1、5.2 平面向量的数量积及其应用,高考数学,考点一平面向量的数量积1.向量的数量积的定义(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b,过O点作?=a,?=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos .,知识清单,(3)规定:0a=0.(4)ab的几何意义a.一个向量在另一个向量方向上的投影设是非零向量a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做
2、b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当090时,它是正值;当90180时,它是负值;当=90时,它是0.b.ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos ;(2)ab?ab=0;,(3)当a与b同向时,ab=|a|b|,当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa=|a|2;(4)亦为a、b的夹角,且cos =?;(5)|ab|a|b|.3.向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).
3、(3)(a+b)c=ac+bc.,(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=?.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|?|=?,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab?x1x2+y1y2=0.5.向量中的重要不等式a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|b|?-?x1x2+y1y2?.,4.平面向量的数量积的坐标表示,考点二向量的综合应用1.向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算.由于有关长度、角度和垂直
4、的问题可以利用向量的数量积来解决,因此我们可以利用表示向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,判断两向量是否垂直.2.用向量法证明几何问题的基本思想:将问题中有关几何量表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算法则,推出所要求证的结论.要注意挖掘题目中,特别是几何图形中的隐含条件.3.证明直线平行、垂直,线段相等等问题的基本方法:(1)要证AB=CD,可转化为证明?=?或|?|=|?|;(2)要证ABCD,只要证存在一实数0,使等式?=?成立即可;,(3)要证ABCD,只需证?=0.,平面向量数量积、向量长度与夹角的解题策略1.求平面向量夹角的方法:(1)向
5、量是坐标形式时,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos =?,其中为向量a,b的夹角,0,.(2)向量不是坐标形式时,cos =?,其中为向量a,b的夹角,0,.2.利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用,此类问题的处理方法为:(1)|a|=?=?;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若a=(x,y),则|a|=?.,方法技巧,例1(2017浙江镇海中学模拟卷三,13)已知向量a,b满足|a-b|=1且|a|=2|b|,则ab的最小值为,此时a与b的夹角是.,解题导引设|b|=x,把ab表示成关于x的函数利用余弦函数的有界性得x的取值范围得结论,解析设|b|=
6、x,向量a与b的夹角为,则有ab=2x2cos .由1=|a-b|2=4x2+x2-2ab,得ab=?.从而有?=2x2cos ,即cos =?,则-1?1,解得?x21,从而ab=?,故ab的最小值为-?.此时cos =-1,又0,所以=.,答案-?;,平面向量应用的解题策略1.平面几何中三角形的四“心”,即三角形的内心、重心、垂心、外心.在引入向量这个工具后,三角形ABC(内角A,B,C所对的边分别为a,b,c)的四“心”的向量表示为:(1)O为内心?a?+b?+c?=0.(2)O为重心?+?+?=0.(3)O为垂心?=?=?.(4)O为外心?|?|=|?|=|?|.2.向量在平面几何中的
7、应用向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因而向量是研究几何问题的一个有力工具.向量在几何中的应用:证明平行;证明,垂直;求夹角;求线段长度.例2已知O是ABC的外心,有AB=6,AC=10,若?=x?+y?,且2x+10y=5,则cosBAC=.,解题导引导引一:利用外心的性质得到关于x,y和cos BAC的等式分x=0和x0讨论,得结论导引二:将向量等式?=x?+y?进行变形当x0时,利用三点共线得结论当x=0时,由几何性质得结论,解析解法一:设AC的中点为D,则有?=?+?,故?=(?+?)?=?+?=?|?|2=50,?=(x?+y?)?=x?+y|?|2=60xcosBAC+100y=50,即有6xcosBAC+10y=5,故有6xcosBAC=2x.当x0时,解得cosBAC=?.当x=0时,则y=?,从而点O为AC的中点,此时ABC是以角B为直角的三角形,得cosBAC=?=?.解法二:设AC的中点为D,则有?=?+2y?.设?=?,?=?,则有?=?+2y?,当x0时,?+2y=1,故O,D,E三点共线,即有cosBAC=?=?=?.当x=0时,有y=?,故O为AC的中点,此时ABC是以角B为直角的三角形,得cosBAC=?=?.,答案?或,
