1、厦门市2018-2019学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（ ）A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假【答案】B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p是假命题，又“”为真命题，进而可得q是真命题【详解】解：命题“ ”和命题“非”均为真命题，为假命题，为真命题，故选：B【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键2.双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可【详解】解：双曲线即，其中a=2，b=1，故其渐近线方程是：故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题3.记为等差数列的前项和，若，则的公差等于（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得，解可得，又由，可得，由等差数列的通项公式分析可得答案【详解】解：根据题意，等差数列中，若，即，则，又由，则，则等差数列的公差；故选：D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题4.若实数，满足约束条件则的最大值是（ ）
3、A. -7 B. -1 C. 1 D. 3【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由，解得，解得，代入目标函数得即目标函数的最大值为1故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法5.若，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】根据基本不等式，,又ab,;由ab，易知a+ba+a=2a,故.故选：A.【点睛】本题考查
4、了基本不等式的应用，属于简单题6.如图，在平行六面体中，为的中点，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的几何运算可得结果【详解】根据向量的三角形法则得到.故选：A.【点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.7.在中，则的面积是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可【详解】解：由，根据正弦定理得：，为三角形的内角，或，或在中，由，或则面积或故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中
5、档题8.已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据是的必要条件，列不等式方程确定实数的取值范围【详解】解：设满足p的实数集合为M,满足q的实数集合为N，是的必要条件 ，即解得.故选：D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9.已知，则的最小值是（ ）A. 4 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由，根据基本不等式，.当且仅当，即时有最小值9.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用属于基础题.10.记为数列的前项和，若，则的最大值为（ ）A. -1 B. C.
6、 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】由，将已知项变形得=，同除以，可得出为等差数列，从而得出，再利用单调性即可得解.【详解】解： =，等号两侧同除以，得到,又,是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故 ，由单调性可知，当n=6时，的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查了数列与的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题.11.如图，在四棱锥中，平面，点是棱的中点，与平面交于点，设,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将平面ABE延展,再利用三角形相似得出点F位置，从而得解.【详解】解：过点D作垂直于平面ABCD的直线交AE延长线于点M，连接MP、MB，由题意知平
7、面，PA=AD,且E为DP中点，所以四边形MPAD为正方形，,M,P,B,C四点共面，MB与PC交与点F.,F为PC三等分点(靠近点C)又，.故选：C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
8、据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.【详解】解：如图，由双曲线定义得： ，由椭圆定义得： ，-得：；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意，都
9、有，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.【详解】根据题意，m需满足方程=0无解，即， 故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为_米.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案【详解】解：由题意可知，故答案为：.【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题15.已知点，分别是轴、轴上的动点，且满足.若点满足，则点的轨迹方程是_.【答案】【解析】【分析】设点M,N
10、,P三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果.【详解】解：设点M坐标（a,0），N坐标（0，b），点P坐标（x,y）,则=（-1，b），=（-a,b）， ，而=,=, ,代入可得.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.16.记为数列的前项和，若，则等于_.【答案】131【解析】【分析】根据计算得出，再依次计算出的值，遂得出的值.【详解】解：根据，从而，.故答案为：131.【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别是，.（1）
11、求角的大小；（2）是边上的中线，若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值【详解】解：（1）在中，由正弦定理得，即，.（2）在中，是的中线，在中，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.记为等比数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，进而得到的值，即得到数列的通项；（2
12、）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解.【详解】解：（1），即，数列的通项公式为.（2）由得，即，由-得， .【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题.19.如图，四边形是矩形，且，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理，求得AC长度，结合FA,FC长度，从而证明FAAC，又由FABA,故FA平面ABCD; （2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值.【详解】解：（1），即，即.四边形为矩形，.，.（2），两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则，平
13、面的一个法向量设平面的一个法向量为，则，即，取，则，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想.20.设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解.【详解】解：（1）由抛物线定义，点到准线的距离点在抛物线上， 由解得，抛物线方程为.（2）设直线方程为，直线与圆相切，
14、即由，得，.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21.某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为米的玻璃造价为元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，怎样设计能使总造价最低？【答案】（1）且；（2）安装8根立柱时，总造价最小.【解析】【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出
15、函数关系式；（2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值.【详解】解：（1）依题意可知，所以，（2），且，.，当且仅当，即时，等号成立，又，当时，.所以，安装8根立柱时，总造价最小.【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，.（1）求的方程；（2）过点且与轴不重合的直线与交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，且以为直径的圆过点.（）求的方程；（）记，的面积分别为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）（）；（）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（）设M,N坐标分边为，直线的方程为，结合椭圆方程可得BM、BN方程，并得出点P、Q坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得m的值；（）由（），将，的面积，转换为、的表达式，相比可得出的取值范围.【详解】解：（1）依题意得，即，解得，椭圆的方程为.（2）（）设，直线的方程为.由得，显然，且，直线方程为，直线方程为，令，得，以为直径的圆过点，解得或（舍去），的方程为.（）由（），.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.
