1、 2021 学年第一学期学业水平调研测试学年第一学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷高二年级数学试卷 本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，全卷满分小题，全卷满分 150 分，考试时问分，考试时问 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上用号填写在答题卡相应的位置上用 2B 铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案
2、后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔或涂改液 不相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔或涂改液 不按以上要求作答的答案无效按以上要求作答的答案无效 4考
3、生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知()A 3,5，()1,7B，则直线AB的倾斜角大小是（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 135 2. 已知空间向量()2,1, 3a =，则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是（ ） A. ()0,2,1 B. ()2,1,0 C. ()0,1, 3
4、 D. ()2,0, 3 3. 抛物线22xy=的焦点坐标是 A. （0,1） B. （12，0） C. （1,0） D. （0，12） 4. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 3盏 B. 7盏 C. 9盏 D. 11 盏 5. 圆221:16Cxy+=与圆222:(4)(3)1Cxy+=的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 在正方体1111ABCDABC D中，O为A
5、C的中点，则异面直线1OB与1AD所成角的大小为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知曲线22:1C mxny+=，则下列结论正确的是（ ） A. 若=0m，1n =，则 C是两条直线，都平行于 y轴 B. 若0mn=，则 C 是圆，其半径为1n C. 若0mn，则 C 是椭圆其焦点在x轴上 D. 若0,0mn，则下列结论正确的是（ ） A. 若点( , )P a b在圆 C内，则直线 l与圆 C 相交 B. 若点( , )P a b在圆 C外，则直线 l与圆 C 相离 C. 若直线 l与圆 C 相切，则点( , )P a b在直线 l上 D. 若直线 l与圆 C相离，则点
6、( , )P a b在圆 C内 11. 已知数列 na是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ） A. 1nnaa+是等差数列 B. 1nnaa+是等差数列 C. 3logna是等比数列 D. 1nna a+是等比数列 12. 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M为1DD的中点，N为平面ABCD内一动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若点 N 到点 M 的距离为 2，则点 N的轨迹所围成图形的面积为3 B. 若直线MN与平而ABCD所成的角为6，则点 N的轨迹为椭圆 C. 若直线MN与直线BC所成的角为6，则点 N 的轨迹为双曲线 D. 若点 N 到直线1CC的距离与点 N 到
7、直线AD的距离相等，则点 N的轨迹为抛物线 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知数列 na满足()1112,2nnaana+=N，则5a =_ 14. 已知直线1:10laxy+ =与2:(2)10laxay+ =平行，则实数 a 的值为_ 15. 在长方体1111ABCDABC D中，14,3,2ABAAAD=，则点1C到平面1ABC的距离为_ 16. 已知椭圆2212516xy+=的右焦点为 F， 点 P 在椭圆上且在 x轴上方 若线段PF的中点 M 在以原点 O 为圆心，|OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_ 四、
8、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 17. 在平面直角坐标系xOy中，()1,1A 、()3,3B、()2,0C （1）求ABC的面积； （2）判断O、A、B、C四点是否在同一个圆上？并说明理由 18. 在339ab+=；234aba+=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目 问题： 已知 na是公差为 d的等差数列， nb是公比为(0)q q 的等比数列， 且111ab=，225ab+=，_ （1）求 ,nnab的通项公式； （2）设nnnca b=，求数列 nc的
9、前 n项和nT 19. 如图，在三棱锥PABC中，,120 ,ABBCABCPAC=是边长为 6的等边三角形，30PB = （1）求证：平面PAC 平面ABC； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 20. 已知椭圆22122:1 (0)xyCabab+=的右焦点 F与抛物线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合过 F 且与 x轴垂直的直线交1C于 A，B两点，交2C于 C，D 两点，且4|3CDAB= （1）求1C的离心率； （2）若1C的四个顶点到2C的准线距离之和为12，求1C与2C的标准方程 21. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，ADBC，2PAA
10、DCD=，3BC =E为PD的中点，点 F 在PC上，且13PFPC=，点 G在PB上，且23PGPB= （1）求证：/ /AG平面PCD； （2）求二面角FAED的余弦值 22. 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为 2，且过点(2,3)A （1）求 C 的方程： （2）若点 M，N在 C 上，且,AMAN ABMN，B 为垂足是否存在定点 Q，使得|BQ为定值？若存在，求出定点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 2021 学年第一学期学业水平调研测试学年第一学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷高二年级数学试卷 本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，全卷满分小题，全
11、卷满分 150 分，考试时问分，考试时问 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上用号填写在答题卡相应的位置上用 2B 铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上用橡皮
12、擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔或涂改液 不相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔或涂改液 不按以上要求作答的答案无效按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共
13、8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知()A 3,5，()1,7B，则直线AB的倾斜角大小是（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 135 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan1= ，进而求出倾斜角. 【详解】设直线AB的倾斜角为，则75tan11 3= ，因为)0,，所以135=. 故选：D 2. 已知空间向量()2,1, 3a =，则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是（ ） A. ()0,2,1 B.
14、()2,1,0 C. ()0,1, 3 D. ()2,0, 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】由题意可知，向量a在坐标平面xOy上的投影向量是()2,1,0. 故选：B. 3. 抛物线22xy=的焦点坐标是 A. （0,1） B. （12，0） C. （1,0） D. （0，12） 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线焦点的定义直接求解即可. 【详解】抛物线22xy=开口向上，焦点为（0，12） ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题. 4. 我国古代数学名著算法统宗中有如
15、下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 3 盏 B. 7 盏 C. 9 盏 D. 11盏 【答案】A 【解析】 【分析】设塔的顶层共有1a盏灯，则数列na公比为 2 的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果 【详解】解：设塔的顶层共有1a盏灯， 则数列na公比为 2 的等比数列， 717(12 )38112aS=， 解得13a =， 即塔的顶层共有灯 3 盏. 故选：A 5. 圆221:16Cxy+=与圆222:(4)(3)1Cxy+
16、=的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】比较两圆的圆心距和半径的和差即得解. 【详解】解：圆221:16Cxy+=的圆心为11(0,0),4Cr =， 圆222:(4)(3)1Cxy+=的圆心为22(4, 3),1Cr=， 所以221212|435C Crr=+=+, 所以两圆外切. 故选：B 6. 在正方体1111ABCDABC D中，O为AC的中点，则异面直线1OB与1AD所成角的大小为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空
17、间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1OB与1AD所成角的大小. 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2AB =， 则()1,1,0O、()0,2,0D、()10,0,2A、()12,0,2B， ()11, 1,2OB =，()10,2, 2AD = ，11111163cos,262 2OBADOB ADOBAD= ， 因此，异面直线1OB与1AD所成角的大小为6. 故选：A. 7. 已知曲线22:1C mxny+=，则下列结论正确的是（ ） A. 若=0m，1n =，则 C 是两条直线，都平行于 y轴 B. 若0mn=
18、，则 C是圆，其半径为1n C. 若0mn，则 C是椭圆其焦点在x轴上 D. 若0,0mn，则221:C xyn+=，所以 C 是圆，其半径为1n，故 B错误；当0mn，则110nm，22:111yxCnm+=，所以 C 是椭圆，其焦点在y轴上，C错误；当0,0mn，则22:111xyCmn=，所以 C是双曲线，渐近线方程为11mnyxxnm= = ，D 正确； 故选：D 8. 已知 na是各项均为整数的递增数列，且15a ，若12300naaa+=，则 n的最大值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】取15,1ad=，对数列进行前n项求和，解
19、不等式即可得到答案； 【详解】取15,1ad=，则2(1)9522nn nnnSn+=+=， 当18n =时，18324 1622433002S+=， 当19n =时，19266300S=， 当20n =时，20290300S=， n 的最大值为20， 故选：C. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知点 P是ABC所在平面外一点，若(0,1,
20、1),(4,3,2),(3,0, 4)ABACAP= ，则（ ） A. ABAP B. BCAP C. | 5AP = D. |19BP = 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出AB AP 即可判断 A；求出BC ，在求出BC AP ，即可判断 B；根据空间向量的模的坐标运算即可判断 CD. 【详解】解：对 A，4AB AP= ，所以ABAP不成立，故 A错误； 对于 B，()4,2,3BCACAB= ， 则12 120BC AP= ，所以BCAP，故 B正确； 对于 C，90 165AP =+= ，故 C正确； 对于 D，()3, 1, 3BPAPAB= ，则9 1 919BP =+ +=
21、 ，故 D 正确. 故选：BCD. 10. 已知直线2: l axbyr+=与圆222:(0)C xyrr+=，则下列结论正确的是（ ） A. 若点( , )P a b在圆 C 内，则直线 l与圆 C 相交 B. 若点( , )P a b在圆 C 外，则直线 l与圆 C相离 C. 若直线 l与圆 C相切，则点( , )P a b在直线 l上 D. 若直线 l与圆 C 相离，则点( , )P a b在圆 C内 【答案】CD 【解析】 【分析】对于 A，由题意可得222abr+，然后求出圆心(0,0)O到直线l的距离与半径比较大小可得结论，对于 C，由题意可得圆心(0,0)O到直线l的距离等于半径
22、r，从而可得结论，对于 D，由题意可得圆心(0,0)O到直线 l的距离大于半径r，得222abr+，从而可得结论 【详解】对于 A，因为点( , )P a b在圆 C 内，所以222abr+=+，所以直线 l与圆 C 相离，所以 A 错误， 对于 B，因为点( , )P a b在圆 C 外，所以222abr+，所以圆心(0,0)O到直线l的距离2222rrdrrab=+，所以222abr+的等比数列， 且111ab=，225ab+=，_ （1）求 ,nnab的通项公式； （2）设nnnca b=，求数列 nc的前 n项和nT 【答案】 （1）21nan=，12nnb=， （2）(23) 23n
23、nTn=+ 【解析】 【分析】 （1）若选，则由题意可得215129dqdq+=+=，解方程组求出,d q，从而可求出 ,nnab的通项公式，若选，则由题意可得21511 3dqdqd+=+= +，解方程组求出,d q，从而可求出 ,nnab的通项公式， （2）由（1）可得1(21) 2nnnnca bn=，然后利用错位相减法可求出nT 【小问 1 详解】 若选，则由题意可得215129dqdq+=+=，由15dq+=得4dq=，代入2129dq+=中化简得220qq=，解得0q =（舍去）或2q ，则2d =， 所以1(1)12(1)21naandnn=+= +=， 1112nnnbbq-=
24、， 若选，则由题意可得21511 3dqdqd+=+= +，由15dq+=得4dq=，代入211 3dqd+= +中化简得2280qq+=，解得2q 或4q = （舍去） ，则2d =， 所以1(1)12(1)21naandnn=+= +=， 1112nnnbbq-=， 【小问 2 详解】 由（1）可得1(21) 2nnnnca bn=， 所以1231nnnTccccc=+ 012211 23 25 2(23) 2(21) 2nnnn= + + +， 所以123121 23 25 2(23) 2(21) 2nnnTnn= + + +， 所以123112 22 22 22 2(21) 2nnnT
25、n= + + + + 2(1 2 )(21) 211 2nnn= 2 22(21) 21nnn=， 所以(23) 23nnTn=+ 19. 如图， 在三棱锥PABC中，,120 ,ABBCABCPAC=是边长为 6的等边三角形，30PB = （1）求证：平面PAC 平面ABC； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 【答案】 （1）证明见解析 （2）3913 【解析】 【分析】 （1）取AC的中点O，连,OP OC，证明OP 面ABC，再利用面面垂直判定定理，即可得到答案； （2）以为O原点，,OB OC OP所在直线分别为, ,x y z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 求出面PB
26、C的一个法向量33,1,3n=，代入公式计算即可得到答案； 【小问 1 详解】 取AC的中点O，连,OP OC， PAC为正三角形，POAC， 221293OBABOA=，33 3,302OPACPB=， 222PBOPOBOPOB=+， OBACO=，OP面ABC. 又OP 平面PAC，平面PAC 平面ABC. 【小问 2 详解】 以为O原点，,OB OC OP所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， PAC是边长为 6 的等边三角形， (0,3,0), (0,0,3 3), ( 3,0,0), (0, 3,0)CPBA， ( 3,0, 3 3),(0,3, 3 3)
27、,(0,3,3 3)PBPCAP= ， 设( , , )nx y z=为平面PBC的法向量，则0,0,n PBn PC = 33 3033,1,333 30 xzxyzyz=，33,1,3n=， 设直线PA与平面PBC所成角为， 3339sincos,1313363n APn APnAP+= . 20. 已知椭圆22122:1 (0)xyCabab+=的右焦点 F与抛物线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合过 F 且与 x轴垂直的直线交1C于 A，B两点，交2C于 C，D 两点，且4|3CDAB= （1）求1C的离心率； （2）若1C的四个顶点到2C的准线距离之和为12，求1C与2C的标
28、准方程 【答案】 （1）12 （2）221:11612xyC+=；22:8Cyx= 【解析】 【分析】 （1）由题意，可得2C的方程为24ycx=，再由通径可得22|bABa=，| 4CDc=，再代入4|3CDAB=，又222abc=+，化简计算可得离心率； （2）由（1）得2 ,3ac bc=，表示出1C的四个顶点坐标，2C的准线方程，再由1C的四个顶点到2C的准线距离之和为12，从而求解得4,2 3ab=，可得1C与2C的标准方程. 【小问 1 详解】 由已知得，2C的方程为24ycx=，由通径可知，22|bABa=，| 4CDc=，因为4|3CDAB=，得24243bca=，又222ab
29、c=+，化简得22223202320cacaee+=+=，解得12e =，所以1C的离心率为12. 【小问 2 详解】 由（1）得，2 ,3ac bc=，所以1C的四个顶点坐标为() ()() (),2 ,02 ,00, 30,3cccc，2C的准线方程为xc= ，则由已知得122acacccc + + +=，所以得4,2 3ab=，可得1C的标准方程为2211612xy+=，2C的标准方程为28yx=. 21. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，ADBC，2PAADCD=，3BC =E为PD的中点，点 F 在PC上，且13PFPC=，点 G在PB上，且23PGPB=
30、（1）求证：/ /AG平面PCD； （2）求二面角FAED的余弦值 【答案】 （1）证明见解析 （2）33 【解析】 【分析】 （1）取CF的中点M，可得四边形ADMG为平行四边形，由线面平行的判定定理可得答案； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面FAE和平面AEP的法向量，再由向量夹角的余弦公式求解即可； 【小问 1 详解】 证明：取CF的中点M，连接MD，MG， 则有23PGPMPBPC=，所以/MG BC，2=3MGBC, 由题意得/AD BC，23ADBC=，故,ADMG ADMG=， 所以四边形ADMG为平行四边形， 所以/AG MD，AG 平面PCD，MD 平面PCD
31、， 所以/ /AG平面PCD 【小问 2 详解】 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，2 2 4,3 3 3F，()0,1,1E，()0 0 2P, ,， 所以()0,1,1AE = ，2 2 4,3 3 3AF= 设平面AEF的法向量为()1111,xny z=， 则11111110,2240333nAEyznAFxyz=+=+= ，得1111yzxz= = ， 不妨令11z = ，得()11,1, 1n = 而易知平面AED的一个法向量为()21,0,0n = ， 则1212123cos,3n nn nnn= 由图可知二面角FAED为钝角， 所以二面角FAED的余
32、弦值为33 22. 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为 2，且过点(2,3)A （1）求 C 的方程： （2）若点 M，N在 C 上，且,AMAN ABMN，B 为垂足是否存在定点 Q，使得|BQ为定值？若存在，求出定点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）2213yx =； （2）91,2Q，定值为3 52. 【解析】 【分析】 （1）根据双曲线的离心率可得出223ba=；根据点(2,3)A在双曲线上得出22491ab=，联立，组成方程组求解即可； （2）分类讨论直线MN的斜率是否存在.直线MN的斜率存在时，设出直线MN的方程及点,M N的坐标() ()1
33、122,x yxy，把直线方程与双曲线方程联立，消元，写韦达；根据AMAN，得出 ()()1212121224390 x xxxy yyy+=，结合韦达定理可求出,m k的关系式，从而求出直线MN过的定点( 4,6)C ，从而得到Q为AC的中点时|BQ为定值. 【小问 1 详解】 因为双曲线22221xyab=的离心率为 2，所以2212ba+=，即223ba=， 因为点(2,3)A在双曲线22221xyab=，所以22491ab=， 两式联立，解得221,3ab=， 所以 C的方程为2213yx =； 【小问 2 详解】 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm=+，()()112
34、2,M x yN xy， 由2213yxykxm=+，得()2222323xk xmkmx+=，即()2223230kxkmxm=， 所以212122223,33kmmxxx xkk+=，()()11222,3 ,2,3AMxyANxy= ， ()()222244 330k mkm =+，即223km+， 因为AMAN，所以()()1212121224390 x xxxy yyy+=， 即()()()221212121212243690 x xxxk x xkm xxmk xxm+=， 即()()()2212123216130kmkxxkx xmm+=， 所以22829180kmkmm+=，即
35、()()23460kmkm+=， 所以32mk=或46mk=+. 当32mk=时，直线MN的方程为32ykxk=+ ，即()32yk x=，此时直线过点(2,3)A，不符合题意，舍去； 当46mk=+时，直线MN的方程为46ykxk=+，即()64yk x=+，此时直线过定点( 4,6)C ，因为ABMN，所以点B在以AC为直径的圆上， 所以Q为AC的中点，即91,2Q时，3 5|2BQ =为定值； 当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为xt=，(),M t s，(),N ts， 且2213st =，即2233st=， 因为AMAN，所以222241334160AM ANtstttt=+=+= ， 解得2t =(舍)或4t = ， 所以()4,3B ，此时3 5|2BQ =为定值. 综上所述，存在点91,2Q，使得|BQ为定值，且该定值为3 52.
