1、扭扭 转转2扭转扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 概述概述传动轴外力偶矩传动轴外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图等直圆杆扭转的应力等直圆杆扭转的应力 强度分析强度分析等直圆杆扭转的变形等直圆杆扭转的变形 刚度条件刚度条件等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能非圆截面等直杆的自由扭转非圆截面等直杆的自由扭转3概述概述轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，
2、且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA4概述概述扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：）：直角的改变量。直角的改变量。mmOBALRRL 5概述概述工工 程程 实实 例例6传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩作用于轴上的力偶矩往往不作用于轴上的力偶矩往往不直接给出直接给出,往往给出的是传送往往给出的是传送功率功率P(kW=1000Nm/s)和轴的和轴的转速转速n(r/min)1000PM60
3、n2e r/minkWr/minkWenP9549nP2601000M7传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（HP）n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS8传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3.扭矩的符号规
4、定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1.1.扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2.2.截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTxxm0Tm0Tm9传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图4.4.扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT10传动轴的外力偶矩传动轴
5、的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图例1已知：一传动轴,n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m11传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mk
6、N784 0 ,02121.mTmTmCmkN569784784(,0 322322.).mmTmmTmkN376 ,0 4243.mTmT12传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max.TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.3713薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶m。14薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转2.实验后：实
7、验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。3.3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。15薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 acddxbdy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产生横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应垂直于半径的均匀分布的剪应力力 ，沿周向大小不变，方向与，沿周向大小不变，方向与该截面的扭
8、矩方向一致。该截面的扭矩方向一致。4.4.与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：16薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：t ATt r T Ttr rAdr TrAd AA0200000222A0：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。17薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直
9、于两平面剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz18薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。种应力状态称为纯剪切应力状态。19薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 T=m)()2(0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正
10、比关系。20薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，
11、第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。EG2(1)21等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：22等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.
12、变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。23等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件2.物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 24等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件3.静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd
13、 pIT截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩(截面二次极矩截面二次极矩)25等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。4.4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。26等直圆杆在扭转时的应力
14、等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件单位：单位：mm4，m4。AIApd2尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO27等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件对于空心圆截面：对于空心圆截面：)1(10)1(32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd28等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心
15、截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。29等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由由知：当知：当max ,2dR)2(22 maxdIWWTdITIdTptpp令tmaxWTWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）抗扭截面系数（抗扭截面模量）几何量，单位：几何量，单位：mmmm3 3或或m m3 3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：对于空心圆截面：)-(12016)1(4
16、343D.DRIWpt30三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件31等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件1.点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.2.斜截面上的应力；斜截面上的应力；取分离体如图取分离体如图(d)(d)：(d)x32等直圆杆在扭转时的应力等直圆
17、杆在扭转时的应力 强度条件强度条件(d)xnt转角规定：转角规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ;0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ;0AAAFt解得：解得：2cos ;2sin 33等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件分析：分析：当=0时max00 ,0当=45时0 ,45min45当=45时0 ,45max45当=90时max9090 ,0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的
18、剪应力为最大值；在方向纵截面上的剪应力为最大值；在方向角角 =45 45 的斜截面上作用有最大的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。就可解释前述的破坏现象。34等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT(称为许用剪应力。称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT
19、）（空：实：433116 16 DDWt35等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 例例22功率为功率为150150kW，转速为转速为15.415.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许用剪应力许用剪应力 =30=30M Pa,Pa,试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt36等直圆杆在扭
20、转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件例题例题 汽车传动轴汽车传动轴ABAB外径外径D=90mm，壁壁厚厚2.5mm,材料为，使用时最大扭矩材料为，使用时最大扭矩T=1.5kN.m，校核校核ABAB轴的扭轴的扭转强度转强度 60MPa解解由由ABAB轴的截面尺寸计算抗扭截面系数轴的截面尺寸计算抗扭截面系数0.944m1090m102.52-m1090Dd3-3-339-433-43tm10294000.944-116m10903.14-116DW轴的最大切应力为：轴的最大切应力为：51MPaPa1051m1029400m1500kNWT639-tmaxAB轴满足强度条件轴满足强度条
21、件37等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件例题：例题：将前面题目中的将前面题目中的AB传动轴改为实心轴，要求与原来的空传动轴改为实心轴，要求与原来的空心轴相同，确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量心轴相同，确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量解解 实心轴的扭矩为实心轴的扭矩为空心轴的扭矩为空心轴的扭矩为 3t1TWD16于是于是 34tTWD1-160.0531m53.1mm-1DD-1DD3414331在材料相同长度相同情况下，两者重量之比等于面积之比在材料相同长度相同情况下，两者重量之比等于面积之比31%0.31D4d-D4AA21221在载荷相同情况下，空心
22、轴重量为实心轴重量的在载荷相同情况下，空心轴重量为实心轴重量的3131，空心轴，空心轴大大节省材料大大节省材料38等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式pGITx dd 知：长为知：长为 l一段杆两截一段杆两截面间相对扭转角面间相对扭转角 为为值不变）若 T(GITl xdGIT dplp0如果各段内的如果各段内的T不相同或者不相同或者Ip不相不相同，应分段计算各段扭转角，然同，应分段计算各段扭转角，然后代数迭加后代数迭加n1ii piiGIlT39等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件二、单位扭转角二
23、、单位扭转角 ：(rad/m)dd pGITx/m)(180 dd pGITx 或或三、刚度条件三、刚度条件(rad/m)maxpGIT /m)(180 maxpGIT 或或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。40等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：max max GT Ip max pGIT 有时，可依据此条件进行选材。有时，可依据此条件进行选材。
24、(rad/m)maxpGIT 41等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件例例3长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8，G=80GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD42等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件314max 1
25、16）（TD40NmxT代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。180maxmaxPGIT43等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 891118044.32)(D1080180/40GIT9Pmaxmax右端面转角右端面转角为：为：弧度）(0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP40NmxT2m44例例4 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率N1=500 马力，马力，输出功率分别输出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa
26、，=1/m，试确定：试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如扭矩如 图图，由强度条件得由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件4516 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得由刚度条件得
27、：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件46 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm851 dd等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件47 Tx 4.21(kNm)2.814 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1 1轮和轮和2 2轮应轮应 该该换换位。位。换位后
28、换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75mm。等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件48等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。49 例例55长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如的作用，
29、如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8=0.8，外径，外径 D=0.0226m D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解：解：杆的受力图如图示，杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。平衡方程为：平衡方程为：02BAmmm等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件50几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得由平衡方程和补充方程得：
30、另另:此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件51等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能GdV)dx(dzdy)(dW212122121GVdWdVdUdv一、一、应变能与能密度应变能与能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：52二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.1.应力的计算应力的计算=+Q TtTQWTAQmax近似值：近似值：3328121624dDPDddPDdPPQT2PDT 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的
31、应变能532.弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件:83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdDPC.CC其中：其中：dDC C.CCK61504414称为弹簧指数。称为弹簧指数。称为曲度系数。称为曲度系数。等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能543.3.位移的计算位移的计算(能量法）能量法）为弹簧常数。64 ;64 ;3443nRGdKKPGdnPRUWPW21 外力功：外力功：变形能：变形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG222122等直圆杆
32、在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能55 例例66 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mmD=125mm，簧丝直簧丝直 径为：径为：d=18mmd=18mm，受拉力受拉力 P=500N P=500N 的作用，的作用，试求最大剪应力的试求最大剪应力的近似值和精确值；若近似值和精确值；若 G=82GPaG=82GPa，欲使弹簧变形等于欲使弹簧变形等于 6mm6mm，问：弹簧至少应有几圈？问：弹簧至少应有几圈？解：解：最大剪应力的近似值：最大剪应力的近似值：MPa3290180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(等直圆杆在扭
33、转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能56最大剪应力的精确值：最大剪应力的精确值：09161504414;631518125.C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK弹簧圈数：弹簧圈数：6612505006410188266436434.PRGdn（圈）等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能57非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，平面。因此，由等直
34、圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。须由弹性力学方法求解。58一一、自由扭转：、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力:1.1.剪应力分布如图：剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）（角点、形心、长短边中点）非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆自由扭
35、转时的应力和变形59hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！对于对于W t 和和 It ，多数教材与手册上有如下定义多数教材与手册上有如下定义：hbIGITtt3 :,其中max131 ;)10 :(bh即对于狭长矩形查表求查表求 和和 时一定要时一定要注意，表中注意，表中 和和 与那套公式对应。与那套公式对应。非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形60第八章第八章 扭转扭转作作 业业刘鸿文材料力学第四版刘鸿文材料力学第四版 习题：习题：P.102 3-7，3-9，3-11，3-2061第八章第八章 扭转扭转m)(kN559nP.mm)(kN0247n
36、P.mm)(kN1217nP.m传递轴的传递功率、转传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系速与外力偶矩的关系t ATt r T 02022 GpIT薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力等直圆杆扭转时横截面上的应力等直圆杆扭转时横截面上的应力AIApd2tmaxWT等直圆杆扭转时斜截面上的应力等直圆杆扭转时斜截面上的应力2cos ;2sin 62第八章第八章 扭转扭转扭转时的变形扭转时的变形pGITx dd 值不变）若 T(GITlpn1ii piiGIlT单位扭转角单位扭转角(rad/m)dd pGITx/m)(180 dd pGITx 单元体微功：单元体微功：dV)dx(dzdy)(dW212122
37、121GVdWdVdUdv63第八章第八章 扭转扭转习题习题3-5直径直径 的圆轴，受到的扭矩的圆轴，受到的扭矩 为为的作用，求在距离轴心的作用，求在距离轴心10mm处的剪应力，并求横截面上的处的剪应力，并求横截面上的最大剪应力。最大剪应力。D=500mmT=2.15kN m解：横截面上距圆心的距离为解：横截面上距圆心的距离为 的任意一点的剪应力的任意一点的剪应力 pT=I在距离轴心在距离轴心10mm处的剪应力处的剪应力 342.15 100.01=pa=35MPa0.0532最大剪应力最大剪应力 342.15 100.025=pa=87.6MPa0.053264第八章第八章 扭转扭转习题习题
38、3-6发电量为发电量为15000kW水轮机主轴如图所示。空心轴外径为水轮机主轴如图所示。空心轴外径为 为为 内径内径 ，正常转速，正常转速 ，材料，材料的许用应力为的许用应力为 ，校核水轮机主轴的强度。，校核水轮机主轴的强度。D=550mmd=300mmn=250r min=50MPa解：水轮机主轴传递的扭矩为：解：水轮机主轴传递的扭矩为：kWkWer/minr/minPP1000 6015000M9549=9549N m=573000N m2nn250横截面最大应力横截面最大应力 max44PD0.55T57300022=Pa=19.2MPa=50MPaI0.55-0.332满足强度要求满足强度要求 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力2MPa20t ATt r T .02022误差较大误差较大
