1、武汉市部分重点中学20212022学年度下学期期末联考高二数学试卷命题学校：湖北省武昌实验中学 命题教师： 审题教师： 考试时间：2022年6月29日下午14：0016：00 试卷满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 计算A73C64的结果是()A. 28B. 14C. 143D. 732. 下列函数中，在R上为增函数的是()A. y=2-xB. y=x2C. y=2x,x0x-1,xbcB. bacC. cabD. cba二、多项选择题（本大题共4小题，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
2、目要求的。全部选对的得5分，选对但不全得的2分，有选错的得0分。）9. 为了解学生在网课期间的学习情况,某地教育部门对高二网课期间的教学效果进行了质量监测.已知该地甲、乙两校高二年级的学生人数分别为600、550,质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩(均为整数)分别服从正态分布N(108,25)、N(97,64),人数保留整数,则（）参考数据:若ZN(,2),则P(|Z-|)0.6827,P(|Z-|2)0.9545,P(|Z-|1时，甲走在最前面B. 当0x1时，丁走在最后面C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D. 如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲12. 若(1+x)
3、+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)20=a0+a1x+a2x2+a3x3+a20x20，则()A. a0=20B. a3=C214C. a19=20D. i=120(-1)i-1iai=1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 袋中有5个小球，其中3个白球，2个红球，除颜色外，其余均相同.从中任取2个小球，则恰好取出1个红球的概率是14. 已知函数f(x)满足：f(x)+f(1-x)=2，若an=f(0)+f(1n)+f(2n)+f(n-1n)+f(1)(nN*)，则数列an的通项公式是an=15. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2，当x0,
4、1时，f(x)=2x-x2.则f(3)=16. 如图是瑞典数学家科赫(H.V.Koch)在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原三角形(图1)的边长为1，把图1，图2，图3，中的图形依次记为M1，M2，M3，Mn，则M3的边数N3=，Mn所围成的面积Sn=四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=a-csinBb(1)求角B的大小;
5、(2)若边AB上的高为c4，求cosC.18. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种肥料每亩使用量x(千克)之间对应数据如下表所示(1)由给出的参考公式证明：相关系数r=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2i=1nyi2-ny2;(2)请从相关系数r(精确到0.01)的角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系(若|r|0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合).若能，建立y关于x的线性回归方程，若不能，请说明理由参考公式：对于一组数据(x1,yi)(i=1,2,3,n)，相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(y
6、i-y)2，回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2a=y-bx参考数据：i=15xi=25，i=15yi=20，i=15xiyi=106，i=15xi2=145，i=15yi2=82，103.16，52.24.其中xi，yi(i=1,2,3,4,5)分别为肥料每亩使用量和西红柿亩产量的增加量19. 已知an是递增的等比数列，且a3=2，a2+a4=203(1)求数列an的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等
7、差数列)成等比数列若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由20. 已知函数f(x)=lnx-ax，g(x)=bx-3(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a，b的值;(2)当b=1-a，且0a12时，求函数f(x)+g(x)的单调区间21. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0p1).现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数(1)写出X的分布列;(2)证明：E(X)1p22. 已知1a2，函数f(x)=ex-x-a，其中e=2.
8、71828为自然对数的底数(1)证明：函数y=f(x)在(0,+)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+)上的零点，证明：a-1x02(a-1)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】 本题考查了排列数以及组合数公式，属基础题 根据排列数以及组合数公式计算即可【解答】 解： A73C64=A73C62=765652=14 ，2.【答案】C【解析】【分析】 本题考查函数的单调性的判断，属于基础题 根据题意，逐项判断即可 【解答】 解：由指数函数的性质可知 y=2-x 在 R 上单调递减， A 不正确 ; 由二次函数的性质可知 y=x2 在 R 上不是单调函数， B 不正确 ; 由
9、一次函数的性质可知 y=2x,x0x-1,x0 在区间 (-,0) 上为单调递增，在区间 (0,+) 上为单调递增，且 -10 ，即函数在 R 上为增函数， C 正确 ; 由对数函数的性质可知 y=lgx 的定义域为 (0,+) 不满足题意， D 不正确3.【答案】B【解析】【分析】 本题考查了二项分布的期望， n 次独立重复试验中的概率求解，属于基础题 先根据二项分布期望公式求得 n=5 ，再求解 P(X=4) 即可【解答】 解：因为 X 服从二项分布 XB(n,0.4) ， E(X)=2 ， 0.4n=2 ，解得 n=5 P(X=4)=C540.440.6=30.44 故选 B 4.【答案
10、】C【解析】【分析】 本题考查了条件概率的概念与计算，属于基础题 可得 P(AB)=P(B)=0.42 ，即可得解 . 【解答】 解：由 BA ， P(AB)=P(B)=0.42,则PBA=PABP(A)=0.420.7=0.6 。5.【答案】D【解析】【分析】 本题考查独立性检验的应用，属于基础题 根据独立性检验的知识，即可得解 【解答】 解： 0.120)，因为f(x)=ex-1，当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0,+)上单调递增，当x0时，f(x)f(0)=0，即ex-1x，所以e0.04-10.04，记g(x)=ln(1+x)-x，(x0)，因为g(x)=11+x-1=-x1+x
11、0时，g(x)g(0)=0，所以ln(1+x)0，则ln1.04b，记h(x)=ln(1+x)-x1+x，(x0)，因为h(x)=11+x-1(1+x)2=x(1+x)2，所以当x0时，h(x)0，所以h(x)在(0,+)上单调递增，所以当x0时，h(x)h(0)=0，即ln(1+x)x1+x，(x0)，所以ln1.040.041+0.04=4104所以ba综上所述：cba9.【答案】AC【解析】【分析】 本题考查正态分布的概率，属于中档题 . 通过正态分布的知识，逐项判断即可 .【解答】 解：设取到的甲校学生的成绩为 X ，则 XN(108,25) ，由于 113-108=5 ，从而 P(X
12、113)0.5-120.6827=0.15865 ，故 A 正确； 由于 108-98=10 ，从而 P(X98)12(1-0.9545)=0.02275 ，故成绩不超过 98 的人数大约为 0.0227560014 人，故 B 错误； 由于 1=5,2=8 ，从而 21 ，即乙校的成绩更分散， C 正确； 设取到的乙校学生的成绩为 Y ， 113=97+ 28 ，故 P(Y113)1-12(1-0.9545)= 0.97725 ， 而 P(X0，an为递增数列，A正确，令10=3n-13，得n=233，不满足题意，故B错误，a4=-10，且an为递增数列，数列Sn中的最小项为S4，Sn=3n
13、-13-10n2=3n2-23n2，Snn=3n2-232，则数列Snn是等差数列，故D正确11.【答案】BCD【解析】【分析】 本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异 . 属中档题 根据特殊值判断 A ；根据四种函数的增长速度的差异判断 BD ，结合图像判断 C 【解答】 解： 甲、乙、丙、丁的路程 f(x)(i=1,2,3,4) 关于时间 x(x0) 的函数关系式分别为 f1(x)=2x-1 ， f2(x)=x2 ， f3(x)=x ， f4(x)=log2(x+1) ， 它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模
14、型 当 x=2 时， f1(2)=3 ， f2(2)=4 ，所以 A 不正确 ; 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢， 又当 x=1 时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等， 从而可知，当 0x1 时，丁在最后面， 所以 B 正确 ; 结合图象易知 C 正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数 型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以 D 正确 12.【答案】ABD【解析】【分析】 本题考查二项式定理的应用，属于中档题 对 A ，令 x=0 计算即可得到；对 B ，每一项展开后含 x3 项的系数求和，计算可得；对 C ，只
15、有最后两项展开含有 x19 ，计算 C1919+C2019 即可；对 D ，两边求导，再令 x=-1 计算即可【解答】 解：令 x=0 时， 20=a0 ，故 A 正确 ; 因 a3 为 x3 的系数，故 a3=C33+C43+C203=C214 ，故 B 正确 ; 因 a19 为 x19 的系数，故 a19=C1919+C2019=21 ，故 C 不正确 ; 对所给等式两边求导得， 1+2(1+x)+3(1+x)2+20(1+x)19=a1+2a2x+20a20x19 令 x=-1 时， 1=a1-2a2+3a3-4a4+-20a20 ， i=120(-1)i-1iai=1 ，故 D 正确1
16、3.【答案】35【解析】【分析】 本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题 根据古典概型的概率公式求解【解答】 解：从 3 个白球、 2 个红球中随机地取 2 个球，取法共有 C52=10 种， 恰好取出 1 个红球的取法有 C21C31=6 种， 故所求概率为 610=35 14.【答案】n+1【解析】【分析】 本题考查了倒序相加法求和，属于基础题 . 根据 f(x)+f(1-x)=2 ，倒序相加求和即可【解答】 解：依题意， f(x)+f(1-x)=2 ， 则 an=f(0)+f(1n)+f(2n)+f(n-1n)+f(1)=2n+12=n+1 ，15.【答案】3【解析】【分析】 本题考查
17、函数的奇偶性、对称性，属于基础题 求出 f(1) 的值，根据奇函数求出 f(-1) 的值，令 x=2 求解 f(3) 的值 【解答】 解：因为当 x0,1 时， f(x)=2x-x2 ， 所以 f1=2-1=1 ， 因为 f(x) 为奇函数，所以 f-1=-f1=-1 ， 因为 f(1-x)+f(1+x)=2 ，令 x=2 ，则 f-1+f3=2 ， 所以 f3=3 16.【答案】48235-3320(49)n-1【解析】【分析】 本题考查数列的综合应用，属难题 记 Mn 的边数为 Nn ，三角形边长为 an ，面积为 Sn ，易得 Nn=34n-1 ， an=13an-1,Sn=Sn-1+N
18、n-134an2 ，利用累加法求解即可【解答】 解：记 Mn 的边数为 Nn ，三角形边长为 an ，面积为 Sn ， 易得 Nn=34n-1 ， an=13an-1 ，则 N3=48. 由图形可知 Mn 是在 Mn-1 每条边上生成一个小三角形 ( 去掉底边 ) ， 即 Sn=Sn-1+Nn-134an2 ， 即 Sn-Sn-1=34an2Nn-1, Sn-1-Sn-2=34an-12Nn-2, ,S2-S1=34a22N1 ， 利用累加法可得 Sn-S1=34(an2Nn-1+an-12Nn-2+a22N1) ， 数列 an 是以 13 为公比的等比数列，数列 Nn 是以 4 为公比的等比
19、数列， 则 Sn-34=34131-(49)n-11-49 可得 Sn=235-3320(49)n-1 17.【答案】解：(1)由已知cosC=a-csinBb可得bcosC=a-csinB，由正弦定理知：sinBcosC=sinA-sinCsinB，因为sinA=sin(-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，因为sinC0，所以cosB=sinB，又因为0B0.75，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系由于b=i=15(xi-x)(y1-y)i=15(xi-x)2=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=620=0.3，a=y-bx=4-
20、0.35=2.5，所以y关于x的线性回归方程为y=0.3x+2.5【解析】本题考查样本相关系数及回归方程，属于中档题19.【答案】本题考查了求数列的通项公式和等差、等比数列的综合应用，属于中档题。【解析】解：(1)设等比数列an的公比为q，则q0，a2=a3q=2q，a4=a3q=2q，2q+2q=203.解得q1=13，q2=3当q=13时，a1=18，an=18(13)n-1=183n-1=233-n.舍去当q=3时，a1=29，an=293n-1=23n-3an=23n-3(2)因为an+1=an+(n+2-1)dn即23n-2=23n-3+(n+1)dn所以dn=43n-3n+1设存在
21、3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列则dk2=dmdp，即(43k-3k+1)2=43m-3m+143p-3p+1因为m，k，p成等差数列，所以2k=m+p代入上式，化简得(k+1)2=(m+1)(p+1)，消去k，得m=p，所以m=p=k，舍去综上所述，(1)an=23n-3.(2)不存在符合条件的三项20.【答案】解：(1)f(x)=1x-a，g(x)=-bx2，因此k=f(1)=1-a，且k=g(1)=-b，又c=f(1)=-a，且c=g(1)=b-3，所以1-a=-b-a=b-3，解得a=2，b=1；(2)当b=1-a时，设h(x)=f(x)+g(x)=lnx-a
22、x+1-ax-3，x(0,+)，所以h(x)=1x-a-1-ax2=-ax2+x+a-1x2.令t(x)=ax2-x+1-a，当a=0时，t(x)=1-x，x(0,+)，当x(0,1)时，t(x)0，h(x)0，h(x)单调递减;当x(1,+)时，t(x)0，h(x)单调递增;当a0时，t(x)=a(x-1)(x-(1a-1)，x(0,+)，(i)当a=12时，t(x)0恒成立，h(x)0，h(x)在(0,+)上单调递减;(ii)当0a10，x(0,1)时，t(x)0，h(x)0，h(x)单调递减;x(1,1a-1)时，t(x)0，h(x)单调递增;x(1a-1,+)时，t(x)0，h(x)0
23、，h(x)单调递减;综上所述：当a=0时，函数h(x)在(0,1)上单调递减，(1,+)上单调递增;当a=12时，h(x)在(0,+)上单调递减;当0a12时，h(x)在(0,1)上单调递减，(1,1a-1)上单调递增，在(1a-1,+)上单调递减【解析】本题考查导数的几何意义与函数的单调性，属于中档题(1)对两个函数分别求导，使f(1)=g(1)，且f(1)=g(1)，计算即可；(2)设h(x)=f(x)+g(x)，求导得到h(x)，对a进行讨论分析h(x)单调性即可21.【答案】(1)解：当1X9时，P(X=i)=(1-p)i-1p，i=1，2，9，当X=10时，P(X=10)=(1-p)
24、9所以P(X=i)=(1-p)i-1p,i=1,2,9,(1-p)9,i=10.(2)证明：E(X)=i=19i(1-p)i-1p+10(1-p)9=pi=19i(1-p)i-1+10(1-p)9令S=i=19i(1-p)i-1，则E(X)=pS+10(1-p)9则S=1+2(1-p)+3(1-p)2+8(1-p)7+9(1-p)8，(1-p)S=(1-p)+2(1-p)2+7(1-p)7+8(1-p)8+9(1-p)9，两式相减，得pS=1+(1-p)+(1-p)2+(1-p)7+(1-p)8-9(1-p)9=1-(1-b)9p-9(1-p)9，所以E(X)=1-(1-b)9p+(1-p)9
25、=1p1-(1-p)10.因为0p1，所以01-(1-p)101，所以E(X)0，ex1，f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递增，10，f(0)=1-a0，所以由零点存在定理得f(x)在(0,+)上有唯一零点;(2)f(x0)=0，ex0-x0-a=0，a-1x02(a-1)ex0-x0-1x022(ex0-x0-1)，令g(x)=ex-x-1-x2(0x2)，h(x)=ex-x-1-x22(0x0，h(x)h(0)=0，h(x)在(0,2)单调递增，h(x)h(0)=0，ex-x-1-x220，2(ex-x-1)x2，另一方面：1a2a-11，所以当x01时，a-1x0成立，因此只需证明
26、当0x1时g(x)=ex-x-1-x20，因为g(x)=ex-1-2x=g1(x)，g1(x)=ex-2=0x=ln2当x(0,ln2)时，g1(x)0，所以g(x)maxg(0),g(1)，g(0)=0，g(1)=e-30，g(x)0，g(x)在(0,1)单调递减，g(x)g(0)=0ex-x-1x2，综上，ex0-x0-1x022(ex0-x0-1)，a-1x02(a-1)【解析】本题考查导数的应用，研究函数零点问题和证明不等式等知识，考查逻辑推理，运算求解能力，属于较难题(1)求导证明f(x)在(0,+)上单调递增，且f(0)0，根据零点存在性定理，有唯一零点；(2)因为x0为函数零点，代入可得ex0-x0=a，所以要证a-1x02(a-1)，即证ex0-x0-1x022(ex0-x0-1)，分别设h(x)，g(x)，求导计算单调性，即可证
