2,22 24yxAByx=+=， 所以2 22 2222 2 22 2AMBMkk=
30、+. 20. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD=，底面 ABCD为直角梯形，其中/BC AD，ABAD，222ADABBC=，12PFFD= （1）求证：/ /PB平面 ACF； （2）在线段 PB上是否存在一点 H，使得 CH 与平面 ACF 所成角的正弦值为66？若存在，求出线段 PH的长度；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）证明见解析 （2）存在，PH的长为3或33，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得/PB平面ACF. （2）设PHtPB= ，求出CH，根据CH与平面ACF所成角的正弦值列方程，由此求得t，
31、进而求得PH的长. 【小问 1 详解】 依题意，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD=， 底面 ABCD为直角梯形，其中/BC AD，ABAD，222ADABBC=，12PFFD= ， 以A为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ()()()4 20,1,1 ,1,0,0 ,1,1,0 ,0,3 3PBCF，()1, 1, 1PB = ， 设平面ACF的法向量为(), ,nx y z=， 则420330n AFyzn ACxy=+=+= ，故可设()1,1, 2n = ， 由于1 120n PB= += ， 所以/PB平面ACF. 【小问 2 详解】 存在，理由
32、如下： 设()()1, 1, 1,PHtPBtttt= = ，01t ， () ()()0,1,1,1,1AHAPPHtttttt=+=+ = ， () ()(),1,11,1,01,1CHAHACtttttt=， 依题意CH与平面ACF所成角的正弦值为6166=， 即()()22221221166342611n CHtttn CHttttt +=+ ， 23421tt+=，解得1t =或13t =. 3PHt=，即PH的长为3或33，使CH与平面ACF所成角的正弦值为66. 21. 已知椭圆 C经过()0,1A，32,3B两点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l与 C交于 P，Q
33、两点，M是 PQ的中点，O 是坐标原点，OMPM=，求证：OPQ的边PQ 上的高为定值 【答案】 （1）2213xy+= （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设出椭圆方程，根据,A B的坐标求得椭圆方程. （2）对直线l的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，求得OPQ的边 PQ上的高来证得结论成立. 【小问 1 详解】 设椭圆方程为221AxBy+=， 将,A B坐标代入得111,21,33BABA=+=， 所以椭圆方程为2213xy+=. 【小问 2 详解】 当直线l的斜率不存在时，,P Q关于x轴对称， 由于OMPM=，所以PPxy=， 即222431,332PPPPPxyx
34、xy+=， 直线32x = 与椭圆2213xy+=有两个交点，符合题意. 所以OPQ的边 PQ 上的高为32. 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为ykxb=+， 由2213ykxbxy=+=消去y并化简得()2221 36330kxkbxb+=， 设()()1122,P x yQ xy， 则2121222633,1 31 3kbbxxxxkk+= =+， ()()()2212121212yykxbkxbk x xkb xxb=+=+. 由于 M 是 PQ的中点且OMPM=，所以OPOQ， 所以12120 x xy y+=， 即()()22121210kx xkb xxb+=， ()222
35、22336101 31 3bkbkkbbkk+ +=+， 22222222222233336301 31 31 3k bbkk bbk bkkk+=+， ()22224330,431bkbk=+. 此时的()()2222364 1 333k bkb =+ 222212361212363kbkb=+=+ ()22212363 312730kkk=+ +=+. 原点到直线:0l kxyb+=的距离为2232413bbkb=+. 综上所述，OPQ的边 PQ上的高为定值 22. 如图，在三棱锥DABC中，12ADCDAECEBC=，CDAD，记二面角DACB的平面角为 （1）若3=，2BC =，求三棱
36、锥DABC的体积； （2）若 M为 BC 的中点，求直线 AD与 EM所成角的取值范围 【答案】 （1）63 224+ （2） ,6 3 【解析】 【分析】 （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出13AB = +，求出底面积和高，进而求 出 三 棱 锥 的 体 积 ；（ 2 ） 利 用 空 间 基 底 表 达 出,AD EM ， 结 合 第 一 问 结 论 求 出313113cos,cos,4422AD EM+=+ ，从而求出答案. 【小问 1 详解】 取 AC的中点 F，连接 FD，FE，由 BC=2，则1ADCDAECE=，故 DFAC，EFAC，故DFE即为二面角DACB
37、的平面角，即3DFE=，连接 DE，作 DHFE，因为DFEFF=，所以AC 平面 DEF，因为 DH平面 DEF，所以 ACDH，因为ACEFF=，所以 DH平面 ABC，因为CDAD， 由勾股定理得：2AC =，22DF =， 又1AECE=， 由勾股定理逆定理可知， AECE，且BAC=4，22EF =，在ABC中，由余弦定理得：2222242cos222 2ACABBCABBACAC ABAB+=， 解 得 ：13AB = +或13（ 舍 去 ） ， 则()11213sin2132222ABCSAC ABBAC+=+=，因为3DFE=，22DFEF=， 所 以 DEF 为 等 边 三
38、角 形 ， 则64DH =， 故 三 棱 锥DABC的 体 积1113663 2332424D ABCABCVSDH+=； 【小问 2 详解】 设ADCDAECEa=，则2ACa=，2BCa=，由（1）知：()31ABa=+，DFE=，取,FA FD FE 为空间中的一组基底，则ADFDFA= ，由第一问可知： ()11313222EMEBBMAEBCACFEFA=+=+=+ ()313131222FAFEFAFEFA+= += ， 则()313122AD EMFDFAFEFA+= 2313131312222FE FDFD FAFA FEFA+=+ 其中22FEFDFAa= ，且DFE=，,FDFA FEFA ，故22231313131coscos2244AD EMFEFDFAaa+=+=+ ， 由第一问可知CEAE，又M是BC的中点，所以12EMBC=，所以2223131cos313144cos,cos44aaAD EMAD EMaADEM+=+ ， 因为三棱锥DABC中()0,，所以()cos1,1 ，所以313113cos,cos,4422AD EM+=+ ，故直线 AD 与 EM 所成角范围为 ,6 3. 【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.
