1、第一讲 因式分解一、知识归纳1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）当n为正奇数时当n为正偶数时2、十字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题讲解例1：因式分解：例2：因式分解：例3：因式分解例4：利用待定系数法因式分解（1） （2）例5：利用添项法、拆项法因式分解（1） （2）例6：已知，求的值。三、课堂练习1、分解因式（1）（2）（3）分解因式（1）（2）3、分解因式（1）（2）4、已知多项式能被整除，且商式是则 。5、多项式能被整除，求的值。第二讲分式一、知识归纳（一）分式的运算规
2、律1、加减法同分母分式加减法：异分母分式加减法：2、乘法：3、除法：4、乘方：（二）分式的基本性质1、2、（三）比例的性质（1）若则（2）若则（合比性质）（3）若（）则（合分比性质）（4）若，且则（等比性质）（四）分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质二、例题解析例1：化简例2：化简：例3：计算例4：计算例5：若，求例6：已知且求分式的值三、课堂练习1、已知，则x；2、若则分式；3、设，则；4、若，且，则；5、设、为有理数，且，则；6、已知、均不为0，且，则；第三讲图形变换一、知识归纳1、2、3、
3、4、5、将图象在x轴下方的部分，以x轴为对称轴对称地翻折上去即可6、将的图象位于y轴右边的部分保留，在y轴的左边作其对称的图即可。二、例题解析例1：说出下列函数图象之间的相互关系（1）与（2）与（3）与（4）与例2：已知中的图的对应函数，则中的图象对应函数为；xy0xy0A、B、C、D、例3：画出下列函数的图象（1）（2）例4：已知的图象过点（3，2），那么与函数的图系关于x轴对称的图象一定过点；A、（4，2）B、（4，2）C、（2，2）D、（2，2）xy0-1123123例5：试讨论方程的根的个数例6：求方程的解的个数课堂练习：1、函数的图象；A、与的图象关于y轴对称B、与的图象关于原点对称
4、C、与的图象关于y轴对称D、与的图象关于原点对称2、为了得到的图象，可以把的图象yx0(0,1)y=2x第3题图A、向左平移3个单位长度B、向右平移3个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位均等3、已知的图象如右，请画出以下函数的图象yx0(1,0)第4题图（1）（2）（3）（4）（5）4、已知 EMBED Equation.# 的图象如右：试求不等式：成立的x的取值范围5、已知方程有一负根，而没有正根，那么a的取值范围是；A、B、C、D、补以上答案第四讲三角形的“五心”一、知识归纳1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将A
5、BC的面积三等分，重心一定在三角形内部。2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。二、例题解析例1：在锐角ABC中，内角为A、B、C三
6、边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。AFBDCEH例2：如图，锐角ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是DEF的；A、垂心B、重心C、内心D、外心例3：如图，D是ABC的边BC上任一点，点E、ABCEGFMDNF分别是ABD和ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA；例4：设ABC的重心为G，GA，则；例5：若H为ABC的重心，AHBC，则BAC的度数是；A、45B、30C、30或150D、45或135AEBCDOG例6：已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB10，AC9，DE12，求平行四
7、边形ABCD的面积。三、课堂练习1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为；2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径；3、在ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC，则cos（OBC+OCB）= ; 4、设G为ABC的重心，且AG6，BG8，CG10，则ABC的面积为；5、若，那么以、为三边的ABC的内切圆，外接圆的半径之和为；A、B、C、D、6、ABC的重心为G，M在ABC的平面内，求证：第五讲几何中的著名定理一、知识归纳本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理二、例题解析例1：如图ABC中，AD为BA
8、C的角平分线AFBDCE12求证：ABCD12例2：如图，ABC中，AD为A的外角平分线，交BC的延长线于点D，求证：.ABDEC例3：如图，AD为ABC的中线，求证：例4：（梅涅劳斯定理）AFBCEGD如果在ABC的三边BC，CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则AMBNCP0123456例5：设O为ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则.三、课堂练习1、如图，P是AC中点，D、E为BC上两点，且BDDEEC，则BM：MN：NP ；BDAESCM2、如图，在ABC中，D、E分别在边AB、AC上且DE/BC，设BE与CD交于S，证明BMCM。3、证明
9、：三角形的三条角平分线交于一点。第六讲圆一、知识归纳1、证明四点共圆的方法有：（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆（3）线段同旁张角相等，则四点共圆。（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆。2、圆幂定理二、例题讲解例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆
10、。ABQSRPADCOEB例2：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：ADBCAB例3：如图，设A为O外一点，AB，AC和O分别切于B，C两点，APQ为O的一条割线，过点B作BR/AQ交O于点R，连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆。例4：如图，PA切O于A，割线PBC交O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交O于点E，又,求证：（1）PAPD；（2）.APBDOEC例5：如图，PA，PB是O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，ACDPOHEB若PE长为2，CD1，求DE的长度。三、课堂练习1、如图，已知点P在
11、O外一点，PS，PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB，交O于A，B两点，并交ST于点C，求证：SBDPOACTABGPCOMR2、如图，A是O外一点，AB、AC和O分别切于点B、C，APQ为O的一条割线，过B作BR/AQ交O于R，连CR交AQ于M。试证：A，B，C，O，M五点共圆。3、设O1、O2、O3两两外切，M是O1、O2的切点，R、S分别是O1、O2与O3的切点，连心线交O1于P，O2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。PRQSO1O3O2第七讲 一次函数和一次不等式【要点归纳】1、形如y=kx+b(k0)的函数叫做一次函数。（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线。（2
12、）k0是增函数；kb的解的情况：（1）当a0时，；（2）当a0，则无解。类似地，请同学们自行分析不等式ax0，则=_例9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)0的解。【反馈练习】1、一次函数y=(3m-1)x-(m+5)的图象不过第一象限，则实数m的取值范围是_2、一次函数f(x)满足：f（f（f(x)）=-27x-21，则f(x)=_3、函数f(x)=3x+1+k-2kx在-1x1时，满足f(x)k恒成立，则整数k的值为_4、已知x0，y0，z0，且满足x+3y+2z=3，3x+3y+z=4求w=3x-2y+4z的最大值和最小值。5、若不等式5x-a0的正整数解是1，2，3，4，则a的取值
13、范围为_6、解关于x的不等式：a(x-a)x-17、若不等式（m+n）x+(2m-3n)0的解。8、解关于x的不等式组：第八讲 均值不等式【要点归纳】当a，b，c0时，则（1）（当且仅当a=b时，取“=”）（2）（当且仅当a=b=c时，取“=”）更一般地，当（n）时，则（当且仅当时，取“=”）【典例分析】例1 设a，b，c0，证明下列不等式： （1） （2）例2 下列命题中有_个正确（1）函数的最小值是4；（2）函数的最小值是2（3）函数的最大值是（4）函数，当x=1时，取最小值。例3 （1） 已知，且，求x+y的最小值；（2） 已知，且，求的最大值。例4 （1）当x1时，求的最小值；（2）当
14、时，求的最大值。例5 （1）当a，b0时，证明：（2）设abc，求使得不等式恒成立的k的最大值。 例6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为1800元，该厂每天需用面粉6吨，面粉的保管费为平均每吨每天3元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每次购面粉需支付运输费900元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【反馈练习】1、已知，且a+b=1，求的最小值。2、函数y=x(1-2x) ()的最大值等于_；此时x=_3、函数的最小值为6，则实数a=_4、已知，且ab=3+a+b，求ab的取值范围。5、求函数的最大值及相应的x的值。6、设计一幅宣传画，要求画面面积为
15、4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？第九讲 一次分式函数【要点归纳】形如的函数，叫做一次分式函数。（1）特殊地，叫做反比例函数；（2）一次分式函数的图象是双曲线，是两条渐近线，对称中心为（）（c0）。【典例分析】例1 说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。例2 求函数在-3x-2上的最大值与最小值。例3 将函数的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图象（1）求的表达式；（2）求满足2的x的取值范围。例4 求函数的值域。例5 函数，当且仅当-1x1时，（1）求常数
16、a的值；（2）若方程有唯一的实数解，求实数m的值。例6 已知图象上的点到原点的最短距离为6（1）求常数a的值；（2）设图象上三点A、B、C的横坐标分别是t，t+2，t+4，试求出最大的正整数m，使得总存在正数t，满足ABC的面积等于。【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y1/3，则其定义域为_。2、函数的图象关于点_对称。3、若直线y=kx与函数的图象相切，求实数k的值。4、画出函数的图象。5、若函数在(-2，+)是增函数，求实数a的取值范围。6、（1）函数的定义域、值域相同，试求出实数a的值；（2）函数的图象关于直线y=x对称，试求出实数a的值。第十讲 一元二次方程【要点归纳】一
17、元二次方程 （）1、实数根的判断 0方程（）有两个不同的实数根 = 0方程（）有两个相同的实数根 0方程（）没有实数根2、求根公式与韦达定理当 0时，方程（）的实数根 并且 【典例分析】例1、（1）已知是方程的一个实根，求另一个根及实数m的值；（2）关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围。例2 设实数s，t分别满足：，并且，求的值。例3 实数x，y，z，满足：x+y+z=a，x2+y2+z2=（a0）,求证：例4 求函数的最大值与最小值。例5 若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。例6 函数，其中满足：，（1）求证：方程有两个不同的实数根，；（2）求的取值范围。【反馈练习】1
18、、当a，b时，关于x的方程有实数根？2、已知，且，则的值等于_3、设ABC的两边AB与AC长之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，求a的取值范围。4、设实数a，b满足：，求的取值范围。5、求函数的最值。6、 若关于x的方程有唯一的实数根，求实数m的取值范围。第十一讲 一元二次函数（一）【要点归纳】1、形如的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。2、二次函数的解析式的三种形式：10 一般式 20 顶点式 ，其中顶点为（m，n）30 零点式 ，其中，是的两根。本讲主要解决求二次函数的解析式问题。【典例分析】例1 二次函数f(x)满足：，并且它的图象在x轴截得的线段长等于4，求f(x)的解析式。
19、例2 二次函数f(x)满足：f(1)=f(-5)，且图象过点（0，1），被x轴截得的线段长等于。求f(x)的解析式。例3 二次函数f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。（1）求f(x)的解析式；（2）当-1x1时，y=f(x)的图象总是在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围。例4 若方程有且仅有三个实数根，求实数a的值。例5 设，若，（1）求证：且方程有两个不同的实数根； （2）求及的取值范围。例6 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：（1）当0xx1时,证明：xf(x)bc，且a+b+c=0（1）求证：两函
20、数的图象交于不同的两点A（x1,y1）B(x2,y2)；（2）求的取值范围。7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：证明：当0tx1；8、对于函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点。已知二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1) (1) 当a=1,b= 2时，求函数f(x)的不动点；(2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3) 在(2)的条件下，若y=f(x)图上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值（本小
21、问选做）十二、一元二次函数（二）知识归纳：1、一元二次函数时，2、一元二次函数在区间m,n上的最值。xmn1当 xmn2当 xmn3当时， xmn4时 3、一元二次函数在区间m,n上的最值类比2可求得。举例：例1、函数在区间上的最小值是（ ）A、7B、4C、2D、2例2、已知函数在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）A、B、0,2C、1,2D、例3、如果函数对任意实数都有，那么（ ）A、B、C、D、例4、若，且，那么的最小值为（ ）A、2B、C、D、0例5、设是方程的两个实数根，则的最小值是 。例6、的最小值是 。例7、函数的最大值是 ，最小值是 。例8、已知二次函数满足
22、条件和（1）求 （2）在区间1，1上的最大值和最小值。例9、已知二次函数，求的最小值。例10、设a为实数，函数，求的最小值。课后练习一、选择题1、如果实数x，y满足，那么有（ ）A、最小值和最大值1；B、最小值，而无最大值C、最大值1，而无最小值D、最大值1和最小值2、函数在区间1,2上单调，则a的取值范围是（ ）A、B、C、1,2D、3、已知函数在区间m,2上有最小值4，最大值5，则m的取值范围是（ ）A、0,2B、C、0,1D、0,1）4、若的最大值为2，则a的取值范围是（ ）A、B、C、1,2D、(1,2)二、填空题5、已知函数，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是
23、。6、已知二次函数f(x)满足，且的最大值是8，则f(x)= 。7、已知关于x的函数（a，b，c为常数，且），若，则的值等于 。三、解答题8、已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值。9、函数（1）当时，恒成立，求a的取值范围。（2）当时，恒成立，求a的取值范围。10、设x，y均非负，2x+y=6，求的最大值和最小值。十三 一元二次不等式知识归纳一般式二次函数一元二次方程一元二次不等式图像与解xyOx1x2或xyOx0无解xyO无解R无解表中，2、恒成立恒成立二、典例分析例1、解下列不等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例2、若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是（ ）A、B
24、、2，2C、（2,2D、例3、若不等式的解集为，则a+b的值为（ ）A、10B、10C、14D、14例4、若不等式和均不成立，则（ ）A、或B、C、D、例5、满足的不等式恒成立的x的取值范围是 。例6、不等式的解集为 。例7、若恒成立，不等式的解集为 。例8、解关于x的不等式例9、设，解关于x的不等式。例10、已知抛物线过点（1，0），问是否存在常数a，b，c，使不等式对一切都成立。课后练习一、选择题1、已知的解集为R，则m的取值范围是（ ）A、B、C、D、2、关于x的不等式的解集是，则实数m的值为（ ）A、1B、1C、D、03、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A、B、或C、D、或4
25、、岩函数，当x为任意实数时，恒有意义，则a的取值范围是（ ）A、0a1B、0a1C、0a1D、0a1二、填空题5、若mn，p0或xa举例：例1、解下列不等式（1）（2）（3）（4）例2、不等式的解集是（ ）A、B、或C、D、例3、若关于x的不等式在R上恒成立，则a的最大值是（ ）A、0B、1C、1D、2例4、若不等式对一切恒成立，那么实数a的取值范围是（ ）A、B、C、D、例5、不等式的解集为 。例6、不等式对任意恒成立，则c的取值范围是 。例7、若关于x的不等式无解，则a的取值范围是 。例8、已知关于x的不等式的解集为求实数a的值。例9、解下列不等式（1）（2）例10、解关于x的不等式课后练
26、习一、选择题1、不等式的解集是（ ）A、B、且C、D、且2、不等式的解集为M，且，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、3、若不等式无解，则a的取值范围是（ ）A、a3B、C、D、4、若无解，则c的取值范围是（ ）A、B、C、D、二、填空题5、不等式的解集是 。6、满足的x范围是 。7、不等式的解集为 。三、解答题8、若不等式的解集为(1,2)，求实数a的值。9、解不等式10、已知适合不等式的x的最大值为3，求a的值。十五、根的分布（一）知识归纳设，方程的两根为1两根都为正 2两根都为负3两根一正一负典例分析：例1、已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（ ）A、
27、(0,1B、(0,1)C、D、例2、二次函数y=f(x)满足，且有两个不等实根，则等于（ ）A、0B、3C、6D、不能确定例3、若方程有两个不等的实根，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、例4、设和是方程的两个不相等的实根，则下列结论正确的是（ ）A、且B、C、D、且例5、若关于x的不等式有且只有一个解，则实数a等于 。例6、在1，1上有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是 。例7、若函数与直线有两个位于y轴右端的交点，则a的取值范围为 。例8、设分别是关于x的二次方程和的一个非零实根，且，求证：必有一根在与之间。例9、已知二次函数和一次函数其中a，b，c满足，（1）求证：两函数的图象交于
28、不同的两点A、B（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。课后练习一、选择题1、若方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、2、若方程有两个不等负根，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、3、已知抛物线与x轴的交点，在原点的右侧，则k的取值范围是（ ）A、RB、C、或D、且4、已知二次函数的顶点在第一象限，则a的取范围是（ ）A、a1B、a2C、a2或a2D、2a25、已知关于x的二次方程有两个负根，则实数k的取值范围是 。6、若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围是 。7、若函数与在y轴右侧有两个不同交点，则k的取值范围是 。8、设，且，求的图象与轴相交所
29、得弦长的取值范围。9、已知二次函数的二项系数为a，且不等式的解为（1，3）若方程有两个相等的根，求f(x)的解析式。10、已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，若且时（1）证明：是的一个根；（2）比较与c的大小。（3）证明：十六、根的分布（二）知识归纳：二次方程的区间根，一般情况下需要从三个方面考虑。（1）判别式； （2）区间端点函数值的正负；（3）对称称与区间端点的关系。设是实系数二次方程的两实根，则的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表表示。根的分布图 象充要条件xx1x2kxx1x2kxx1x2kxx1x2mn有且仅有一个在(m,n)内xnm或或典例分析：例1、已知，m、n是方
30、程f(x)=0的两根，且ab，mn，则实数a，b，m，n的大小关系是（ ）A、mabnB、amnbC、ambnD、manb例2、已知一元二次方程的一个根大于1，一个根小于1，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、例3、若方程有一个正根，一个负根，则a的取值范围是（ ）A、B、C、D、例4、若的两根都小于1，则m的取值范围是（ ）A、m3B、m3C、m3D、1m3例5、关于x的方程的两实根，一个小于1，一个大于1，则实数k的取值范围是 。例6、已知整系数二次方程在(0,1)上有两个不同的根，则正整数m的最小值为 。例7、若关于x的方程，有两个不等负根，则实数a的取值范围是是 。例8、若关于x的二
31、次方程的两根、满足，求实数p的取值范围。例9、已知函数与线段有效，求实数m的取值范围。例10、方程在（1，1）上有两不等实根，求k的取值范围。课后练习一、选择题1、已知，m、n是的两根，且ab，m0C、D、4、已知b、c为整数，方程的两根都大于1，且小于0，则b、c的值为（ ）A、1，5B、C、5，1D、二、填空题5、关于x的方程的根大于5，且小于，则k的取值范围是 。6、当实数m 时，方程一根大于2，另一个根小于2。7、若方程有一个正根，一个负根，则a的取值范围是 。三、解答题8、关于x的二次方程的两根分别位于(0,1)和之间求a的取值范围。9、若关于x的方程的两根为、。（1）若、都为正；（2）若、都为负；（3）若、一正一负，分别求m的取值范围。10、已知二函数，设方程有两个实根。（1）若设函数的对称轴为，求证：（2）如果，且的两实根相差为2，求实数b的取值范围。
