1、2 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚它们的实部和虚部分别相等部分别相等.复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小,如果不全是实数如果不全是实数,就不能比较大小就不能比较大小,也就也就是说是说,复数不能比较大小复数不能比较大小.第一讲 复数及其代数运算3.arg ,Arg ,)0(000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在辐角的主值辐角的主值4 三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表
2、示成复数可以表示成 irez 称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.指数表示法指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 5 nkinkrzwnn2sin2cos1 )1,2,1,0(nk.,个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上nnrnznn 方根单连通域与多连通域单连通域与多连通域从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域的域.6 复变函数的概念:)(相当于两个关系式
3、相当于两个关系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw 注意注意:.0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中 zz 复变函数的极限 极限计算的定理.),(lim,),(lim )(lim,),(),()(000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设7.),(),(,),(),()(的极限问题的极限问题和和函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题该定理将求复变函数该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf 复变函数的连续性00 lim()(),
4、.zzf zf zzC 连续的充要条件.),(),(),(:),(),()(00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 82117310,.xxxxx 已知求的值例例1 1解解),1)(1(123 xxxx因为因为,012是一个三次单位根是一个三次单位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx从而从而.0123711 xxxxx所以所以三、典型例题921 11,1.nn设 是 的 次方根,且求的值例例2 2解解1 n 因为因为121 n 所以所以.011 n10例例 解解,43,55 21iziz 设设.2121 zz
5、zz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 例例5 5 求下列复数的辐角主值求下列复数的辐角主值:(1)122;(2)1;zizi ,在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 解解(2),z因为在第四象限1 arctan1所以arctan1,4(1)12例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )
6、1(,4412 ,在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz13指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2(iz,1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 14.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因为因为)3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3
7、(cos)5sin5(cos ii所以所以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式为故三角表示式为,19sin19cos iz 指数表示式为指数表示式为.19 iez 6、基本问题、基本问题(1)已知方程求图形已知方程求图形例例求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:(1)22;(2)Im()4.ziziz解解.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i.22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i16 ,iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy (2)Im()4iz ,i
8、yxz 设设,)1(iyxzi ,41)Im(yzi.3 y所求曲线方程为所求曲线方程为(,)(,)zxiyF z zf x y令代入，化为一般方法：一般方法：17解解 ),(),(2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()(121121 yytyyxxtxx),(t参数参数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),(t参数参数(2)已知图形求方程已知图形求方程111222 .zxiyzxiy将通过两点与的直线用复数形式的方程来表示例例18 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzzt
9、zz,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 例10 试用复数表示圆的方程:0)(22dcybxyxa其中，a,b,c,d是实常数。0dzzzaz得：).(21icb其中，解：解：,22zzzzxyi将代入0)(22dcybxyxa,22(,)(,)zzzzxyif x yF z z将代入，化为一般方法：一般方法：20例例解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因为因为,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以,i 63sin63cos 21izz.2123i .2121zzzz和
10、和求求 复数的运算21例例 .1 3的值的值计算计算i 解解 ii212121 4sin4cos2i31i 324sin324cos26kik).2,1,0(k22,12sin12cos260 iw,127sin127cos261 iw.45sin45cos262 iw即即23例例 .1 4的值的值计算计算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3,2,1,0(k,16sin16cos280 iw即即,169sin169cos281 iw24,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw.2 8圆的正方形的四个顶点圆
11、的正方形的四个顶点的的心在原点半径为心在原点半径为这四个根是内接于中这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w25例例1 1解解 .2 ,1 的象的象求圆周求圆周对于映射对于映射 zzzw,ivuwiyxz 令令zzw1 映射映射,22yxiyxiyxivu ,22yxxxu 于是于是,22yxyyv :2 的参数方程为的参数方程为圆周圆周 z20,sin2cos2 yx三、典型例题2620,sin23cos25 vu所以象的参数方程为所以象的参数方程为 :平面上的椭圆平面上的椭圆表示表示 w.123252222 vu27例例 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的
12、什么曲线？面上的什么曲线？zw1 zw.2)2(,9)1(22 xyx解解9 222 zyx因为因为又又iyxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圆平面上的圆.w22yxiyx ),(91iyx (1)28.2)2(x解解iyiyxz 2因为因为iyzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因为为02 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu放映结束，按放映结束，按Esc
13、Esc退出退出.29例例2 2证证(一一).0 )Re()(不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf,iyxz 令令,)(22yxxzf 则则,0),(,),(22 yxvyxxyxu ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 30)1(lim220kxxx ,112k ,值的变化而变化值的变化而变化随随 k ,),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx,0),(lim00 yxvyyxx根据定理一可知根据定理一可知,.)(lim0不存在不存在zfz证证(二二),sin(cos
14、irz 令令rrzf cos)(则则,cos 31 ,arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf ,0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz,1)(zf ,2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z,0)(zf .)(lim 0不存在不存在故故zfz1 1）导数的定义）导数的定义00000()()d()lim.dzz zf zzf zwfzzz 1.复变函数的导数与微分2)复变函数的微分d()d.wf z z 2.解析函数可微可微 可导可导 连续连续 有定义有定义极限存在极限存在 解析解析 第二章 3.奇点 4.可导与解析的判定.,)
15、,(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf ,程程该该点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方并并且且在在可可微微在在点点与与条条件件是是可可导导的的充充要要内内一一点点在在则则内内域域定定义义在在区区设设函函数数定定理理.),(),(:),(),()(2程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理定理 ,DyxvyxuDyxivyxuzf :,),(),()(则其导数公式则其导数公式可导可导处处在点在点若函数若函数 yixzyxivyxuzf yuixu
16、xvixuzf )(.xviyvyuiyv 5 5、解析函数的判定方法、解析函数的判定方法.,内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzfa)()()(.)(,R C ),(,)()(内解析内解析在在条件可以断定条件可以断定要要那末根据解析函数的充那末根据解析函数的充方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数DzfvuDvuivuzfb 6.初等解析函
17、数1)1)指数函数指数函数.)sin(cos.的指数函数的指数函数为为称称设设zyiyeeiyxzxz 定义定义;0,0,)(zxzeeeza则则对任意复数对任意复数性质性质;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以iedz 22sincos1,sin,cos.zzzz 但不是有界函数 2)三角函数.,2cos.,2sin余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数定义定义称为称为称为称为izizizizeezieez 3 3）对数函数）对数函数zizzwArglnLn ikziz 2argln).
18、,2,1,0(klnlnarg(arg)zzizz).,2,1,0(2lnLn kikzz4)4)幂函数幂函数).0(Ln zezwz 39例例 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 例例 判定判定 在何处可导在何处可导wz解解wz由知,yvxu .1,0,0,1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,.wz故在复平面内处处不可导41例例判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:(1);(2)Re().wzwzz解解,)1(zw ,yvxu .
19、1,0,0,1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,.,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 42(2)Re()wzz,2xyix ,2xyvxu .,0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 ,0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0)Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析43例例 2 .z证明在复平面上不解析证证222(1)2,zxyxyi22,2,uxyvxy 2,2,2,2.uuvvxyyxxyxy 00,xy仅当，时 满足柯西黎曼方程2 0
20、,0,wzxy故函数仅在上可导 .在在复复平平面面内内不不解解析析44例例 解解?)(,),()(2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv ,xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2.2 ,1 ,1 ,2 dcba所求所求45例例解解.)(,),(),()(2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将,0 xu,
21、0)14(2 uxu0)14(2 u由由46,0 (2)yu得得由由 ),(常数常数所以所以cu ).()(2常数常数于是于是icczf .,),(),(0,)(,)(2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 例例zie2)1()(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例1 );Re()3(;)2(;)1(,122
22、zzzieeeiyxz 求求设设例例3 的周期的周期求函数求函数.)(5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10)(5ikezfz ),10(ikzf 例例4解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln:ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki),2,1,0(k.6232ln ki),2,1,0(k)3(Ln)3()3(Arg3ln i.)12(3lnik ),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33ln
23、iii ki233arctan32ln注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,复变函数中复变函数中负数有对数负数有对数.例例5解解.031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln),2,1,0(k例例6 6 .1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos(kik .,2,1,0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 .,2,1,0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)(5 计算计算),2,1,0(.)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik
24、例例7 7 .)(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 .,2,1,0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21)(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 例例10 10 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22.kz),2,1,0(k 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正
25、方向为正方向(或正向或正向),),那末我们就把那末我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,.C记为记为第三章第三章 1.有向曲线2.积分计算（1 1）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则3.柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理).d)(,)(无关无关线线与连结起点及终点的
26、路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数).()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函数解析函数内的一个内的一个必为必为那末函数那末函数析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C
27、1C2C4.原函数的定义.)()(,)()(,)()(的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)(d)()(0的一个原函数的一个原函数是是因此因此zffzFzz .)(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf.,)()(d)(,)()(,)(100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz (牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)5.闭路变形原理,2121DC
28、CCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末).,:(,2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC.0d)(
29、)2(zzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf6.柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.则有则有是圆周是圆周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf 7.高阶导数公式.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)
30、(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 .),(0,),(2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 8.调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调
31、和函数内的调和函数.,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为和函数中和函数中的两个调的两个调内满足方程内满足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,.),(),(,),(的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数.共轭调和函数解解:(1)例例1 d,(1):34 .(2):Cz zCOBiCOA zAB计算从原点 到点的直线段从原点 到点3，再从 到 的折线直线
32、直线OB的参数方程为的参数方程为(34),0,1zi tO tB t起点:终点:,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti2(34)2i7=122i积分都与路线积分都与路线C 无关无关,43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC 7d12.2Cz zi(2)直线直线OA的参数方程为的参数方程为,0,3ztO tA t起点:终点:30dd OAz zt t直线直线AB的参数方程为的参数方程为 3,0,4zitdzidtO tA t起点:终点:9=240d(3)d ABz zit i t12-8idCz z ddOAABz
33、zz z9=1282i7=122i例例2 解解.1 1 (3);1 (2);1 (1):,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为()0,1z ttittt 起点终点,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy 2()0,1z ttittt 起点终点,d)21(d,R
34、e ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i xyoi 11iy=x2xy (3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为()0,1z tttt起点终点1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd,1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 例例3 解解 .2 :,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为20,2,ize起点终点 d2diiez C
35、zzd 20d22 iie)2(z因为因为 20d)sin(cos4 ii.0 例例4 解解.,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为0izzre Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri0,2起点终点zxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论
36、重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.例例解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 ,1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有 1.0d321zzz例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz ,21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221.i 例
37、1 计算,01czdzCi其中为从 到的曲线段。解()f zz处处解析2102cizzdz22（1-i）i 例2 计算 22cotizdzcos():0Re()sinzf zDzz在解析，解iD 且，2 222cotizdz22cossinizdzz22cossinizdzz221(sin)sinidzz2lnsin2izlnsin()lnsin22ilncosln1i1ln()2eelnch1例3 计算 2(281),02czzdz ca是连接 到的摆线(sin)(1 cos)xaya解2220(281)(281)aczzdzzzdz3222(4)03azzz3322161623aaa228
38、1zz在复平面处处解析三、典型例题例例1 1解解.1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz,1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知,xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点，,21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 ,0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 ,1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz
39、2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 .1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 ,21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC,上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,.0d zzez例例3 3.,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解解 ,内部内部在曲线在曲线因为因为 a a ,故可取很小的正数故可取很小的
40、正数 ,:1内部内部含在含在使使 az1,)(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz由复合闭路定理由复合闭路定理,1d)(1d)(111zazzaznn a 1,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)(niieie 20d ninie .0,00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.例例1 1 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 ,)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zez
41、f ,2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 三、典型例题例例2 2;211 (1):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i )(zf 例例2 2;211 (2):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解)(zf 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理,得得例例2 2.2 (3):,
42、d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例 3 3解解222 3,371()d(3 ),(1).CCxyf zzfiz设表示正向圆周求根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,zizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)(zizf故故 ,1 内内在在而而Ci).136(2)1(iif 所以所以 ,zC(1)当在内时 ,zC(2)当不在内时()0f z()0fz故 三、典型例题例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)
43、1(.1:,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 ,1 )1(cos)1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz ,cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i ,)1()2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi ,1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 ,2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 ,)1(2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函
44、数则函数CCCzez 1C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1(iei1C2Cxyo iCi 2d)1(22Czzze同理可得同理可得,2)1(iei Czzzed)1(22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i3.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共
45、轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 .),(,3),(23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu ,0 2222 yuxu于是于是 .),(为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又因为又因为,3322xy xxxgd3)(2故故
46、,3cx ,3),(23cxyxyxv )(32xgy ,3322xy 得一个解析函数得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3czizfw )(为任意常数为任意常数c(0)0.f且例例1 .),(,3),(23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu 22(,).(,)()(,)(,).u x yxyxyv x yf zu x yiv x y已知调和函数求其共轭调和函数及解析函数例例解解:,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv
47、 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz xyCyyxxx00d)2(d)0(),(22222为任意常数为任意常数CCyxyx 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf .2)2(2iCiz Cyyxxx
48、yxxyyx d)2(d)2(000第四章第四章1.复数列 ,0 数数相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正如如果果任任意意给给定定 ,),(时成立时成立在在使使NnNn ,时时的的极极限限当当称称为为复复数数列列那那末末 nn 记作记作.lim nn .收收敛敛于于此此时时也也称称复复数数列列n ,),2,1(其其中中为为一一复复数数列列设设 nn,nnniba ,为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和nnns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.复数项级数,),2,1(为
49、为一一复复数数列列设设 nbannn 1)定义定义2)复级数的收敛与发散0lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条件,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns,1收敛收敛那末级数那末级数 nn.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn ,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn.111绝对收敛绝对收敛与
50、与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面项的和项的和n3.复变函数项级数 ,),2,1()(为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 nnzf4.幂级数 1)在复变函数项级数中在复变函数项级数中,形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当 a 2
