1、 强基计划之强基计划之第第 16 章章：三角形的“四心”三角形的“四心” 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 1、重心：三角形的三条中线交点、重心：三角形的三条中线交点 2、外心：是三角形三边中垂线的交点、外心：是三角形三边中垂线的交点 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点、内心：是三角形的三内角平分线的交点 4、垂心：是三角形三条高的交点、垂心：是三角形三条高的交点 二、二、高中知识高中知识衔接衔接 1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍，重心和三顶点的连线将倍，重心和三顶点的连线将ABC 的的面积三等分，重心一定在三角形内部面
2、积三等分，重心一定在三角形内部 2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外的中点，钝角三角形的外心在三角形外 3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内 4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外三角形内，直角
3、三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外 三、潜能挖掘三、潜能挖掘 1已知已知：D、E、F 分别为分别为ABC三边三边 BC、CA、AB 的中点，求证的中点，求证：AD、BE、CF 交于一交于一点，且都被该点分成点，且都被该点分成 2：1 2已知已知：O 为为ABC的重心和内心的重心和内心，求证求证：ABC为等边三角形为等边三角形 3已知三角形的三边长分别为已知三角形的三边长分别为 5，12，13，则其垂心到外心的距离为，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距，重心到垂心的距离为离为 4已知三角形的三边长为已知三角形的三边长为 5，12，13，则其内切圆的半径，则其内切圆的半径r
4、5在在ABC 中，中，A 是钝角，是钝角，O 是垂心，是垂心，AOBC，则，则 cos(OBCOCB) 6在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( ) A三条中线的交点三条中线的交点 B三条高线交点三条高线交点 C三个内角平分线交点三个内角平分线交点 D三边垂直平分三边垂直平分线交点线交点 7如图，点如图，点 G 是是ABC 的重心，的重心，AG 的延长线交的延长线交 BC 于点于点 D，过点，过点 G 作作 GEBC 交交 AC 于点于点E，如果，如果 BC6，那么线段，那么线段 GE 的长为的长为_ 8已知点已知点 G 是是ABC 的重心，的重心，
5、AG8，那么点，那么点 G 与边与边 BC 中点之间的距离是中点之间的距离是_ 9如图，等腰直角如图，等腰直角ABC的中线的中线AE、CF相交于点相交于点G，若斜边，若斜边AB的长为的长为4 2，则线段，则线段 AG的长为的长为_ 10如图，在如图，在ABC中，中，90ACB，BE平分平分ABC，DEAB于于D，如果，如果3cmAC ，那么，那么AEDE等于等于_cm 11ABC中，点中，点O是是ABC内一点且到内一点且到ABC三边的距离相等，三边的距离相等，40A ，则，则BOC_ 12如图，锐角如图，锐角ABC 的垂心为的垂心为 H，三条高的垂足分别为，三条高的垂足分别为 D、E、F，则，
6、则 H 是是DEF的的 13如图，如图，D 是是ABC 的边的边 BC 上任一点，点上任一点，点 E、F 分别是分别是ABD 和和ACD 的重心连结的重心连结 EF交交 AD 于于 G 点，则点，则 DG：GA 14设设ABC 的重心为的重心为 G，GA32，22GB，2GC，则，则ABCS 15若若 H 为为ABC 的重心，的重心，AHBC，则，则BAC 的度数是的度数是( ) A、45 B、30 C、30或或 150 D、45或或 135 16已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 中，中，E 是是 AB 的中点，的中点，AB10，AC9，DE12，求平行四边形，求平行四边形ABCD 的面积的面积 6、分析：设、分析：设 AC 交交 DE 于于 G，可推出，可推出 G 为为ABD 的重心，的重心，EGA90，故可求出，故可求出EGAS及及SABCD A F B D C E H A B C E G F M D N
