1、 强基计划之强基计划之第第 21 章章：数学思想方法数学思想方法 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路通、摆脱题海的有效之路因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台 初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结
2、合思想等初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等 二、二、高中知识高中知识衔接衔接 高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等思想等 函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件
3、，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题列等问题 方程思想就是将所求的量方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程根据题中的已知条件列出方程(组组)，通过解方程，通过解方程(组组)或对方程或对方程(组组)进行研究，使问题得到解进行研究，使问题得到解决决 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来数形
4、结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法它可以使抽象的它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简问题具体化，复杂的问题简单化单化“数缺形时少直观，形少数时难入微数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质题的本质 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想
5、策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题或综合性问题)分解为小问题分解为小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化，优化解题思路，降低问题难度解题思路，降低问题难度 转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向
6、已知转个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程的过程 三、潜能挖掘三、潜能挖掘 1若若 ab=2，ac=21，则，则(bc)23(bc)+49= 2我国古代有这样一道数学问题：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱题意是：如图所示，把枯木
7、看作一个圆柱体，因一体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是处，则问题中葛藤的最短长度是 尺尺 3经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个 是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形
8、的“和谐分和谐分割线割线”如图，线段如图，线段 CD 是是ABC 的的“和谐分割线和谐分割线”，ACD 为等腰三角形，为等腰三角形，CBD 和和ABC相似，相似，A=46 ，则，则ACB 的度数为的度数为 4已知一次函数已知一次函数 y1=kx+b 与与 y2=x+a 的图象如图所示，则下列结论：的图象如图所示，则下列结论：k0；a0；关于关于x 的方程的方程 kx+b=x+a 的解为的解为 x=3；x3 时，时，y1y2正确的个数是正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 5如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相
9、切相切)，已知环湖弯曲路，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) Ay12x312x2x By12x312x23x Cy14x3x Dy14x312x22x 6 已知函数已知函数 f(x)满足下面关系：满足下面关系：f(x1)f(x1)；当当 x1，1时，时，f(x)x2，则方程，则方程 f(x)lgx 解的个数是解的个数是( ) A5 个个 B7 个个 C9 个个 D10 个个 7已知等腰三角形一边长为已知等腰三角形一边长为 4，另一边长为，另一边长为 8，则这个等腰，则这个等腰三角形的周长为三角形的周长为( ) A2
10、0 B20 或或 16 C16 D12 8某厂某厂 2015 年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1 月月份投入资金建设恰好与份投入资金建设恰好与 1 月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到分率相同，到 12 月投入建设资金又恰好与月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同，则全年总利润月的生产利润相同，则全年总利润 M 与全年总与全年总投入投入 N 的大小关系是的大小关系是( ) AMN BMN CMN D无法确定无法确定 9若若 ab=2，bc=3，则，则 ac 等于等于( ) A1 B1 C5 D5 10已知函数已知函数 f(x) 2|x|，x2，（x2）2，x2，函数函数 g(x)bf(2x)，其中，其中 bR，若函数，若函数 yf(x)g(x)恰有恰有 4 个零点，则个零点，则 b 的取值范围是的取值范围是( ) A74， B，74 C0，74 D74，2
