1、第八节函数与方程,总纲目录,教材研读,1.函数零点的定义,考点突破,2.函数零点的判定（零点存在性定理）,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,考点二判断函数零点的个数,考点一函数零点所在区间的判断,4.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤,考点三函数零点的应用,1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.,教材研读,2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
2、f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证?f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算?f(x1):(i)若?f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若?f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若?f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|0)与y=ln x图象交点的个数.作出两函数在同一坐标系下的图象,如图:由图象知它们只有一个交点,故选B.,B,3.(2014北京,6,5分)已知函数f(x
3、)=?-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是?()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+),答案Cf(1)=6-log21=60, f(2)=3-log22=20, f(3)=2-log230, f(4)=?-log24=?-20,包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.,C,4.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=2x-?-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.,答案(0,3),解析易知该零点为变号零点,f(1)f(2)0,即-a(3-a)0,解得0a?.故k的取值范围是?.,考点一函数零点所在区间的判断,考点突破,典例1(1)在下列区
4、间中,函数f(x)=3x-x2有零点的区间是?()A.0,1B.1,2C.-2,-1D.-1,0(2)(2017北京东城二模)已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间?(kZ)内,那么k=.,答案(1)D(2)5,解析(1)f(0)=1, f(1)=2,f(0)f(1)0,f(2)=5, f(1)=2,f(2)f(1)0,f(-2)=?-4, f(-1)=?-1,f(-2)f(-1)0,f(0)=1, f(-1)=?-1,f(0)f(-1)0,f(x)在(0,+)上单调递增.又f(3)=ln 30, f?=ln ?-10,f?f(3)0,故函数在(1,2)上没有零点. f(2)=?-l
5、n 1=10, f(3)=?-ln 2=?=?,因为?=2?2.828,所以?e,故ln eln?,即1?ln 8,所以2ln 8,即f(3)0在(0,+)上恒成立,B,所以函数f(x)=log2x+x-2在(0,+)上单调递增,因为f(1)=-10,所以函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(1,2).故选B.,典例2(1)已知函数f(x)=?则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为?()A.1B.2C.3D.4(2)(2016北京海淀二模)函数f(x)=2x-2x的零点个数是?()A.1B.2C.3D.4,考点二判断函数零点的个数,2-1(2015北京朝阳二模)函数f(x)
6、=?的零点个数是?()A.0B.1C.2D.3,答案C当-1x0,则f(x)在R上为增函数,又f(0)=e0-20,且f(a)=0,0a1.,A,答案(1)C(2)D,解析(1)由2x-3=0,得x=log23,1log232,k=1.f(x)的图象关于直线x=-5对称,另一个零点在区间(-12,-11)内.此时k=-12.综上,k=1或-12.故选C.,(2)令f(x)-g(x)=0,则f(x)+x-1=ax2,而f(x)+x-1=?在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)+x-1和y=ax2的图象,如图.,由图象可知,当a1时,y=f(x)-g(x)没有零点.综上,实数a的取值范围是(-,0
7、)(0,1).,方法技巧已知函数有零点(或方程有根),求参数取值范围的常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对函数解析式(或方程)变形,在同一平面直角坐标系中画出两个相应函数的图象,然后数形结合求解.,3-1(2018北京海淀期末)函数f(x)=?的最大值为;若函数f(x)的图象与直线y=k(x-1)有且只有一个公共点,则实数k的取值范围是.,3-2(2017北京丰台一模)已知函数f(x)=?(1)若a=0,x0,4,则 f(x)的值域是;(2)若f(x)恰有三个零点,则实数a的取值范围是.,
