1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 函数与方程 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 函数零点 1定义：对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x) 0 的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的零点 2三个等价关系 3存在性定理 考点 2 二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点 x1， x2 x1 无 考点 3 二分法 对于在区间 a， b上连续不断且 f(a) f(b)0，则此时能判断函数 f(x)一定有零点的区间为 _ 答案 (1,3) 解析 因为
2、函数 f(x)为连续函数且 f(1) f(3)0，所以 f(e 1)f(2)0， 函数 f(x) ex 4x 3 的零点所在的区间为 ? ?14， 12 . 考向 判断函数零点的个数 例 2 函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数即为函数 y |log0.5x|与 y 12x图象的 交点个数 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 在同一直角坐标系中作出函数 y |log0.5x|与 y 12x的图象如图 由图象易知有两个交点 触类旁通 判断函数零点个数的方法 (1)
3、解方程法：令 f(x) 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0 的零点个数是 _ 答案 2 解析 当 x0 时，由 x2 2 0 得 x 2；当 x0 时， f(x) 2x 6 ln x 在 (0，) 上为增函数，且 f(2) ln 2 20，所以 f(x)在 (0， ) 上有且只有一个零点综上可知， f(x)的零点个数为 2. 考向 与函数零点有关的求参问题 例 3 (1)2018 嘉兴模拟 设函数 y x3 与 y ? ?12 x 2 的图象的交点为 (x0， y0)，若 x0 (n，
4、 n 1)， n N，则 x0所在的区间是 _ 答案 (1,2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 f(x) x3 ? ?12 x 2，则 x0是函数 f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 y x3与 y ? ?12 x 2的图象如图所示 因为 f(1) 1 ? ?12 1 1 0， f(2) 8 ? ?12 0 7 0，所以 f(1)f(2) 0， 所以 x0 (1,2) (2)2016 山东高考 已知函数 f(x) ? |x|， x m，x2 2mx 4m， xm， 其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _ 答案
5、(3， ) 解析 函数 f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要 m4m m2即可，又 m0，解得m3，故实数 m 的取值范围是 (3， ) 触类旁通 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 【 变式训练 3】 (1)2018 启东检测 若函数 f(x) log2x x k(k Z)在区间 (2,3)=【 ;精品教育资源文库 】 = 上有零点，则 k _. 答案 4 解析 函数 f(x) log2x x k 在 (2,3)
6、上单调递增，所以 f(2)f(3)0， 解得12 a0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0 解题视点 构造函数 y 2x和函数 y 1x 1，并画出函数的图象，可根据函数的图象进行判断 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数 y 2x和函数 y 1x 1的图象，如图所示 由图可知函数 y 2x和函数 y 1x 1的图象只有一个交点，即函数 f(x) 2x 11 x只有一个零点 x0，且 x01. 因为 x1 (1， x0)， x2 (x0， ) ，则由函数图象可知， f(x1)0. 答案 B 答题启示 借助函数零点比较大小 .要比较 f?a?与 f?b?的大小，通常先比较 f?a?
7、、 f?b?与 0 的大小 . 跟踪训练 2018 广东七校联考 已知函数 f(x) ? ?15 x log3x，若实数 x0是方程 f(x) 0 的解，且 x00，所以函数 f(x)在 (1,2)上有零点，即 a 在区间 (1,2)内 5用二分法研究函数 f(x) x5 8x3 1的零点时，第一次经过计算得 f(0)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为 ( ) A (0,0.5)， f(0.125) B (0.5,1)， f(0.875) C (0.5,1)， f(0.75) D (0,0.5)， f(0.25) 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 f(x) x5 8x3 1， f(0)0， f(0) f(0.5)0， 其中一个零点所在的区间为 (0,0.5)，第二次应计算的函数值应为 f(0.25)故选 D. 6 2018 昆明模拟 若 x0是方程 ? ?12 x x13的解，则 x0属于区间 ( ) A.? ?0， 13 B.? ?13， 12 C.? ?12， 23 D.? ?23， 1 答案 B 7 2018 大连模拟 函数 f(x) (x 1)ln x 1 的零点有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 B
